浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題卷規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題卷上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題卷相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，公比，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比數(shù)列求和公式得.故選：D.2.已知向量，則的值是（）A. B. C.8 D.12【答案】B【解析】由于，則，于是.故選：B3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A., B., C., D.,【答案】A【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；故選：A.4.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的斜率為，由于，設(shè)傾斜角為，則，，所以.故選：B.5.已知是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下面四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于A：若，則或或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：要得到，則需要與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，只有得不到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則或與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正確；故選：D6.如圖，將一個(gè)圓柱等分切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個(gè)“長(zhǎng)方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為，新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，即，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A.7.設(shè)橢圓與橢圓的離心率分別為，若，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】D【解析】已知橢圓與橢圓離心率分別為，，又，則，，則，設(shè)，，則根據(jù)對(duì)勾函數(shù)知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，則,，則，即的最大值為，無最小值．故選：D．8.已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是.接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)，.且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么是（）A.83 B.87 C.91 D.95【答案】D【解析】根據(jù)題意將數(shù)列分組，第一組為第一項(xiàng)是，第二組為為第二項(xiàng)和第三項(xiàng)是，，依次類推，第組為，，，…，第組含有項(xiàng)，所以第組的和為：，前組內(nèi)一共含有項(xiàng)數(shù)為：，所以前組內(nèi)的項(xiàng)數(shù)和為：，若該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.，只需將消去即可；若，則，，不滿足；若，則，，不滿足；若，則，，滿足；故滿足如條件的最小整數(shù)為95.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.直線過定點(diǎn) B.線段長(zhǎng)最大值為6C.線段長(zhǎng)的最小值為4 D.面積的最大值為【答案】ABC【解析】直線即直線，聯(lián)立，解得，，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)直線過圓圓心時(shí)，線段最長(zhǎng)，為圓的直徑，等于6，故B正確；當(dāng)直線AB與過原點(diǎn)和點(diǎn)的直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)AB最短，因?yàn)樵c(diǎn)C到點(diǎn)的距離為，此時(shí)，故C正確；因?yàn)?，所以的面積取得最大值時(shí)，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.如圖，兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體，且該八面體的各棱長(zhǎng)均相等，則（）A.平面平面B.平面平面C.直線與平面所成角的正弦值是D.平面與平面夾角的余弦值是【答案】AD【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，由對(duì)稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面CDE，平面，所以平面，同理平面，又，AF，平面，所以平面平面，A正確；取中點(diǎn)，連接，則，所以為二面角的平面角，設(shè)該八面體的棱長(zhǎng)為，則，所以，所以二面角不是直二面角，則平面與平面不垂直，而平面平面，所以平面與平面也不垂直，B錯(cuò)誤；同理，取中點(diǎn)，連接，為二面角的平面角，，所以平面與平面夾角的余弦值是，D正確；由，，得，在正方形ABCD中，，平面BEDF，平面BEDF，又，所以平面BEDF，所以即為直線AE與平面BDE所成的角，設(shè)該八面體的棱長(zhǎng)為2，則，所以，所以，C錯(cuò)誤.故選：AD.11.設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)（）A.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為1B.當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為8C.當(dāng)時(shí)，符合條件的直線有兩條D.當(dāng)時(shí)，符合條件的直線有四條【答案】BD【解析】對(duì)A，如圖,設(shè),,則,兩式相減得,.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),，則有,又,所以.當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，得,即，因此，即必在直線上.當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，直線的方程為，恰好過拋物線焦點(diǎn)，故，故B正確；對(duì)C，將代入,得，由在拋物線內(nèi)部得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以,當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，此時(shí)的斜率為的直線不存在，如圖：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，符合條件的直線只有一條，為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，解得，符合，此時(shí)的斜率為的直線有兩條，為和，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí),符合條件的直線也有兩條，為和，故D正確.故選：BD12.生態(tài)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)種群數(shù)量較少時(shí)，種群近似呈指數(shù)增長(zhǎng)，而當(dāng)種群增加到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率就會(huì)隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學(xué)上提出了著名的邏輯斯諦模型：，其中是正數(shù)，表示初始時(shí)刻種群數(shù)量，r表示種群的內(nèi)秉增長(zhǎng)率，K表示環(huán)境容納量，近似刻畫t時(shí)刻的種群數(shù)量.下面判斷正確的是（）A.如果，那么存在B.如果，那么對(duì)任意C.如果，那么存在在t點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)D.如果，那么導(dǎo)函數(shù)在上存在最大值【答案】ABD【解析】由可得，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，因?yàn)闉榉N群的內(nèi)秉增長(zhǎng)率，，所以，A正確；，因?yàn)?，，所以，故?duì)任意的，，B正確；，因?yàn)椋敲慈我獾?，在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)恒成立，故C錯(cuò)誤；令，則，因?yàn)?，令得：，解得：，令得：，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，那么的導(dǎo)函數(shù)在上存在極大值，也是最大值，D正確．故選:ABD．三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13.已知直線和，若，則_______.【答案】2【解析】直線的斜率為，，直線的斜率，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故答案為：2.14.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_______.【答案】28【解析】.故答案為：28.15.已知圓臺(tái)的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為6，圓臺(tái)的體積為，且它的兩個(gè)底面圓周都在球O的球面上，則_______.【答案】【解析】設(shè)圓臺(tái)的高為h，依題意，解得．設(shè)，則，解得，故．故答案為：.16.已知三棱錐的體積為是空間中一點(diǎn),，則三棱錐的體積是_______.【答案】10【解析】因?yàn)?，則，即，即，所以，因?yàn)?，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得成立，即，所以，即，則，又三棱錐的體積為15，則.故答案為：1017.已知曲線和，點(diǎn)分別在曲線上，記點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，則的最小值是_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，為的焦點(diǎn)，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，則，則，又，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，則，即的最小值是.故答案為：.18.如圖，8個(gè)半徑為1的圓擺在坐標(biāo)平面的第一象限（每個(gè)圓與相鄰的圓外切或與坐標(biāo)軸相切），若斜率為3的直線將8個(gè)圓分成面積相等的兩部分，則直線的方程是_______.【答案】【解析】當(dāng)過的直線將圓與圓區(qū)域平分，過的直線將圓與圓區(qū)域平分時(shí)，將8個(gè)圓劃分為面積相等的兩個(gè)區(qū)域且，直線的方程為：，即直線。故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程.解：（1）線段的垂直平分線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，由，解得，圓的半徑，圓的方程為；（2）由題易得直線l的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)P的直線為，即，圓心到直線的距離，解得或，直線方程為或.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1），則，又，所以的切線方程為；（2），故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，由題意可知，方程有兩個(gè)不同的非零實(shí)數(shù)根，顯然不合題意，令，則，設(shè)，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，又時(shí)，，時(shí)，，故，即.21.已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）由題意知：且，兩式相減，可得，，可得，又，當(dāng)時(shí)，，即，解得或（舍去），所以，從而，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，可得，所以.22.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，平面,為中點(diǎn).（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）設(shè)點(diǎn)N在直線上，若的面積是，求的值.解：（1）由已知在中，，，又四邊形是平行四邊形，，取中點(diǎn)H，則，，，兩兩垂直，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則為邊上的高，，，M為中點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，設(shè)平面的法向量為，，取，平面與平面夾角余弦值為；（2）設(shè)，則；，，設(shè)N點(diǎn)到的距離為d，則，，，即，.另解：，設(shè)N點(diǎn)到的距