浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的．1.下列直線中，傾斜角最大的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，傾斜角為；直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為；直線的斜率為，傾斜角為，顯然直線的傾斜角最大.故選：C2.已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由題意得，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，解得，故選：A3.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B4.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.5.若直線與直線互相垂直，則的最小值為（）A. B.3 C.5 D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，化簡得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為5，故選：C6.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在上，，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】如圖，令，由，得，又，則，即，又由，得，，故選：D.7.已知雙曲線的離心率為，圓與的一條漸近線相交，且弦長不小于2，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，解得：，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線為，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，可知圓關(guān)于軸對(duì)稱，不妨取漸近線為，即，則圓心到漸近線的距離，可得：.又因?yàn)閳A與雙曲線的一條漸近線相交弦長為，由題意可得：，解得：.綜上可得：的取值范圍是.故選：B8.已知曲線，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.曲線與直線無公共點(diǎn)B.曲線關(guān)于直線對(duì)稱C.曲線與圓有三個(gè)公共點(diǎn)D.曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離是【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示圓的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分，其圖象如圖所示：A.因?yàn)槭堑容S雙曲線的漸近線，曲線與直線無公共點(diǎn)，故正確；B.將方程中的互換后方程不變，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；C.圓的圓心為，又，即當(dāng)時(shí)，曲線與圓相切，所以有三個(gè)公共點(diǎn)，故正確；D.作與直線平行的直線與曲線切于點(diǎn)上的點(diǎn)到直線的最大距離是，故錯(cuò)誤；故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.的最大值2 D.為鈍角，則【答案】AB【解析】A.若，則，解得，故正確；B.當(dāng)或時(shí)，不平行，所以時(shí)，有，解得，故正確；C.，無最大值，故錯(cuò)誤；D.若鈍角，則，且，不反向共線，解得且，故錯(cuò)誤；故選：AB10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.的最小值為C.若是的中點(diǎn)，則到平面的距離為D.若直線與所成角的余弦值為，則【答案】ABC【解析】A.因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平面，故正確；B.因?yàn)?，且為定值，所以，故正確；C.因?yàn)槠矫嫫矫?，且到平面，所以到平面的距離即為到直線的距離，又，，解得，故正確；D.當(dāng)時(shí)，，則，故錯(cuò)誤；故選：ABC11.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙紐線．若是曲線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線上有且僅有1個(gè)點(diǎn)滿足B.曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3【答案】ACD【解析】設(shè)Px,y，則，化簡得，將代入可得，所以曲線，對(duì)于A，若點(diǎn)滿足，則在垂直平分線上，則，設(shè)，則，解得，故只有原點(diǎn)滿足，故A正確；對(duì)于B，令，解得或，即曲線經(jīng)過，結(jié)合圖象，得，令，得，令，得，因此，結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線與曲線一定有公共點(diǎn)，若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，整理得無非零實(shí)數(shù)解，，解得，故C正確；對(duì)于D，可得，所以曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，即都不超過3，故D正確.故選：ACD.非選擇題部分12.點(diǎn)到直線的距離最大值是____________．【答案】【解析】由題意得，直線過定點(diǎn)，則，如圖所示，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大值，且最大值為.故答案為：.13.如圖,在三棱錐中,已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為___________（用向量來表示）.【答案】【解析】由題意，在三棱錐中，已知平面，,∵面，∴，在中，，，∴,，∴向量在向量上的投影向量為：，故答案為：.14.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，其意思可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，設(shè)直線交雙曲線及其漸近線分別于，及，，如圖，由，得，由，得,線段，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的一個(gè)截面，它是一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)徑，外徑，此圓環(huán)面積為因此此旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的任意一截面面積都為，旋轉(zhuǎn)體的高為，而底面圓半徑為，高為的圓柱垂直于軸的任意一截面面積都為，由祖暅原理知，此旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面圓半徑為，高為的圓柱的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5神墻小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線，直線l過點(diǎn)且與垂直.（1）求直線l的方程；（2）設(shè)l分別與交于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求過三點(diǎn)A，B，O的圓的方程.解：（1）由題意可得的斜率為，可得直線l的斜率為，由點(diǎn)斜式方程可得，即直線；（2）聯(lián)立直線l和方程，解得；聯(lián)立直線l和方程，解得；如下圖所示：設(shè)過三點(diǎn)A，B，O的圓的方程為，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，可得圓的方程為（或）.16.如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點(diǎn)為棱上動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），平面與棱交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）已知，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）∵，且平面，平面，∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；（2）連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，在菱形中，°，∴△是等邊三角形，又∵為中點(diǎn)，∴，，同理，又∵，∴，∴，又，∴，故兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∴，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，故，又∵，設(shè)與平面所成角為，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長為6，A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，設(shè)直線l過定點(diǎn)，且與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．解：（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為6，所以，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得，由，得，則C的方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)B-2,0，顯然直線l不垂直于軸，則設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消去x得，由，得，則，，因?yàn)锳為雙曲線C的左頂點(diǎn)，所以，直線AE的斜率，直線AF的斜率，所以，即直線AE與AF的斜率之積為定值．18.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，平面平面，,，M是棱PC上的點(diǎn),且，.（1）求證：平面PAD；（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值.解：（1）因?yàn)?，，所以，，在中，，，由余弦定理得，，所以，即，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭堑冗吶切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面PAD，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?，平面，所以平?（2）取的中點(diǎn)N，連結(jié)，則，所以，以為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，,又，設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為n=x,y,z則即，當(dāng)時(shí)，平面平面，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得平面的法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由于平面與平面所成角的余弦值為，故有，解得或.19.已知橢圓，點(diǎn)為橢圓短軸的上端點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值僅在點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知．（1）若，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，也異于點(diǎn)，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．解：（1）由題意得橢圓方程為，所以，設(shè)，則，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)取最大值，此時(shí)為橢圓的短軸的另一個(gè)端點(diǎn)，∴橢圓“圓橢圓”；（2）因?yàn)闄E