浙江省紹興市2025屆高三上學(xué)期11月選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市2025屆高三上學(xué)期11月選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解不等式，得，即，又，故，故選：A2.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選：B.3.已知，，則（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】,,兩式相減得,兩式相加得,所以,即,故選：B.4.已知向量，，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則，，則在方向上的投影向量為：.故選：C.5.如圖，圓柱的底面直徑為3，母線長(zhǎng)為4，，分別為該圓柱的上、下底面的直徑，且，則三棱錐的體積是（）A.24 B.18 C.12 D.6【答案】D【解析】如圖：過(guò)上底面中心，作與下底面直徑平行的直線，連接，，則且，因?yàn)椋?，根?jù)圓柱的性質(zhì)可知，平面，則有，則，，又，，平面，所以平面，所以．故選：D．6.已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),依題意：,所以直線AB的方程為：,即,聯(lián)立,得所以,因?yàn)?所以,即,解得,故選：C.7.已知函數(shù)，且是的極小值點(diǎn)，則可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以不是的極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以，所以不是的極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂(lè)設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里可從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為110m，均勻設(shè)置有48個(gè)座艙（按順時(shí)針依次編號(hào)為1至48號(hào)），開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30min.甲、乙兩戶家庭去坐摩天輪，甲家庭先坐上了1號(hào)座艙，乙家庭坐上了號(hào)座艙，若從乙家庭坐進(jìn)座艙開(kāi)始計(jì)時(shí)，10min內(nèi)（含10min）出現(xiàn)了兩戶家庭的座艙離地面高度一樣的情況，則的最小值是（）A.16 B.17 C.18 D.19【答案】B【解析】設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動(dòng)出現(xiàn)了兩戶家庭的座艙離地面高度一樣，，只需考查旋轉(zhuǎn)的第一周內(nèi)即可，而摩天輪的座艙每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)，則乙家庭的座艙轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，摩天輪的兩個(gè)相鄰座艙中點(diǎn)間的圓弧所對(duì)圓心角為，甲家庭的座艙轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，依題意，甲乙兩戶家庭的座艙關(guān)于摩天輪垂直于地面的軸對(duì)稱，則，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是17.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨著農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的持續(xù)推進(jìn)，中國(guó)農(nóng)業(yè)連年豐收，農(nóng)民收入持續(xù)增加，農(nóng)村活力不斷增強(qiáng)，鄉(xiāng)村全面振興的美好藍(lán)圖變成現(xiàn)實(shí).某地農(nóng)科院為研究新品種大豆，在面積相等的塊試驗(yàn)田上種植一種新品種大豆，得到各塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：），并整理得下表：畝產(chǎn)量頻數(shù)則塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)中（）A.中位數(shù)低于 B.極差不高于C.不低于的比例超過(guò) D.第百分位數(shù)介于至之間【答案】BC【解析】由題知，共塊，所以其中位數(shù)為第和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由表格知，這兩個(gè)數(shù)據(jù)均在內(nèi)，故A錯(cuò)；由表格知，極差最大為，故B正確；由表格知，不低于的比例為，C正確；因?yàn)?，所以第百分位?shù)為排序后第個(gè)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由表格知，這兩個(gè)數(shù)據(jù)均在內(nèi)，所以第百分位數(shù)介于至之間，D錯(cuò).故選：BC10.下列各組函數(shù)的圖象，通過(guò)平移后能重合的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】ACD【解析】對(duì)于A，將的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象，故A正確；對(duì)于B，易知在上單調(diào)遞增；對(duì)于，，令，得，所以當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以不能通過(guò)平移由得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象，故C正確；對(duì)于D，將的圖象向上平移個(gè)單位后得到的圖象，故D正確.故選：ACD.11.在正三棱錐中，，，是底面內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)到該三棱錐三個(gè)側(cè)面的距離之和為定值B.頂點(diǎn)，，到直線的距離的平方和為定值C.直線與該三棱錐三個(gè)側(cè)面所成角的正弦值的和有最大值D.直線與該三棱錐四個(gè)面所成角的正弦值的平方和有最大值【答案】ABC【解析】由題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有，設(shè)，平面的一個(gè)法向量，顯然，所以有，令，得，所以，所以有，顯然所以，點(diǎn)到面的距離為；點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到面的距離為因，故選項(xiàng)A正確；由題可知，易知點(diǎn)A到的距離，同理，，，所以，故選項(xiàng)B正確；到平面的夾角的正弦值為；到平面的夾角的正弦值為；到平面的夾角的正弦值為顯然三個(gè)線面角的正弦值的平方和等于，可以垂直平面,所以與三棱錐的四個(gè)面的線面角的平方和最大值為2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；與三個(gè)側(cè)面的線面角之和為，因?yàn)?，所以有，其中表?為到平面的距離，所以，所以的最大值為，故選項(xiàng)C正確；故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】60【解析】的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式：.令-6=0，解得r=4．∴的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為:=60．13.若曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，則________.【答案】【解析】由，求導(dǎo)得，則，因此曲線在點(diǎn)處切線方程為，即，由直線與圓相切，得，所以.14.已知數(shù)列中，等可能取，0或1，數(shù)列滿足，，則的概率是________.【答案】【解析】由題意可得：，，，，若，則，各隨機(jī)從，0或1選一個(gè)，共有種情況；若，可分：都取0，一種情況；，兩個(gè)取0，一個(gè)取1，一個(gè)取，共有,，兩個(gè)取1，兩個(gè)取，共有,共計(jì)19種情況，所以的概率是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）設(shè)是的中線，若，，求.解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，又因?yàn)椋?，整理得，又因?yàn)椋?，所以，?（2）在中，由余弦定理，可得，解得或（舍），即在中，由余弦定理可知，解得.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的值域；（2）若存在，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增.因?yàn)?，，，且，所以的值域?（2）因?yàn)?①若，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以，不符合題意.②若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，要存在，當(dāng)，，則只需，所以.17.在四棱錐中，底面為菱形，，，，.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以是正三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，又，平面所以?所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.（2）解法1：因?yàn)椋允嵌娼堑钠矫娼?，?在中，，解得.如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.所以，所以，所以直線BC與平面PAB所成角的正弦值為.解法2：因?yàn)?，所以是二面角的平面角，?在中，，解得.所以，所以，且，取PB中點(diǎn)F，連接,在等腰直角三角形中，，同理，所以，所以，又，所以平面，所以即為直線AD與平面所成角，又，而，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)間的距離為.（1）求的方程；（2）過(guò)左焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上.（i）若的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程；（ii）若的重心在軸上，求的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）由題意知，即，又，解得，，，所以的方程；（2）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)Ax1,y1，Bx2因?yàn)榈闹匦臑樵c(diǎn)，所以，所以，又，代入，可得，解得，所以直線方程是.（ii）設(shè)，由（i）可知，，代入，可得，解得，所以.所以，且，所以.19.維向量是平面向量和空間向量的推廣，對(duì)維向量，記，設(shè)集合.（1）求，；（2）（i）求中元素的個(gè)數(shù)；（i