浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合或，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，則，由或，得，所以.故選：C2.若（，為虛數(shù)單位），則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由，得，，則.故選：B.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知平面向量，，若，則（）A.或 B.或C.或3 D.或3【答案】A【解析】，且，，即，，即，或.故選：A.5.已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時，不一定成立，所以命題成立的一個必要不充分條件是.故選：D6.直線交曲線于點A，B，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】即，則直線恒過定點,且曲線的圓心為,將點代入圓方程得，所以點在圓內(nèi).設(shè)圓心到直線的距離為，則，因為圓心到直線距離的最大值為直線所過定點與圓心的距離，即，.故選：B.7.已知x為正實數(shù)，y為非負(fù)實數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由x為正實數(shù)，y為非負(fù)實數(shù)，得，由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：B8.若對任意實數(shù)，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，設(shè)，則，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，，即，當(dāng)時，則，不妨取，即，當(dāng)時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即，而有在上恒成立，，即，綜上可得故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（）A.或 B.C. D.【答案】ACD【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，或，故A正確；當(dāng)時，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故D正確；若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD10.已知直線m，n為異面直線，平面，平面，則下列線面關(guān)系可能成立的是（）A. B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】AD【解析】對AD，當(dāng)平面平面，且時，兩直線可以為異面直線，故AD正確；對C，若平面平面，則，則共面，這與直線m，n為異面直線矛盾，故C錯誤；對B，當(dāng)平面時，則平面平面，此時與C錯誤一致，故B錯誤.故選：AD.11.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值 D.【答案】AB【解析】等差數(shù)列中，，解得，，解得，于是等差數(shù)列的公差，，前項和，對于A，顯然，，因此數(shù)列是等比數(shù)列，A正確；對于B，，B正確；對于C，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，前4項均為正數(shù)，第5項為0，從第6項起都為負(fù)數(shù)，因此當(dāng)或時，取得最大值，C錯誤；對于D，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，因此，D錯誤.故選：AB12.雙曲線：上一動點，，為雙曲線的左、右焦點，點為的內(nèi)切圓圓心，連接交軸于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，點在的內(nèi)切圓上B.C.D.當(dāng)時，【答案】AB【解析】對A，當(dāng)點位于雙曲線右支時，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于點，，，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有，再根據(jù)雙曲線的定義，有，，得到，設(shè)，則有，解得，即，所以當(dāng)時，點在的內(nèi)切圓上，故A正確；對B，以下證明雙曲線焦半徑公式，設(shè)點為雙曲線上一點，若點在雙曲線左側(cè)，此時左準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，若點在雙曲線右側(cè)，此時右準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，對于本題來說，當(dāng)點在雙曲線右支上時，由于為的角平分線，因此，結(jié)合，得到，同理當(dāng)點在雙曲線左支上時，由于為的角平分線，因此，解得，故B正確；對C，當(dāng)點位于雙曲線右支上時，由于為的內(nèi)心，軸，根據(jù)A選項的結(jié)論可知的橫坐標(biāo)為，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式，有，即得到，故C錯誤；對D，當(dāng)時，點在雙曲線的左支上，同A選項方法可得，同C選項方法（或根據(jù)雙曲線對稱性可得）可得，顯然，，則，故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，則展開式中的含的項的系數(shù)為___________.【答案】270【解析】由展開式的二項式系數(shù)之和為，解得，所以展開式的通項公式為，令，解得，所以含項的系數(shù)為.故答案為：270.14.已知函數(shù)在上存在極值點，則正整數(shù)的值是___________【答案】5【解析】，時，或，因為函數(shù)定義域為，在左端點處無法取到極值，，而，所以，，經(jīng)檢驗滿足題意，故答案為：5.15.盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計的，已成為巴黎的城市地標(biāo)，盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長為，高為，若該四棱錐的五個頂點都在同一個球面上，則該外接球的表面積是___________.【答案】【解析】如圖，因為，所以球心在的延長線上，因為正四棱錐的底面邊長為，高為，所以，設(shè)，，則，解得，所以半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：16.已知為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，過點的直線交C于A、B兩點，直線、分別交C于M、N，則的最小值為___________【答案】9【解析】設(shè)，直線：，則，得，所以，則，由過焦點，設(shè)直線：，則，得，所以，則，同理可得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周長的取值范圍.解：（1）由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．（2）由正弦定理得，即，則，，因為，解得，得，所以，得．18.已知數(shù)列的前n項和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，，，，，則，，，又，，.（2）由（1）得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，.19.臨近新年，某水果店購入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測.①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.解：（1）由題意知：，所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以隨機(jī)變量X的期望為；②由題意可知：為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，所以.20.如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，.（1）求證：；（2）若平面平面，在線段（包含端點）上是否存在一點E，使得平面平面，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.證明：（1）取的中點，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，由，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；解：（2）由（1）得，因平面平面且交線為，且平面，所以平面，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，則設(shè)平面的法向量為則，令，所以，若平面平面，則，求得，此時，所以．即此時.21.已知橢圓：與圓交于M，N兩點，直線過該圓圓心，且斜率為，點A，B分別為橢圓C的左、右頂點，過橢圓右焦點的直線交橢圓于D、E兩點，記直線，的斜率分別為，.（1）求橢圓的離心率；（2）若，求的值.解：（1）由已知得，中點為，設(shè)，則，，，作差得，即，由得，，得.（2）由（1）及題設(shè)得橢圓的方程為：，則，則其右焦點，，，設(shè)，直線的方程為，，，過作軸的垂線交分別于點，，則直線，令，則，得同理直線，得得，所以由（※）知，，得．.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個解，求證：.解：（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單