浙江省紹興市諸暨市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市諸暨市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意：1．本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A B. C. D.【答案】B【解析】由題可知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：B2.已知是等比數(shù)列，公比為q，前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，所以，解?故選：C.4.如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)P在上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為B.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為8C.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為D.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】D【解析】對(duì)于A，由，得，，可知數(shù)列是首項(xiàng)為8，公差為的等差數(shù)列，則，則，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，而，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為9，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D6.已知曲線E：，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.曲線E關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線E與直線無公共點(diǎn)C.曲線E上的點(diǎn)到直線的最大距離是D.曲線E與圓有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】C【解析】因?yàn)榍€E的方程為，當(dāng)，時(shí)，曲線E的方程為，當(dāng)，時(shí)，曲線E的方程為，是焦點(diǎn)在上的等軸雙曲線右支的一部分.當(dāng)，時(shí)，曲線E的方程為，是焦點(diǎn)在上的等軸雙曲線上支的一部分.作出曲線E的圖象如圖：由圖象可知曲線E關(guān)于直線對(duì)稱，曲線E與直線無公共點(diǎn)，故A，B正確；作的平行線與曲線E切于點(diǎn)，曲線E上的點(diǎn)到直線的最大距離是圓的半徑為，故C錯(cuò)誤；圓的圓心為：，曲線E上的點(diǎn)到圓心的最大距離為.圓過點(diǎn)，如圖：曲線E與圓有三個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，在橢圓C：上，且直線OA，OB的斜率之積為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，得到，得，.故選：C8.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，若直線AB與平面xOy交于點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡方程為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】依題意，，顯然，則，解得，又，即，所以.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.記為無窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A. B.C.數(shù)列為遞減數(shù)列 D.數(shù)列有最小項(xiàng)【答案】BD【解析】對(duì)于A，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，又，即，所以，且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，又，故B正確；對(duì)于C，若，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，此時(shí)數(shù)列不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，則有最小項(xiàng)，無最大項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，若n為正奇數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞減，則，若n為正偶數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，綜上所述，數(shù)列有最小項(xiàng)，故D正確.故選：BD.10.如圖，在正三棱臺(tái)中，已知，則（）A.向量，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底B.在上的投影向量為C.AC與平面所成的角為D.點(diǎn)C到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，正三棱臺(tái)中，向量，，不共線，故向量，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，A正確；B選項(xiàng)，，故，，取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則⊥，⊥，取的中心，連接，則⊥底面，過點(diǎn)作平行于，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼?，則，故，，故在上的投影為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令得，故，，設(shè)AC與平面所成的角為，則，故，故AC與平面所成的角為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，點(diǎn)C到平面的距離是，點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)C到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍，D正確.故選：AD11.已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線也恒過點(diǎn)，設(shè)，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可知，，，，∵，∴，則錯(cuò)誤；由拋物線的定義可知，則正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線恒過點(diǎn)，設(shè)，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可知，，，，則，即，∴，則正確；，則正確；故選：.12.已知函數(shù)，，記，，則（）A.若正數(shù)為的從小到大的第n個(gè)極值點(diǎn)，則為等差數(shù)列B.若正數(shù)為的從小到大的第n個(gè)極值點(diǎn)，則為等比數(shù)列C.，在上有零點(diǎn)D.，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】由函數(shù)，可得，，對(duì)于A中，由，令，可得，解得，即所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B中，由，則，可得（常數(shù)），所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以B正確；對(duì)于C、D中，由，令，即，顯然，且時(shí)，不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)，且時(shí)，可得，令，其中，且，可得，令，即，即，解得，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極小值，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極大值，且，所以函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)與沒有公共點(diǎn)，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與只有一個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，則________．【答案】0【解析】，圓心為，半徑，所以，則.故答案為：14.數(shù)列滿足，，則________．【答案】【解析】由題意，易知，由，兩邊取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，則.故答案為：.15.已知函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率不大于1，則切點(diǎn)為整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的個(gè)數(shù)是________．【答案】4【解析】由題意，，即，解得，其中的整點(diǎn)有0,1,2,3，共4個(gè).故答案為：416.已知，是雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，過作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為N，直線與雙曲線C交于點(diǎn)，且均在第一象限，若，則雙曲線C的離心率是________．【答案】或【解析】因?yàn)榫诘谝幌笙?，所以垂足在漸近線上，，則，由題意可得，所以，又因，所以，即，所以，所以，故，在中，，則，在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，離心率，當(dāng)時(shí)，離心率，所以雙曲線C的離心率是或.故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記是公差為整數(shù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，，成等比數(shù)列．（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．解：（1）設(shè)，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.（2）由知：，故，由所以.18.已知圓M：，圓N經(jīng)過點(diǎn)，，．（1）求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷兩圓位置關(guān)系；（2）若由動(dòng)點(diǎn)P向圓M和圓N所引的切線長(zhǎng)相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．解：（1）由題意可知：，則圓N是以為直徑的圓，則圓N的圓心，半徑，所以：，又因?yàn)閳AM的圓心，半徑，可得，即，所以兩圓外離（相離）.（2）設(shè)圓M上的切點(diǎn)為A，圓N上的切點(diǎn)為B，由題意可得：，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)榱?，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：和，單調(diào)遞減區(qū)間為：（2）①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故只有一個(gè)極小值點(diǎn)，與條件矛盾，故舍去．②當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有兩個(gè)極值點(diǎn)a和，與條件相符．③當(dāng)時(shí)，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有兩個(gè)極值點(diǎn)a和，與條件相符．④當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，舍去．⑤當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故只有一個(gè)極大值點(diǎn)，與條件矛盾，故舍去．綜上可得：或20.在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，交于O，，，．（1）求P到平面的距離；（2）求鈍二面角的余弦值．解：（1）由題知，，，，，由，，，得平面．在正中，作于H，又平面,平面，所以，又AO，BD是平面ABCD內(nèi)兩相交直線，所以面，所以，點(diǎn)P到平面ABCD的距離為．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知是中點(diǎn)，即，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)所求鈍二面角的平面角為，則．21.物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛．其定義是：對(duì)于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．已知，如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用代替重復(fù)上述過程得到，一直下去，得到數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，滿足，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1），在點(diǎn)處的切線方程為：令，得，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故（2）令法一：錯(cuò)位相減法，，兩式相減得：化簡(jiǎn)得：故，化簡(jiǎn)得令，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以從而整數(shù)；法二：裂項(xiàng)相消法由，設(shè)且，則，于是，得，即所以故，化簡(jiǎn)得令，則時(shí)，，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以從而整數(shù)22.拋物線C：，橢圓M：，．（1）若拋物線C與橢圓M無公共點(diǎn)，求