浙江省臺(tái)州市三校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺(tái)州市三校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榧?，，?故選：B.2.下列關(guān)于，的關(guān)系式中，能表示是的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，得，即，不滿足函數(shù)定義，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，得，即，不滿足函數(shù)定義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，即，滿足函數(shù)的定義，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，得，即，不滿足函數(shù)定義，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】依題意得，解得，所以的定義域?yàn)?故選：D.4.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則；由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，由，則.故選：A.5.已知，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a【答案】C【解析】函數(shù)是定義域R上的單調(diào)減函數(shù)，且，則，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小關(guān)系為．故選：C.6.已知實(shí)數(shù)，且“”的一個(gè)必要不充分條件是“”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，由，，得，即，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以，得（等號(hào)不能同時(shí)成立），解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.7.過點(diǎn)與圓相切兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，若切線斜率不存在時(shí)，則直線方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，不合乎題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即，則有，整理可得，則，設(shè)兩切線的斜率分別為、，則、為關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以，，由題意，，由，解得.故選：D.8.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)不具奇偶性，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，B是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，，是奇函?shù)，D不是.故選：BC.10.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由題意得，.A.，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由集合與元素的關(guān)系得，，，選項(xiàng)C，D正確.故選：CD.11.如圖，在直棱柱中，各棱長(zhǎng)均為，則下列說法正確的是（）A.異面直線與所成角的正弦值為B.當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則直線與平面所成角的最大值為C.當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小值為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，連接，，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為，，，，所以異面直線與所成角的正弦值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接交于點(diǎn)，連接，在菱形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊三角形中，，則直線與平面所成角的正弦值為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，所以直線與平面所成角的最大值為，故B正確；對(duì)于C，將四邊形與沿著棱展開得四邊形，則的最小值即為，故C正確；對(duì)于D，，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，的外接圓半徑，三棱錐外接球半徑，三棱錐外接球表面積，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______．【答案】，【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”.13.已知，若，，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，若，，可知，則，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.14.設(shè)函數(shù)，若且，則當(dāng)取得最小值時(shí)__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，又因?yàn)榍?，則，所以，所以，則，則當(dāng)取得最小值時(shí)，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）求和；（2）已知，寫出集合的所有非空子集.解：（1）因?yàn)?，，則，.（2）因?yàn)槿?，，則，所以，集合的所有非空子集為：、、、、、、.16.設(shè)．注：.（1）證明：；（2）若，求的最小值．解：（1），．均不為0，則，．（2）由可知．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，．的最小值為.17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）已知“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1），得，所以.，當(dāng)時(shí)，，.（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以.當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，解得.綜上所述：.18.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，試判斷的單調(diào)性，并用定義證明.解：（1）令，則，原不等式可化為，解得，即，可得，故原不等式的解集為.（2）在上為增函數(shù)，證明如下：因?yàn)?，任取，，且，則.因?yàn)?，則，，可得，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù).19.已知函數(shù)，且.（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范圍；（3）若，且在上的最小值為，求的值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以函數(shù)奇函數(shù).（2）由，，得，則，