2024年高考數學突破145分專題29 定義法或幾何法求空間角13

專題29定義法或幾何法求空間角

一、單選題

1.在長方形A8C。中，AB=2AD,過AD,8c分別作異于平面A8CQ的平面。，。,若,貝IJ/

與BQ所成角的正切值是（）

A.—B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】

將異面直線平移到同一平面A8C。中即有/與8。所成角為NAO8,即可求其正切值.

【詳解】

由4O〃3C及線面平行的判定定理，得ADH。,

再由線面平行的性質定理，得AD/〃.

所以/與B力所成角是NAOB，從而tanNAO4=2.

故選：C.

【點^青】

思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題

化歸為共面直線問題來解決：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條到同一平面內；

（2）認定：確定異面直線所成的平面角：

（3）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（（）,§],當角為鈍角時，應取補角作為兩條異面直線所成的

角.

2.在正方體—,￡為棱A4的中點，則異面直線EG與AO所成角的正切值為（）

B6

A.旦C.咚D.旦

222

【答案】c

【分析】

利用正方體48co-中，B.C./MD,將問題轉化為求共面直線EC；與4G所成角的正切值,

在VGB|E中進行計算即可.

【詳解】

在正方體A8CO-A與GA中，B.CI/MD,所以異面直線EG與AO所成角為NEG4,

如圖設正方體邊長為2。，則由E為棱AA的中點，可得4七=。，所以4石=石〃,

則33-第二粵=手

故選:C.

【點睛】

求異面直線所成先主要有以下兩種方法:

幾何法:①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的

三角形;③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角.

向量法:①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取

絕對值即為直線所成角的余弦值.

O

3已知三棱柱A3C-4SG的側棱與底面垂直'體積為I'底面是邊長為右的正三角形’若P為底面

44G的中心，則Q4與平面A8c所成角的大小為（)

5萬冗

A.—B.一

123

【答案】B

【分析】

根據三棱柱ABC-a4G的體積公式，求得OP二石，結合線面角的定義，即可求解.

【詳解】

如圖所示，底面是邊長為6的正三角形，可得SaABc=gxGxGxsin60o=孚，

?，解得OP=G，

設。點是A/WC的中心，所以匕8CABC=S.OP=—OP=

HC4

乂由04=Gx—x—=1?

23

在育角△Q4P中,可得tanNQ4P="="=百，

OA1

7FJI

又0</。42<一，所以NOA尸二一.

23

4.空間四邊形ABC。中，人8、BC、C。的中點分別是P、Q、凡且PQ=3,QR=5,PR=7,那么異面直線

AC和4。所成的角是（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】B

【分析】

由異面直線所成角的定義確定異面直線所成的角，然后在三角形中由余弦定理計算.

【詳解】

，：AB、BC、。。的中點分別是P、Q、R,PQ//AC.QR//BD,

取AM的中點尸，連接PN、PB，設g=。，設A3=2,

?.?p、N分別為44、AG的中點，則PN〃與G且PN=；8c，

在正三棱柱ABC-AB?中，BC//BG且BC=B.C,,

加為3C的中點，所以，BM；/P1^BM=PN，

則四邊形"MAT為平行四邊形，所以，MN//PB.

所以，異面直線MN與A片所成的角為ZAQB或其補角，

PB=y]PB；+BB；=6，

AB{=JAB?+BB~=2V2，

PB124萬2N/5

?：、B\HAB,則絲二芻2：]----,BQ.PB=

1=AB=2'..4Q=V=------,

'BQAQ33

由余弦定理可得cosZAQB=

2AQBQ10

因此，MN與Aq所成角的余弦值為巫.

10

故選：D.

【點睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面

直線問題來解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（）,g,當所作的角為鈍角時.,應取它的補角作為兩條異面

直線所成的角.

6.如圖在四面體RWC中，尸C_L平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么直線AP和C8所成角的余

弦值（）

A.克B.旦C.1D..也

4224

【答案】A

【分析】

設,43=8。=。4=。。=2,分別取48）。,夕。的中點。,￡/，連接DE,EF,DF,CD,則

DEI/BC,EFIIAP,所以NDEF（或其補角）就是直線AP和CB所成的角，根據三角形的余弦定理可求

得選項.

【詳解】

設AB=BC=CA=PC=2,分別取A民AC/C的中點。,￡尸，連接DE,EF,DF,CD,

\aDEHBC,EFHAP,所以尸（或其補角）就是直線AP和C3所成的角,

又PC_L平面ABC,3（=平面48。，所以夕。，DC，所以DF=《FC2+DC2可=2,

乂DE=LBC=T,FE=-AP=y/2,所以在ADE尸中，

22

l2+(V2)2-22

DE2+EF2-DF2

cosZ.DEF=正,

IDExEF2xlxV24

所以直線AP和CB所成角的余弦值為變.

本題考查求異面直角所成的角，平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，

把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是,當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面

I2」

直線所成的角.

7.如圖所示，點戶是二面角一萬棱上的一點，分別在。、〃平面內引射線PM、PN,若

/BPM=/BPN=45,NMPN=60，那么二面角二一A3一尸的大小為（）

A.60B.70C.80D.90

【答案】D

【分析】

過A8上一點Q分別在。、夕內做A8的垂線，交PM、PN于?點、M、N,則NMQN即為二面角

夕-48-￡的平面角，設「。=〃，通過解三角形即可求出答案.

【詳解】

解：過A8上一點Q分別在。、夕內做A8的垂線，交PM、PN『點、M、N,

則/MQN即為二面角。一A8一夕的平面角，如下圖所示：

設,PQ=a,?:/QPN=/QPM=45,

:.QN=QM=a,PN=PM=屑，

乂：NMPN=60，A4MPN為等邊三角形，則MN=&，

：.QN2+QM2=MN\

???/MQN=90,

故選：D.

8.如圖，ABC。-44GA是正方體，則與?！┧山堑挠嘞抑凳牵ǎ?/p>

1518J3

A.—B.—C.—D.—

172172

【答案】A

【分析】

通過平移直線求得異面直線所成的角，再由余弦定理即可得解.

【詳解】

過點A在平面ABRA內作再過點片在平面AB牛4內作gEV/AE,如圖,

則/B&E或其補角即為BEJjDF.所成的角,

因為A8CO—A與G2是正方體，不妨設=2￡=-\B=1,

則8E=gA8=2,g=Eg="+1=如，

cos/吟明"E*=17+17.415

所以在△BgE中,

2BEIE,E-2XVT7XVF717

故選：A.

9.在長方體ABCO-4BC|A中，AA}=AD=\,AB=2,P、。分別為上底面的邊AZ）、CO的中

點，過尸、Q的平面與底面交于R、s兩點，R、s分別在下底面的邊用G、A片上，B\S=；,

平面PSRQ與棱AR交于點丁，則直線75與側面4RZM所成角的正切值為（）.

5

A.-

2

B.2

C.V3

D,更

2

【答案】A

【分析】

根據題意畫出圖形，通過分析可知，直線燈與側面4RD4所成角為則tanNA7S=，J,然后

根據圖形中的幾何條件分析計算出47及AS的長度即可解得答案.

【詳解】

延長。7和SR交于點￡,連接QH,4G，

VPQU平面ABCD，平面A8CO〃平面兒用。自，

???PQ//平面AAGA，

又PQu平面PQRS,且PQKSnA圈CQ=RS,

APQ//RS,又PQ〃AG

:.RS"\C\,.??4sgm

AB,4G24

又B\C】=AD=l,：.BiR=一,

14

?:"ESskB\RS,

1

As空S2-

---=2,且AS=Ag_gS=|,.?.A￡=(,

AE用R1

4-

APAE11

R…MET,???布二布，且”=^。=展

3

?韋=爺號$乂

2

根據線面夾角的概念可知，直線75與側面AAD4所成角為NAG，

3

則tanZA.TS==^-=—.

A732

5

故選：A.

【點睛】

本題考查直線與平面夾角的計算問題，利用定義法求解線面夾角時，一般步驟如下：

（1）找出斜線在平面內的投影，或根據題目條件通過作輔助線找到投影，找到所求角；

（2）根據幾何條件計算所求角所在三角形的各邊長；

（3）根據解三角形的方法計算所求知的三角函數值.

10.如圖，在正四棱錐尸一/WC。中，設直線依與直線。C、平面A8CQ所成的角分別為。、。,二面

角P—CD—B的大小為？,則（）

A.a>。,丫>BB.a>p,y<p

C.a</3，Y>PD.a<P，y<P

【答案】A

【分析】

連接AC、8。交于。，連P。，取CO的中點連OE,PE,根據正棱錐的性質可知，/PCE=a,

々CO=P,NPEO=y,再比較三個角的正弦值可得結果.

【詳解】

連接AC、BD交于O,連P。，取CO的中點E，涯OE、PE,如圖：

因為A8//S,所以N?84=a,乂因為四棱錐產一A6co為正四棱錐，所以NPCE=a,

由正四棱錐的性質可知，PO_L平面A3CO.所以NPCO=Q,

易得OE上CD，PE工CD,所以NPEO=y,

PFp（）

因為sina=而，sinp=—,且PE>PO,所以sina>sin/7,乂a,/都是銳角，所以a>尸，

POPO

因為siny=—,sin/?=—,且POPE,所以siny>sin￡,因為都是銳角，所以y>6.

PEPC

故選：A

【點睛】

關鍵點點睛：根據正棱錐的性質，利用異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義得到

這三個角是解題關鍵，屬于中檔題.

11.已知在正方體ABCO-ABCA中，M，N分別為AQ，AC上的點，且滿足AO=3M。,

AN=2NC,則異面直線MV與GA所成角的余弦值為（）

2石C.2

A.B.正D,巫

可534

【答案】A

【分析】

取線段4）上??點E，使AE=2ED，連接ME,NE,證明NMNE（或其補角）為異面直線MN與GA

所成的角，在..MAE中求出此角的余弦即可.

【詳解】

取線段A。上一點E，使AE=2ED,連接ME,NE,如圖所示，

MDCNDE

因為4￡)=3A/D,林=2NC，所以南~~AC~^\D~3

所以NE//CD,ME//AA、,

又CD/iCR,所以易知NMNE（或其補角）為異面直線MV與所成的角.

正方體中J.平面4BCO,NEu平面所以A4J.NE,所以MEtNE

21

設該正方體的極長為3〃，則EN=§CO=2a,ME=§A4=a，

所以在用△MNE中，MN=[ME?+EN?=出+./=風,

EN245

所以cosNMNE=——--

MNF

故選:A.

【點睛】

本題考查異面直線所成的角，解題時需根據定義作出異面直線所的角，并證明，然后再計算.

12.如圖所示，已知正方體A8CD-A4GA，則直線GA與平面ABC所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

把G。與平面43C所成的角轉化為4片與平面43C所成的角，根據線面垂直的判定定理，證得八四1

平面A8C,得到N4A。為44與平面A8C所成的角，在直角aAA。中，即可求解.

【詳解】

由題意，在正方體八BCO-AZGA中，可得A4〃GR,

所以直線GR與平面A8C所成的角，即為4片與平面dec所成的角,

連接A4交4產于點0,可得AB|_L48,

又由8C_L平面A8與A,因為u平面，可得8c，4片

由線面垂直判定定理，可得4與_平面ABC,

所以/44。為AS與平面A,BC所成的角，

設正方體入區(qū)8-4qGA的棱長為I,可得40=也.

2

在直角,48。中，sin/gAO=芻e二也，

Aq2

因為NB|AOw(0,90),所以N旦4。=45.

故選:B.

13.如圖，四棱錐產一A8CD中，48co為矩形，平面平面ABC。，PA=PD,。是線段尸C上

的點（不含端點）.設AQ與BC所成的角為。，AQ與平面ABCD所成的角為￡,二面角Q-AB-C的平

面角為/,則（）

A.a<p<yB.P<a<yC.y<P<aD.p<y<a

【答案】D

【分析】

根據空間角的定義作出異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角，歸結在直角三角形中

計算正弦值、余弦值，然后可得角大小.

【詳解】

如圖，取AZ）中點E，連接PE，PA=PD，,FE工AD，而平面平面AUCZ），平面人少二

平面ABCD=AD，，PE_1_平面ABCDr

連接EC,作QO//PE交EC于0,則QOJL平面A8CO,

:AD//BC,：.ND4Q為直線A。與所成的角，即ZDAQ=a，作QN_L4。于七，Jsina二券,

QA

連接40,則N04。是直線AQ與平面A8CO所成的角，即/040二4，顯然Q0_LQ4,

??.sinQ=絲,

A0

作0M//BC交AB于M，則0M_LA3,連接QW,由0Q_L平面ABCO得Q。，AB,

Q0P|0M=0,?,?ABJ■平面AOM,J???/。〃。是二面角Q—A8—C的平面角，即

NQM0=y,同樣Q0J.0M,sin/=-^-,

0M

由圖可知。Q<QN,.,.sina>sin/7,a>（3（a,/都是銳角），

OM<AO,Asiny9<sin/,/?</（/也是銳角），

NAOM

xcosa=—,cos/=-根據上面作圖過程知OMAN是矩形，。例=AN,??.cosa<8s/,.?.

QAQM

a>Y,

綜上va.

故選：D.

【點睛】

本題考查空間角：異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，解題關鍵是根據它們的定義作出這

些角（平面上的角），然后利用三角函數值比較它們的大小.

14.在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角二角形的四面體稱為鱉胭.在鱉骯A4CD中,

48_1平面3。。，且48=8。=。力，則異面直線AC與區(qū)。所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】

如圖所示，分別取48,AO,BC,8。的中點E，F,G,0,則EF//BD,EG//AC,FO±OG,

ZFEG為異面直線AC480所成角.

【詳解】

解：如圖所示，分別取4B，ADBC,5。的中點E，F，G,0,則EF//BD,EG//AC,FO1OG,

."FEG為異面直線AC與8。所成角.

設AB—2。，則EG-EF—y/2ufFG=Ja?+/=y/2a

:"FEG=60°，

???異面直線AC與8。所成角的余弦值為:，

故選：4.

【點睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面

直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

(71

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,-,當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直

線所成的角.

15.己知長方體ABCO-AqG。的高M=2,47=2遙，4優(yōu)=尤4。=)，，則當x+y最大時，二面

角A-qR-G的余弦值為（）

A屈B厲C石D石

A?----------D?--------------L?1U?一，

5555

【答案】B

【分析】

先由基本不等式得確定當且僅當工=>=4時-，工+》取得最大值8,接著求出a=〃=2jLAB|=AR=4,

々R=4C=2?,再取的中點丁，連接AT，a丁,AC,,并確定乙4丁￡就是二面角A一旦。一G

的平面角，最后在三角形ACJ中由余弦定理求得cosZATQ解題.

【詳解】

解：設人A=a,BC=b,

則由題意得：/+從=(26)2,a2+22=x2^b2-v22=y2,

所以/+)戶=32,由基本不等式得:(x+y)2^2(x2+y2)=64,

當且僅當x=y=4時，x+y取得最大值8,此時。=;?=26，A4=A〃=4,

所以4"=Ac=2n，

取與。的中點丁，連接AT.c,r,AC,,如圖，

則ATJL與。1,C.riB.D,,則NATG就是二面角從一片。廠0的平面角，

在等腰三角形44耳。中，因為A^=A，=4,B\D、=2瓜,所以AT=JF5，

在等腰三角形中，因為C4=GA=2G，B°=2瓜,所以G7="，

在長方體A8C。一AMGA,求得AC】=25/7,

故在三角形ACJ中，由余弦定理得cosNA7G=W+』?一仁=--，

2ATTQ5

故選：B.

【點睛】

方法點睛：本題主要考查二面角的余弦值的求解，是中檔題.求二面角的常用方法:

（1）找（確定二面角的平面角）

①點（定義法）：再二面角的棱上找?個特殊點，在兩個半平面內分別作垂直與棱的射線；

②線（三垂線定理）：過二面角的一個面內一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可

找到二面角的平面角或其補角；

③面（垂面法）：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角H勺兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的

角即是二面角的平面角.

（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）

①在三角形中，利用余弦定理求值；

②射影面積公式求值：

③利用公式法求值.

還可以建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值.

二、多選題

16.在正方體A4co中，E,F,G分別為8C,CCi,B辦的中點，則（）

A.D\D1AF

B.BG〃平面4E/

C.異面直線4G與Eb所成角的余弦值為W

10

D.點G到平面AEr的距離是點C到平面的距離的2倍

【答案】BCD

【分析】

利用正方體的性質，平移異面直線得到它們的平面角進而證A尸是否垂直及求直線4G與E/所成角

的余弦值即可，利用等體積法可求G到平面4石尸的距離與點C到平面AE/的距離的數量關系，利用線面平

行的判定即可判斷4G、平面AEF是否平行.

【詳解】

A選項，由DDJ/CG,即CG與A廠并不垂直，所以。。_LA/錯誤.

8選項，如下圖，延長FE、交于G'連接力G'、GF,有GF//BE又E,F,G分別為8C,CG,BBi的中

點，所以GG'=8A=A4,而AA〃GG',即AG//AG'：又因為面ABqAfl面AE/=AG,且A,G二

ffiAEF?A。u面ABB]A，所以4G〃平面AEF,故正確.

C選項，取4G中點，.連接G",由題意知G，與EV平行且相等，所以異面直線4G與E廠所成角的

平面角為NAGH,若正方體棱長為2,則有G"=J2，AG=a〃=W，即在,4GH中有

AB

。選項，如下圖若設G到平面的距離、C到平面AE*的距離分別為九、〃2,則由

匕-GE尸=§,A8-SGEF=VG.AEF=--/?!-SAEF旦VA.CEF=—,A'SCEF=匕_八所=§也，SAEF,知

/_=率紇=2,故正確

乙、CEF

故選：BCD

【點睛】

思路點睛：求異面直線所成角時平移線段，將它們置于同一個平面，而證明線面平行主要應用線面平行的

判定、線面垂直的性質證明.

1、平移：將異面直線置于同一平面且有一個公共點，結合其角度范圍為（0,]].

2、線面平行判定：由直線平行該直線所在的一平面與對應平面的交線即可證線面平行.

3、由%匕1￡￡尸二%1即即可求6、C到平面AEP的距離比?

17.在樓長為1的正方體中A8CD—44GA中，點夕在線段AQ上運動，則下列命題正確的是（）

A.異面直線GP和C4所成的角為定值

B.直線CO和平面平行

c.三棱錐O-BPG的體積為定值

D.直線CP和平面A8GR所成的角為定值

【答案】ABC

【分析】

人由正方體的性質判斷8c_L平面4BG。，得出8C_LC/,異面直線GP與所成的角為90。：B：

由CD//AB,證明CQ〃平面即得C。〃平面3PG；C：三棱錐。一BPC；的體積等于三棱錐的

體積P-OBG的體積，判斷三棱錐O-3PG的體積為定值；）找出直線CQ和平面A3G2所成的角，

可知其不是定值.

【詳解】

解：對于4,因為在正方體A8CQ—4耳GR中，

B.C±BC.,^.CIC.D,,

又BCCCR=C],BC「

所以4C_L平面43Go1,

而C/u平面45GA,所以AC_LGP,

故這兩個異面直線所成的角為定值90。，所以A正確；

對「8,因為平面8PC1與面A8Gq是同一平面，

DC//AB,AB\面ABC.,。。仁平面A8G。，

故8〃平面4BGP，即?！ㄆ矫妗魇瑓s，故B正確；

對于C,三棱錐。-BPG的體積等于三棱錐P-DBG的體積，

而平面為固定平面，且?DBG大小一定，

乂因為PEAR,

因為A〃〃8G，4"仁平面3OC,80匚平面8。6，

所以AR〃平面OB。，

所以點A到平面DBC1的距離即為點P到該平面的距離，為定值,

所以三棱錐。-BPG的體積為定值，故c正確；

對于。，由線面夾角的定義，令6G馬4。的交點為o,

所以用。，平面ABGR,

可得ZCPO即為直線CP與平面ABGD,所成的角，

當P移動時這個角是變化的，故D錯誤.

故選:ABC.

【分析】

本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定及性質，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，空間中的

距離，屬于較難題.

18.20世紀50年代，人們發(fā)現利用靜態(tài)超高壓和高溫技術，通過石墨等碳質原料和某些金屬反應可以人工

合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及他們的過渡形態(tài).其

中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個頂點，14個面（6個正方形、8個正三角形），它是將立方體“切”

去8個"角''后得到的幾何體.已知一個立方八面體的校長為1,則（）

A.它的所有頂點均在同一個球面上，且該球的直徑為2

B.它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直

C.它的體積為述

3

D.它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等

【答案】ACD

【分析】

利用立方八面體與正方體之間的關系計算出正方體的棱長，可判斷A、C選項的正誤；計算出不共面的棱所

成角的大小可判斷B選項的正誤，計算相鄰的兩個面所成二面角的大小可判斷D選項的正誤.

【詳解】

如下圖所示，由題意可知，立方人面體的頂點為正方體A8CQ-44G。各棱的中點，

故立方八面體的棱為正方體A3。-4gG。相鄰兩條棱的中點的連線，

故lE方體的楂長為J]2+]2=6,

由對稱性可知，立方八面體的外接球球心為正方體ABC。-44GA的中心，

外接球的直徑為正方體ABC。-AMGR的面對角線長2,該球的半徑為1，A選項正確：

毆MN、尸Q為立方八面體的兩條不共面的棱，如下圖所示，則MN〃片R,

在正方體A8CO-A與G"中，BBJ/DD\RBB\=DD],則四邊形為平行四邊形，

:.BDgD\,：.MNHBD、由于PQ//BQ,

易知-BG。為等邊三角形，則/。避。=60,所以，MV與PQ所成角為60，B選項錯誤；

31]（萬丫苗歷

立方八面體的體積為丫=（及＞-8x—x—x=—,C選項正確；

vJ32（2J3

設正方體ABCD-ABCR底面的中心為點O,連接OC交立方八面體的棱PF于點E,

連接EQ，則E為尸少的中點，且APFQ為等邊三角形,所以，EQLPF,

?：CD=BC,O為BD的中點、，；.OCLBD,

?.?P、產分別為BC、C。的中點，則PF〃BD,;.OC±PF,

所以，ZOEQ為M.方八面體的底面與由平面PFQ所成二面角的平面角,

???立方八面體的棱長為1，.?.OE=EC=；,CQ=yCC,=y-?EQ=PQsin60=*，

?.?eq平面A8CO,CE^t^ABCD,/.CC.ICE,

在Rf.CEQ中,cosZCEe=—=—

EQ3

77

所以，cosZ.OEQ=cos(l80-ZCEC)=一cos/CEQ=--

3

同理可知，立方八面體的相鄰兩個面所成二面角的余弦值為-立，D選項正確

3

作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面

角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

三、解答題

19.如圖，在四棱錐P-/WC。中，平面P8C_L平面4ACn/BQC=90。，BC=\,BP=6PC=2.

A

D

C'P

(1)求證：COJ_平面P8D；

(2)若8。與底面PBC所成的角為￡,求二面角8-PC-。的正切值.

4

【答案】(1)證明見解析；(2)空.

3

【分析】

(I)由已知求解三角形證明BC1PB,再由平面與平面垂直的性質可得平面ABCO,則PBLCD,

又由已知可得BDA.CD,利用宜線與平面垂直的判定可得COJ?平面；

(2)證明M/X;為等腰直角三角形，得DB=DC,取8C中點O,連接。0,則。。_L4C,可得。O_L

平面PBC,過。作OH_LPC,垂足為“，連接可得DH工PC,則NO”。為二面角4一PC—。

的平面角，求解三角形可得二面角3-PC-O的正切值.

【詳解】

(1)證明：在AP8C中，由AC=1,BP=6PC=2,

可得BC、PB2=PC2,，BC工PB，

又平面尸8cl,平面ABC。，且平面P8C1平面A5CD=BC,PBu平面PBC，

平面ABCO,則PB_LC力，

又/BDC=90°,，BD工CD,RPBcDB=D，

\CD八平面尸3￡＞；

(2)???平面P8C_L平面48cO，8Qu平面A8CQ.

7F

03在底面PBC上的射影在8c上，則4。與底面PBC所成的角為NOBC=一,

4

由已知得，ABDC為直角三角形，.?.△8OC為等腰直角三角形，B.DB=DC,

取BC中點。，連接。。，則。0J_3C,

又平面P8C_L平面A8S,且平面尸8cl平面ABC。=BC,。。<=平面48。力,

.?.DO_L平面PBC,過。作CW_LPC，垂足為“，連接￡)〃，可得。”_LPC.

則/￡)〃。為二面角4一0C-。的平面角,

在等腰直角三角形BOC中，由友?=1,可得OO=CO=',

2

由Rt.PBCsRhQHC,可得生=絲，得八口OCxPB

PCPBOH=―――

1V_z24

1

DO22百

在Rt/^DOH中，可得tanZ.DHO=——=—T=-=——.

OHy/33

V

???二面角8-PC-O的正切值為*.

3

【點睛】

方法點睛：本題考查線面垂直的判定，考杳二面角的求法，定義法找二面角歸納如下:

設平面。與平面夕的交線為/,空間中一點尸,

1.點夕在平面a內，但不在交線上：過P作平面￡的垂線，垂足為“，過”作/的垂線，垂足為A，連

接AP.角朗”為二面角的平面角；

2.點P在交線上:過。在平面a與平面￡內分別作垂直于交線的射線PAPB,角AP4為二面角的平面角:

3.點尸在兩平面外：過尸作平面夕的垂線，垂足為，，過H作/的垂線，垂足為A，過A在平面。內作

交線的垂線A8,則角84”為二面角的平面角.

20.如圖所示，平面AZ?E/<r_L平面A8C,四邊形A8EF是矩形，A8=2,AF=2&,△ABC是以A為直角

的等腰直角三角形，點尸是線段B尸上的一點，PF=3.

E

Z4

B

(1)證明：

(2)求直線8c與平面PAC所成角的正切值.

【答案】(1)證明見解析；(2)旦.

7

【分析】

(I)要證明線線垂直，需證明線面垂直，利用題中的垂直關系：易證明AC_L平面ABEF；(2)由題中所

給的長度，證明平面尸AC，即N8CP為直線8c與平面aC所成的角，在陽ABC尸中，求線面角的

正切值.

【詳解】

(1)證明：因為aABC是以A為直角的等腰直角三角形，

所以AC

又平面平面ABC,平面若BEfn平面A8C=AB,

所以4cL平面AB￡E

因為BR=平面ABE凡所以ACLBF.

(2)在矩形48E/中，A8=2,AF=2yJj，

貝產=4,又PF=3,

所以/%2=戶戶8戶，所以4凡LAP,

由(1)知AC_L6R乂ACCIAF=A,所以6F_L平面出C,

則N8CP為直線8C與平面雨。所成的角.

如圖，過點P作PM〃AB交BE于點、M,過點尸作尸N_LA8于點N,

連接NC,

PM\

因為8/=4,PF=3,所以尸8=1,則

所以PM=BN=L,BM=PN=—,AN=AB~BN=2~—=-

2222

所以CN=dAN?+AC?=J弓了+22=|,PC=y)PN2+NC2=Jg)?+(|)2=布?

在BCP中，tanZBCP=—.

PC7

故直線8c與平面布。所成角的正切值為立.

7

【點睛】

方法點睛：本題考查計算線面角，注意包含以下方法：

1.利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角中的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確

定線面角：

2.在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法解垂線段的長度人，而不必畫出線面角，利用sin6=/z/

斜線段長，進行求角；

3.建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設。是直線/的方向向量，”是平面的法向量，利用公式

sin0=|cos<&/i>|求解.

21.如圖3C_L3。，AB=BD,NABQ=60。，平面8CQJ_平面ABQ,￡、F、G分別為棱AC、CD、AO中點.

A

（1）證明：E/_L平面8CG；

（2）若BC=4,且二面角A—BF—O的正切值為迷，求三棱鋅G—BE/體積.（注意：本題用向量法求解

不得分）

【答案】（1）證明見解析（2）迪

3

【分析】

（1）由平面平面A4Q,可得&?_1_平面?,從而可iEAD_L平面8CG，又比V/A力，可證.

（2）過A作八于點M為3。的中點，過M作MV_L8/于點N,連接AV

,可得AM平面3CD,則AM14凡從而BF±平面AMN.從而ZANM為二面角A—BF-D的平面角，

再求三角形邊長進行計算得出答案.

【詳解】

（1）由平面8coi平面48。，且平面8CQI平面4BQ=8O

又BC上BD,BCu平面3CO,所以8C_L平面

又AO_L平面/曲，則8CJLAD

又AB=BD,G為A3中點，則3G_LAO

而8GcBC=區(qū),則AD1平面BCG

乂E、尸分別為棱AC、CO中點，則所〃A。

所以ERL平面8CG；

（2）由48=80,NA8Q=60。，則△A3。為正三角形.

過A作AMJLAD于點MM為B。的中點，過M作MN13產于點N,連接4N

由平面BCDJ?平面AB。，且平面BCO。平面可得AM_L平面8CO.

所以AMJLBF,從而5歹_L平面AWN.

所以ZANM為二面角4一所一。的平面角.

設A4=a,在RTqAMN中，AM=—a,BM=-a,MN=Lisin/DBF

222

——a

所以lan/ANM=—=-：------