《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入1.介紹笛卡爾及直角坐標(biāo)系.笛卡爾，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，創(chuàng)立了笛卡爾坐標(biāo)系，又稱為直角坐標(biāo)系，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.2.回顧直線與圓的位置關(guān)系.教師先介紹笛卡爾的事跡，然后提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回憶直線與圓的位置關(guān)系及判定方法.學(xué)生思考、得出答案：直線與圓有三種位置關(guān)系，分別是相離（沒有公共點(diǎn)）、相切（一個(gè)公共點(diǎn)）、相交（兩個(gè)公共點(diǎn)）；判定方法有兩種：代數(shù)法、幾何法.教師繼續(xù)提出問(wèn)題：我們前面學(xué)習(xí)了最基礎(chǔ)的圓錐曲線，那么直線與圓錐曲線有什么樣的位置關(guān)系呢？又該如何判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系呢？學(xué)生繼續(xù)思考，部分學(xué)生能得到正確的結(jié)論.傳播數(shù)學(xué)文化，激起學(xué)生求知的欲望，由已有的知識(shí)類比遷移到新知識(shí).應(yīng)用舉例例1判斷直線與橢圓是否有公共點(diǎn),如有,求出公共點(diǎn)的坐標(biāo),如公共點(diǎn)有兩個(gè),求出以這兩個(gè)公共點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng).解聯(lián)立直線與橢圓的方程,可得方程組解方程組可得或因此直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),且公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.從而可知所求線段長(zhǎng)為.例2已知直線與橢圓,分別求直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)和沒有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍.解聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程得方程組消去,整理得=1\*GB3①因?yàn)?1\*GB3①的判別式為，所以：當(dāng)即時(shí),方程=1\*GB3①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,此時(shí)原方程組的實(shí)數(shù)解集中有兩個(gè)元素,直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)即時(shí),方程=1\*GB3①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,此時(shí)原方程組的實(shí)數(shù)解集中只有一個(gè)元素,直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)即或時(shí),方程=1\*GB3①無(wú)實(shí)數(shù)解,此時(shí)原方程組的實(shí)數(shù)解集為空集,直線與橢圓沒有公共點(diǎn).小結(jié):當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),稱直線與橢圓相交;當(dāng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),稱直線與橢圓相切;當(dāng)直線與橢圓沒有公共點(diǎn)時(shí),稱直線與橢圓相離.例3判斷直線與雙曲線是否有公共點(diǎn).如果有,求出公共點(diǎn)的坐標(biāo).解聯(lián)立直線與雙曲線的方程,可得方程組消去,可得,由此可解得.此時(shí),.因此直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn),且公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.概念:一般地,給定直線與圓雉曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線),如果聯(lián)立它們的方程并消去一個(gè)末知數(shù)后,得到的是一個(gè)一元二次方程且該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解（即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解),則稱直線與圓雉曲線相切.例4已知點(diǎn)和拋物線,求過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的直線的方程.解當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由直線過(guò)點(diǎn)可知,直線就是軸,其方程為.由消去末知數(shù)得.這是一個(gè)一元二次方程且只有唯一的實(shí)數(shù)解,所以直線與拋物線相切.如果直線的斜率存在,則設(shè)直線的方程為.由方程組消去,整理得.為了使得這個(gè)方程是一元二次方程且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,必須有且，因此可解得.此時(shí)直線的方程為,即.綜上可知,直線的方程為或.概念:一般地,直線與圓錐曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),則以這兩個(gè)公共點(diǎn)為端點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的一條弦,線段的長(zhǎng)就是弦長(zhǎng).簡(jiǎn)單地說(shuō),圓錐曲線的弦就是連接圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所得的線段.例5已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求弦長(zhǎng);（2）判?是否成立,并說(shuō)明理由.解(1)設(shè),則.因?yàn)槎际侵本€上的點(diǎn),所以第二式減去第一式可得,從而.又因?yàn)閺姆匠探M中消去,整理可得,而且,是該方程的兩個(gè)根,因此由韋達(dá)定理可知所以，因此,從而可知.（2）設(shè),則.因此，將代人上式可得.又因?yàn)橛煽芍?所以，所以不成立.教師出示例1，給出一些問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）點(diǎn)在橢圓上、直線上的充要條件是什么？（2）怎樣判斷直線與橢圓是否有公共點(diǎn)？（3）如果直線與橢圓有公共點(diǎn)，應(yīng)該怎樣求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)？學(xué)生思考以上三個(gè)問(wèn)題，并嘗試獨(dú)立完成例1.教師對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行評(píng)價(jià)，師生共同梳理解題思路：聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程，解此方程進(jìn)而可得公共點(diǎn)的坐標(biāo)、公共點(diǎn)間的距離.教師繼續(xù)出示例2，請(qǐng)學(xué)生分析解題思路，并進(jìn)行板演.學(xué)生思考，得出直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與聯(lián)立兩者方程后得到的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，嘗試寫出完整的解答過(guò)程學(xué)生嘗試求解、答題，教師適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)，評(píng)析.類比直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圖像，師生共同得出直線與橢圓相交、相切、相離三種位置關(guān)系.教師出示例3，請(qǐng)學(xué)生先獨(dú)立思考解答.學(xué)生通過(guò)聯(lián)立方程組得出正確答案.教師介紹直線與圓錐曲線相切的概念，并拋出問(wèn)題：例3中僅有一個(gè)公共點(diǎn)，能說(shuō)明直線與雙曲線相切嗎？學(xué)生思考，提出質(zhì)疑.教師利用多媒體畫出例3中直線與雙曲線的圖像，給學(xué)生直觀答案：直線與雙曲線不相切！教師繼續(xù)拋出問(wèn)題：直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)和直線與雙曲線相切是什么樣的關(guān)系呢？學(xué)生交流、討論得出答案：直線與雙曲線、直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與它們相切的必要不充分條件，而直線與圓、直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與它們相切的充要條件.教師出示例4，先請(qǐng)學(xué)生分析解題思路，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合教師強(qiáng)調(diào)要畫草圖、要考慮直線斜率是否存在等事項(xiàng)，并出示例4的參考答案.教師介紹弦長(zhǎng)的概念，學(xué)生理解.教師出示例5,并請(qǐng)名學(xué)生表述自己對(duì)例5的分析過(guò)程,其他學(xué)生補(bǔ)充.教師板演例5解答過(guò)程,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比,優(yōu)化解答過(guò)程.學(xué)生思考、對(duì)比,體會(huì)求弦長(zhǎng)的思路及“設(shè)而不求”法.在完成解答后教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試另一種解答方法,先求出與的坐標(biāo),然后再求弦長(zhǎng),并驗(yàn)證垂直是否成立.另解如下:聯(lián)立直線與拋物線的方程,可得方程組消去,整理得,解得,此時(shí)..（1）（2）,不成立.最后教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)兩種解法的區(qū)別.學(xué)生動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).歸納小結(jié)，得出直線與橢圓的位置關(guān)系的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).通過(guò)例題的解答，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，感受分類討論的方法，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過(guò)兩種不同的求弦長(zhǎng)的方法，讓學(xué)生體會(huì)“設(shè)而不求”在計(jì)算方面的簡(jiǎn)潔性，且不易出現(xiàn)計(jì)算方面的錯(cuò)誤問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，歸納小結(jié)1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法.2.直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)與相切的關(guān)系.3.弦長(zhǎng)的概念及求法.教師引導(dǎo)學(xué)生分組回答，小組評(píng)價(jià).鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力.布置作業(yè)教材第164頁(yè)練習(xí)2-8A第1，3，4題.學(xué)生課后獨(dú)立完成.鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容.板書設(shè)計(jì)2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.直線與橢圓的位置關(guān)系當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與橢圓相交；當(dāng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與橢圓相切；當(dāng)直線與橢圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與橢圓相離2.直線與圓錐曲線相切一般地,給定直線與圓雉曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線),如果聯(lián)立它們的方程并消去一個(gè)末知數(shù)后,得到的是一個(gè)一元二次方程且該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解（即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解),則稱直線與圓雉曲線相切.3.弦