2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章函數(shù)應(yīng)用課時分層作業(yè)45函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用含解析蘇教版必修第一冊

PAGE6-課時分層作業(yè)(四十五)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T．若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是()ABCDB[水位由高變低，解除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故選B．]2．某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費(fèi)S(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費(fèi)相差()A．8元B．9元C．10元D．12元C[設(shè)A種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為S＝k1t＋20，B種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為S＝k2t．當(dāng)t＝100時，100k1＋20＝100k2，所以k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10(元)．]3．某高校為提升科研實(shí)力，安排逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入．若該高校2024年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)起先超過2000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2024年 B.2024年C.2024年 D.2024年B[若2024年是第一年，則第n(n∈N＋)年科研經(jīng)費(fèi)為1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2024年科研經(jīng)費(fèi)超過2000萬元.故選B.]4．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，其次個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100C[依據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗(yàn)證即可得．故選C．]5．衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt．已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a．若一個新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A．60 B．75C．90 D．100B[由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(eq\f(1,50))．設(shè)經(jīng)過t1天后，一個新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(eq\f(t1,50))，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75．]二、填空題6．某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該場每天須要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1．8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0．03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元，則該養(yǎng)殖場________天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．10[設(shè)該養(yǎng)殖場x(x∈N*)天購買一次飼料可使平均每天支付的總費(fèi)用最少，平均每天支付的總費(fèi)用為y元．因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0．03＝6(元)，所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．從而有y＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1．8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥417，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(300,x)＝3x，即x＝10時，y有最小值．故該養(yǎng)殖場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．]7．生產(chǎn)肯定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價(jià)是20萬元，為獲得更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．18[利潤L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時，L(x)有最大值．]8．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0．1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量削減eq\f(1,3)，至少應(yīng)過濾______次才能達(dá)到市場要求.(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)8[設(shè)至少過濾n次才能達(dá)到市場需求，則2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(n)≤0．1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，所以n≥7．39，所以n＝8．]三、解答題9．物體在常溫下的溫度改變可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過肯定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,h))，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，假如咖啡降溫到40℃須要20min，那么降溫到32℃時，須要多長時間？[解]由題意知40－24＝(88－24)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(20,h))，解得h＝10．故T－24＝(88－24)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,10))，當(dāng)T＝32時，32－24＝64·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,10))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,10))＝eq\f(1,8)，解得t＝30，因此，需30min可降溫到32℃．10．一片森林原來的面積為a，安排每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為愛護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？[解](1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,10))．(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,2))，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年為止，已砍伐了5年．(3)設(shè)從今年起先，再砍伐n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n．令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(3,2))，eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15．故今后最多還能砍伐15年．1．如圖所示的是某池塘中的浮萍擴(kuò)散的面積y(m2)與時間t(月)的關(guān)系：y＝at，有以下敘述：①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②第5個月時，浮萍面積會超過30m2③浮萍從4m2擴(kuò)散到12m④浮萍每月增加的面積都相等；⑤若浮萍擴(kuò)散到2m2,3m2,6m2所經(jīng)過的時間分別為t1，t2，t3，則t1＋t2＝A．①②④ B．①④⑤C．①②⑤ D．②③⑤C[①明顯正確；當(dāng)t＝5時，y＝25＝32>30，故②正確；當(dāng)t＝2時，y＝4，當(dāng)t＝3．5時，y＝11．31<12，故經(jīng)過1．5個月并不能使浮萍的面積達(dá)到12m2，故③不正確；由圖象可知，經(jīng)過第一個月時，面積增加2－1＝1m2，再經(jīng)過一個月時，面積增加4－2＝2m2，故④不正確；當(dāng)浮萍面積為2m2時，t1＝1，當(dāng)浮萍面積為3m2時，t2＝log23，當(dāng)浮萍面積為6m2時，t3＝log2．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽的星等是－26．7，天狼星的星等是－1．45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010．1 B．10．1C．lg10．1 D．10－10．1A[依據(jù)題意，設(shè)太陽的星等與亮度分別為m1與E1，天狼星的星等與亮度分別為m2與E2，則由已知條件可知m1＝－26．7，m2＝－1．45，依據(jù)兩顆星的星等與亮度滿意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，把m1與m2的值分別代入上式得，－1．45－(－26．7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得lgeq\f(E1,E2)＝10．1，所以eq\f(E1,E2)＝1010．1，故選A．]3．依據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是________．60,16[因?yàn)榻M裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，所以eq\f(c,\r(A))＝15， ①所以必有4<A，且eq\f(c,\r(4))＝eq\f(c,2)＝30， ②聯(lián)立①②解得c＝60，A＝16．]4．已知某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元．設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)寫出年利潤W(單位：萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：萬部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．[解](1)當(dāng)0＜x≤40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；當(dāng)x＞40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360．所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x