2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-5.1.2弧度制【素養(yǎng)目標(biāo)】1．駕馭弧度與角度的互化，熟識(shí)特別角的弧度數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．駕馭弧度制中扇形的弧長(zhǎng)和面積公式及公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．依據(jù)弧度制與角度制的互化以及弧度制條件下扇形的弧長(zhǎng)和面積公式，體會(huì)引入弧度制的必要性．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】本節(jié)在學(xué)習(xí)中把抽象問(wèn)題直觀化，即借助扇形理解弧度概念，在學(xué)角度與弧度換算時(shí)巧借π＝180°，學(xué)生可提升自己的數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．必備學(xué)問(wèn)·探新知基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)1度量角的兩種制度(1)角度制．①定義：用__度__作為單位來(lái)度量角的單位制．②1度的角：周角的__eq\f(1,360)__為1度角，記作1°.(2)弧度制①定義：以__弧度__為單位來(lái)度量角的單位制．②1弧度的角：長(zhǎng)度等于__半徑長(zhǎng)__的圓弧所對(duì)的圓心角叫做__1弧度__的角．③表示方法：1弧度記作1rad.思索1：圓心角α所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是否是唯一的確定的？提示：肯定大小的圓心角α的弧度數(shù)是所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無(wú)關(guān)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)__正__數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)__負(fù)__數(shù)，零角的弧度數(shù)是__0__.假如半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么角α的弧度數(shù)的肯定值是|α|＝__eq\f(l,r)__.思索2：(1)建立弧度制的意義是什么？(2)對(duì)于角度制和弧度制，在詳細(xì)的應(yīng)用中，兩者可混用嗎？如何書(shū)寫才是規(guī)范的？提示：(1)在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)．(2)角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時(shí)不能混用，例如α＝k·360°＋eq\f(π,6)(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)3弧度與角度的換算公式(1)周角的弧度數(shù)是2π，而在角度制下的度數(shù)是360，于是360°＝2πrad，即依據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了．弧度與角度的換算公式如下：若一個(gè)角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad.(2)常用特別角的弧度數(shù)0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__eq\f(π,6)____eq\f(π,4)____eq\f(π,3)__eq\f(π,2)__eq\f(2π,3)____eq\f(3π,4)____eq\f(5π,6)__π__eq\f(3π,2)____2π__(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起__一一對(duì)應(yīng)__關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)__實(shí)數(shù)__(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，任一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)__角__(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)．思索3：(1)角度制與弧度制在進(jìn)制上有何區(qū)分？(2)弧度數(shù)與角度數(shù)之間有何等量關(guān)系？提示：(1)角度制是六十進(jìn)制，而弧度制是十進(jìn)制的實(shí)數(shù)．(2)弧度數(shù)＝角度數(shù)×eq\f(π,180)；角度數(shù)＝弧度數(shù)×(eq\f(180,π))．學(xué)問(wèn)點(diǎn)4弧度制下的弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式(1)弧長(zhǎng)公式在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角大小為α，則|α|＝eq\f(l,r)，變形可得l＝__|α|r__，此公式稱為弧長(zhǎng)公式，其中α的單位是弧度．(2)扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad，故其面積為S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，將l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式稱為扇形面積公式．思索4：(1)弧度制下弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式有哪些常用變形形式？(2)弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式可以解決哪些問(wèn)題？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？提示：(1)①|(zhì)α|＝eq\f(l,R)；②R＝eq\f(l,|α|)；③|α|＝eq\f(2S,R2)；④R＝eq\f(2S,l).(2)由弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式可知，對(duì)于α，R，l，S四個(gè)量，可“知二求二”．這實(shí)質(zhì)上是方程思想的應(yīng)用．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列說(shuō)法中正確的是(D)A．1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧B．1弧度是長(zhǎng)度為半徑長(zhǎng)的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和D．1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小，它是角的一種度量單位[解析]利用弧度的定義及角度的定義推斷.選項(xiàng)結(jié)論理由A錯(cuò)誤長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度是角的一種度量單位，不是長(zhǎng)度的度量單位.B錯(cuò)誤C錯(cuò)誤D正確2.－300°化為弧度是(B)A．－eq\f(4π,3) B．－eq\f(5π,3)C．－eq\f(7π,4) D．－eq\f(7π,6)3．已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長(zhǎng)是40cm，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是__4__.4．假如α＝－2，則α的終邊所在的象限為(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因?yàn)椋?lt;－2<－eq\f(π,2)，所以α的終邊在第三象限．5．(1)將－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式為_(kāi)_－8π＋eq\f(7π,4)__.(2)已知角α的終邊與角eq\f(π,3)的終邊相同，則在[0,2π)內(nèi)與角eq\f(α,3)的終邊相同的角為_(kāi)_eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9)__.[解析](1)因?yàn)椋?125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,4)，所以－1125°＝－8π＋eq\f(7π,4).(2)因?yàn)榻铅恋慕K邊與角eq\f(π,3)的終邊相同，所以α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以eq\f(α,3)＝eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)(k∈Z)．又0≤eq\f(α,3)<2π，所以0≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)<2π(k∈Z)，故當(dāng)k分別為0,1,2時(shí)，eq\f(α,3)分別為eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9)，都滿意條件．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一角度與弧度的換算及應(yīng)用例1設(shè)α＝510°，β＝eq\f(4,5)π.(1)將α用弧度表示出來(lái)，并指出它的終邊所在的象限；(2)將β用角度表示出來(lái)，并在－360°≤β<360°內(nèi)找出與它們終邊相同的全部的角．[解析](1)∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴α＝510°＝510×eq\f(π,180)＝eq\f(17,6)π＝2π＋eq\f(5,6)π，∴α的終邊在其次象限．(2)β＝eq\f(4,5)π＝eq\f(4π,5)×(eq\f(180,π))°＝144°，設(shè)θ＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ<360°，∴－360°≤k·360°＋144°<360°，∴k＝－1或k＝0.∴在[－360°，360°)內(nèi)與β1終邊相同的角是－216°.[歸納提升]角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法：(1)關(guān)鍵：抓住互化公式πrad＝180°是關(guān)鍵．(2)方法：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)；弧度數(shù)×(eq\f(180,π))°＝度數(shù)．(3)角度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度．(4)角度化為弧度時(shí)，其結(jié)果寫成π的形式，沒(méi)特別要求不必化成小數(shù)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?設(shè)α1＝－570°、α2＝750°、β1＝eq\f(3π,5)、β2＝－\S]π,3\s.(1)將α1、α2用弧度制表示出來(lái)，并指出它們各自所在的象限；(2)將β1、β2用角度制表示出來(lái)，并指出它們各自所在象限．[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)，∴α1＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1在其次象限，α2在第一象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，β2＝－eq\f(π,3)＝－60°，∴β1在其次象限，β2在第四象限．題型二用弧度制表示給定區(qū)域角的集合例2用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．[分析]本題考查區(qū)域角的表示，關(guān)鍵是要確定好區(qū)域的起止邊界．[解析](1)225°角的終邊可以看作是－135°角的終邊，化為弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的終邊即eq\f(π,3)的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{α|2kπ－eq\f(3π,4)<α<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)與(1)類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}∪{α|2kπ＋π＋eq\f(π,6)<α<2kπ＋π＋eq\f(π,2)，k∈Z}＝{α|kπ＋eq\f(π,6)<α<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．[歸納提升]解答本題時(shí)常犯以下三種錯(cuò)誤．(1)弧度與角度混用．(2)終邊在同一條直線上的角未合并．(3)將圖①中所求的角的集合錯(cuò)誤地寫成{α|eq\f(4,3)π＋2kπ<α<eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z}，這是一個(gè)空集．對(duì)于區(qū)域角的書(shū)寫，肯定要看其區(qū)間是否跨越x軸的正半軸，若區(qū)間跨越x軸的正半軸，則在“前面”的角用負(fù)角表示，“后面”的角用正角表示；若區(qū)間不跨越x軸的正半軸，則無(wú)須這樣寫．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集合(不包括邊界)，如圖所示．[解析](1)330°和60°的終邊分別對(duì)應(yīng)－eq\f(π,6)和eq\f(π,3)，所表示的區(qū)域位于－eq\f(π,6)與eq\f(π,3)之間且跨越x軸的正半軸，所以終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|2kπ－eq\f(π,6)<θ<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)210°和135°的終邊分別對(duì)應(yīng)－eq\f(5π,6)和eq\f(3π,4)，所表示的區(qū)域位于－eq\f(5π,6)與eq\f(3π,4)之間且跨越x軸的正半軸，所以終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|2kπ－eq\f(5π,6)<θ<2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}．(3)30°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，所表示的區(qū)域由兩部分組成，即終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|2kπ<θ<2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}∪{θ|2kπ＋π<θ<2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z}＝{θ|2kπ<θ<2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π<θ<(2k＋1)π＋eq\f(π,6)，k∈Z}＝{θ|nπ<θ<nπ＋eq\f(π,6)，n∈Z}．題型三弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的應(yīng)用角度1弧度數(shù)的確定例3(2024·山西省呂梁市月考)如圖所示，已知⊙O的一條弧eq\o\ac(AE,\s\up10(︵))的長(zhǎng)等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則從OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OE所形成的角α的弧度數(shù)是(D)A．eq\f(π,3) B．－eq\f(π,3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)[解析]設(shè)⊙O的半徑為r，其內(nèi)接正三角形為△ABC，如圖所示，過(guò)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則D為AB邊中點(diǎn)，∵AO＝r，∠OAD＝30°，AD＝r·cos30°＝eq\f(\r(3),2)r，∴邊長(zhǎng)AB＝2AD＝eq\r(3)r.∴eq\o\ac(AE,\s\up10(︵))的長(zhǎng)l＝AB＝eq\r(3)r.又α是負(fù)角，∴α＝－eq\f(l,r)＝－eq\f(\r(3)r,r)＝－eq\r(3).角度2扇形面積、弧長(zhǎng)的計(jì)算例4(2024·東北師大附中單元測(cè)試)已知扇形的周長(zhǎng)是8cm，面積為3cm2，那么這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)(圓心角為正)為_(kāi)_eq\f(2,3)或6__.[解析]設(shè)這個(gè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角的弧度數(shù)為α，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)rl＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6.))∵α是扇形的圓心角的弧度數(shù)，∴0<α<2π.當(dāng)r＝3，l＝2時(shí)，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)，符合題意；當(dāng)r＝1，l＝6時(shí)，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(6,1)＝6，符合題意．綜上所述，這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為eq\f(2,3)或6.[歸納提升]1.運(yùn)用扇形弧長(zhǎng)及面積公式時(shí)應(yīng)留意的問(wèn)題．(1)由扇形的弧長(zhǎng)及面積公式可知，對(duì)于α，r，l，S中“知二求二”的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)上是方程思想的運(yùn)用．(2)運(yùn)用弧度制下扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式比用角度制下的公式要簡(jiǎn)潔得多．若角是以“度”為單位的，則必需先將其化成弧度，再計(jì)算．(3)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)嫻熟駕馭下面幾個(gè)公式．①l＝αr，α＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,α)；②S＝eq\f(1,2)αr2，α＝eq\f(2S,r2).2．解決扇形的周長(zhǎng)或面積的最值問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)思想，把要求的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)一個(gè)扇形的面積為15π，弧長(zhǎng)為5π，則這個(gè)扇形的圓心角為(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)(2)(2024·廈門期末)若一扇子的弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為(C)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\r(2) D．2[解析](1)設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)θr2＝15π，,θr＝5π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝6，,θ＝\f(5π,6).))故扇形的圓心角為eq\f(5π,6).(2)設(shè)圓的直徑的2r，則圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(2)r.∵扇子的弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，∴扇子的弧長(zhǎng)等于eq\r(2)r，∴圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2).誤區(qū)警示角度和弧度混用致錯(cuò)例5求終邊在如圖所示陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合．[錯(cuò)解一]{α|k·360°＋330°<α<k·360°＋60°，k∈Z}．[錯(cuò)解二]{α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z}．[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解一中，若給k賦一個(gè)值，集合中不等式右邊的角反而小于左邊的角．錯(cuò)解二中，同一不等式中混用了角度制與弧度制．[正解]{α|2kπ－eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}，也可寫成{α|k·360°－30°<α<k·360°＋60°，k∈Z}．[方法點(diǎn)撥]同一個(gè)問(wèn)題(或題目)中運(yùn)用的度量單位要統(tǒng)一，要么用角度制單位，要么用弧度制單位，不能將兩者混用．學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)文化題的功能是傳播數(shù)學(xué)文化，所以一般來(lái)說(shuō)難度較小，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意，依據(jù)題中的方法解決問(wèn)題．例6《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》給出計(jì)算弧田面積所用的閱歷公式：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑等于4m的弧田，依據(jù)上述閱歷公式，計(jì)算所得弧田面積約是(B)A．6m2 B．9m2C．12m2 D．15m2[解析]如圖，由題意得∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4m，∴在Rt△AOD中，∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，∴OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2(m)，∴矢＝4－2＝2(m)．由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(m)，得弦＝2AD＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)(m)，∴弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝e