小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法選講2021/6/271一、什么是數(shù)學(xué)思想方法？

所謂的數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，這是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。

所謂的數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問題時(shí)所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。

數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問題的直接具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。但由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，知識(shí)最為基礎(chǔ)，所以隱藏的思想和方法有時(shí)很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。

2021/6/272二、小學(xué)為什么要滲透數(shù)學(xué)思想方法？《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：“學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必需的應(yīng)用技能?！痹谛W(xué)階段有意識(shí)地讓學(xué)生感悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理的理解，提高學(xué)生解決問題的能力和思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在；同時(shí)也能為初中數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。2021/6/273三、在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法主要有：抽象、模型、推理（合情推理、演繹推理）抽象（分類思想、符號(hào)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、集合思想、守恒思想、對(duì)稱思想、極限思想）合情推理（轉(zhuǎn)化思想、聯(lián)想類比思想、歸納思想、特殊與一般思想）；演繹推理（演繹推理思想、變換思想、公理化思想、等量代換思想）模型思想（簡化思想、量化思想、方程思想、函數(shù)思想、優(yōu)化思想、統(tǒng)計(jì)概率思想）2021/6/274（一）感悟符號(hào)化思想數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是符號(hào)化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示數(shù)量關(guān)系，計(jì)算、推理和解決問題的工具，符號(hào)起到了非常重要的作用；因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號(hào)，才能使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)普及和發(fā)展。符號(hào)化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。1、符號(hào)化思想的概念：2021/6/275（一）感悟符號(hào)化思想2、符號(hào)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透2021/6/276（一）感悟符號(hào)化思想2、符號(hào)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透2021/6/2772、符號(hào)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透2021/6/278（一）、感悟符號(hào)化思想3、符號(hào)化思想在教學(xué)中感悟和運(yùn)用。（1）能從具體的情境中引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并能用符號(hào)來表示。（2）培養(yǎng)學(xué)生理解并自覺運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。（3）培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換。（4）指導(dǎo)能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表示的問題。2021/6/279（二）、感悟“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想1、轉(zhuǎn)化思想的概念人們面對(duì)數(shù)學(xué)問題，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問題時(shí)，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它化為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使得問題得到解決，這種思想方法稱為轉(zhuǎn)化思想。2、轉(zhuǎn)化思想所遵循的原則（1）數(shù)學(xué)化原則（2）熟悉化原則（3）簡單化原則（4）直觀化原則2021/6/27103、轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用2021/6/27113、轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用滲透2021/6/27123、轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用滲透2021/6/2713（二）感悟“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想4、解決問題中的轉(zhuǎn)化策略在教學(xué)中的應(yīng)用（1）化抽象問題為直觀問題（2）化繁為簡（化大為?。?）化實(shí)際問題為特殊的數(shù)學(xué)問題（4）化未知問題為已知問題（5）化一般問題為特殊問題2021/6/2714（三）、感悟模型思想數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表程序等都是數(shù)學(xué)模型。1、模型思想的概念2、模型思想的重要意義《新課標(biāo)》修改稿，明確提出“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)明確建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。2021/6/27153、模型思想的具體感悟2021/6/27163、模型思想的具體感悟2021/6/2717（三）感悟模型思想4、模型思想的教學(xué)1、注重感悟模型思想。2、教會(huì)學(xué)生如何建立數(shù)學(xué)模型，并喜歡數(shù)學(xué)。（1）學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：①基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中的例題為代表的新知識(shí)，這個(gè)學(xué)習(xí)過程可能是一個(gè)探索的過程，也可能是一個(gè)接受學(xué)習(xí)的理解過程。②是利用基本模型去解決各種問題，即利用學(xué)到的基本知識(shí)解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及教師有意識(shí)設(shè)計(jì)各種課內(nèi)外問題。（2）數(shù)學(xué)建模是一個(gè)比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性過程，大致經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟：①理解問題的實(shí)際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。②把復(fù)雜的事情經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。③建立模型，可以是數(shù)量多少，還可以是圖表形式。④解答問題。注意兩點(diǎn)：2021/6/2718（四）感悟推理思想1、推理思想的概念推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的結(jié)論推出特殊性結(jié)論的推理。①三段論②選言推理③假言推理④關(guān)系推理合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。①歸納推理②類比推理2021/6/2719（四）感悟推理思想我國傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的主要優(yōu)勢在于重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和空間想象能力，比較強(qiáng)調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理。但《新課程》過于強(qiáng)調(diào)合情推理，在邏輯推理方面有所淡化。實(shí)踐證明兩者不可偏廢?！缎抡n標(biāo)（試行稿）》明確推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫徹于整個(gè)教學(xué)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。2、推理思想的重要意義2021/6/27203、推理思想在小學(xué)教材中的感悟2021/6/27213、推理思想在小學(xué)教材中的感悟2021/6/27223、推理思想在小學(xué)教材中的感悟2021/6/2723（四）感悟推理思想4、推理思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的感悟《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》指出：推理貫徹于數(shù)學(xué)教學(xué)始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過分強(qiáng)調(diào)推理形式。教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求。第一、推理是重要的方法之一，是數(shù)學(xué)基本思維方式，要貫徹于數(shù)學(xué)教學(xué)始終。第二、合情推理和演繹推理兩者不可偏廢。第三、在教學(xué)過程中要給學(xué)生提供各個(gè)領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等任務(wù)，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四、把握好推理思想滲透教學(xué)的層次性和差異性。2021/6/2724（五)感悟方程和函數(shù)思想方程和函數(shù)思想是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是解決實(shí)際問題的重要工具。它們都可以用來描述現(xiàn)實(shí)世界各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系1、方程思想的核心是將問題中的未知數(shù)用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號(hào)（常用x、y）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對(duì)應(yīng)統(tǒng)一。2、函數(shù)思想的核心是事物變量之間存在著一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對(duì)這種變化的探究找出變量之間的對(duì)應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。方程研究確定的數(shù)和未知數(shù)常數(shù)之間數(shù)量關(guān)系（常量），函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系?？梢詫⒁恍┒淮蔚牟欢ǚ匠剔D(zhuǎn)化為函數(shù)，用函數(shù)圖像來求解。Ax+by+c=0==y=-a/bx-c/b它們在直角坐標(biāo)系里畫出來圖像就是一條直線。再如y=kx+b的函數(shù)值得等于0，就是一元一次方程kx+b=0兩者區(qū)別:兩者聯(lián)系:1、方程和函數(shù)思想的概念2021/6/2725（五）感悟方程和函數(shù)思想2、方程和函數(shù)思想的具體應(yīng)用2021/6/2726（五）、滲透方程和函數(shù)思想2、方程和函數(shù)思想的具體應(yīng)用2021/6/2727（六）感悟幾何變換思想變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式恒等變換，幾何中有圖形的變換。圖形變換是初等幾何中的一種重要的思想方法，它以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來處理孤立靜止的幾何問題，往往在解決問題的過程中收到意想不到的效果。1、初等幾何變換的概念2、初等幾何變換的分類

幾何變換平移變換相似變換合同變換旋轉(zhuǎn)變換反射變換（軸對(duì)稱）2021/6/27283、圖形變換思想的具體應(yīng)用變換簡單圖形放大或縮小（比例尺）2021/6/2729（七）感悟分類討論思想1、分類討論思想的概念人們面對(duì)比較復(fù)雜的問題，有時(shí)無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究來解決，需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實(shí)質(zhì)是“分而治之，各個(gè)擊破，綜合歸納”。（4）綜合歸納、概括得出最后結(jié)論。它具有以下四個(gè)特點(diǎn)：（1）確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)（2）既不重復(fù)又不遺漏（3）逐類逐級(jí)進(jìn)行討論2021/6/2730（七）感悟分類討論思想2、分類討論思想的重要意義（1）分類討論思想是培養(yǎng)有條理地思考和良好思維品質(zhì)的一種重要而有效方法。無論解決純數(shù)學(xué)問題，還是解決實(shí)際問題，都要注意數(shù)學(xué)原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下的不適用性，注意分類討論，從而做到有順序、有層次全面的地思考和解決問題（2）從知識(shí)的角度而言，把知識(shí)從宏觀到微觀不斷地分類學(xué)習(xí)，既可以把握全局又能夠由表及里，細(xì)致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。分類思想與集合思想也有著比較密切聯(lián)系，知識(shí)的分類無時(shí)不滲透著集合的思想。另外，分類討論思想還是概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。2021/6/27313、分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用2021/6/2732（七）感悟分類討論思想4、分類討論思想的在教學(xué)中運(yùn)用（1）在一年級(jí)分類單元的教學(xué)中注意滲透分類思想和集合思想。（2）在三大領(lǐng)域知識(shí)：教學(xué)中注意經(jīng)常性地讓學(xué)生感悟分類和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類，數(shù)的分類，運(yùn)算的分類。（3）注意從數(shù)學(xué)思維和解決問題方法上感悟分類思想，如排列、組合、可能性的計(jì)算、抽屜原理等問題經(jīng)常運(yùn)用分類討論思想和解決。2021/6/2733（八）感悟統(tǒng)計(jì)思想1、統(tǒng)計(jì)思想的概念現(xiàn)實(shí)生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究，有時(shí)需要對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行全面調(diào)查，如我國為了掌握人口真實(shí)情況，曾經(jīng)多次進(jìn)行過人口普查。但一般情況不可能也不需要考察所有對(duì)象，如物價(jià)指數(shù)，商品合格率等，就需要采取抽樣調(diào)查的方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來估計(jì)總體，從而進(jìn)行合理的推斷和決策，這就是統(tǒng)計(jì)的思想方法。2、統(tǒng)計(jì)思想的重要意義傳統(tǒng)教材中統(tǒng)計(jì)圖表的知識(shí)是必學(xué)內(nèi)容，但對(duì)統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)和教學(xué)僅局限于統(tǒng)計(jì)知識(shí)和技能本身，并沒有把統(tǒng)計(jì)與信息時(shí)代和市場經(jīng)濟(jì)社會(huì)很好聯(lián)系起來。因而《新課程》對(duì)統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容和要求進(jìn)行調(diào)整：要使學(xué)生熟悉統(tǒng)計(jì)思想方法，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，有助于應(yīng)用隨機(jī)的觀點(diǎn)理解世界，形成科學(xué)世界觀和方法論。2021/6/2734（八）感悟統(tǒng)計(jì)思想3、統(tǒng)計(jì)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中具體體現(xiàn)：小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用大體可分為兩種：一是在各冊教材中安排很多獨(dú)立單元，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)。二是在其他領(lǐng)域知識(shí)學(xué)習(xí)中不同程度應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)作為知識(shí)呈現(xiàn)的的載體和解決問題方法進(jìn)行教學(xué)。具體知識(shí)點(diǎn)主要有：象形統(tǒng)計(jì)圖、單式統(tǒng)計(jì)表、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表、單式條形統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖，單式折線統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。（3）能對(duì)給定數(shù)據(jù)的來源、收集和描述的方法，以及分析的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑。4、統(tǒng)計(jì)思想教學(xué)舉例（1）注重過程性目標(biāo)的教學(xué)（2）認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，能從統(tǒng)計(jì)角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)問題2021/6/2735（九）感悟集合思想1、集合的概念把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體，就是一個(gè)集合，其中每個(gè)事物叫做該集合的元素。給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合是明確的。用列舉法和描述法。列舉法就是把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“｛｝”表示集合的方法.描述就是在花括號(hào)內(nèi)寫出規(guī)定這個(gè)集合元素的特定性質(zhì)來表示集合的方法。2、集合思想的重要意義集合理論是數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，從集合論的角度研究數(shù)學(xué)，便于從整體和部分及兩者的關(guān)系上研究數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。2021/6/2736（九）感悟集合思想3