6.3+二項式定理+講義-【新教材】2020-2021學年人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第三冊

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育第六章計數(shù)原理第六章計數(shù)原理6.36.3二項式定理知識解讀知識解讀知識點一：二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．這個公式為二項式定理．展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有n＋1項．二項式系數(shù)：各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫二項式系數(shù)．知識點二：二項展開式的通項(a＋b)n展開式的第k＋1項叫二項展開式的通項，記作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.知識點三：二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性與最大值增減性：當k<eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當k>eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值各二項式系數(shù)的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1小小思考小小思考a＋b)n的展開式的二項式系數(shù)和系數(shù)相同嗎解：不一定．(a＋b)n的展開式的通項是Ceq\o\al(k,n)an－kbk，其二項式系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系數(shù)．題型探究題型探究例1．在二項式的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．（1）求項數(shù)；（2）求展開式中的二項式系數(shù)最大的項；（3）求展開式中所有系數(shù)的絕對值的和．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）二項式展開式的通項為，因為前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，所以，化簡得，解得，（，舍去）．（2）由（1）知，二項式的展開項共9項，故二項式系數(shù)最大的項為第項，即（3）展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為，例2．在的展開式中（1）求二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?【答案】（1）；（2）第6項和第7項.【詳解】展開式的通項公式為（1）二項式系數(shù)最大的項為中間項，即為第5項，故.(2)設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，則，即，整理得，于是或.故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項.例3．已知二項式（）的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為4096．（1）求（）的展開式中的常數(shù)項的值；（2）在的展開式中，求項的系數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因為二項式（）的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為4096，所以，可得，即的展開式的通項是：（），令得：，∴常數(shù)項是；（2）由（1）知，即，展開式中項的系數(shù)分別為：所以的展開式中項的系數(shù)為：．例4．（1）六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？(最后結(jié)果需用數(shù)字作答)（2）把件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有幾種？(最后結(jié)果需用數(shù)字作答)（3）四個不同的小球放入編號為，，，的四個盒子中，恰有一個空盒，共有多少種放法？(最后結(jié)果需用數(shù)字作答)（4）已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式系數(shù)和大.求的展開式中求二項式系數(shù)最大的項.【答案】（1）216；（2）36；（3）144（4）-8064【詳解】（1）按照最左端分兩類，第一類排甲，其余的5人全排列，共有種，第二類，排乙，最右端不排甲有種，其余4人全排列，有種，共有種，由分類計數(shù)原理得共有120+96=216種.（2）分步完成，第一步將A，B捆在一起當作一個元素與除C的兩個元素一起全排列，共有種，第二步將C插入已經(jīng)排好的排列中，讓A，C步相鄰，有種，由分步計數(shù)原理得：共有種.（3）四個不同的小球放入編號為，，，的四個盒子中，恰有一個空盒，說明恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，有種不同的方法.（4）的展開式的二項式系數(shù)和為，令得的展開式系數(shù)和，所以，解得，所以，的展開式共有11項，其中二項式系數(shù)最大的項是第六項，即.例5．已知，求【答案】16【詳解】令，得；令，得，故.課后小練課后小練1.已知(x+1（1）求證：前三項系數(shù)成等差數(shù)列；（2）求出展開式中所有有理項（即x的指數(shù)為整數(shù)的項）.2.已知二項式(2x-ax)n（1）求n的值；（2）若展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為70，求a的值.3.我們稱n(n∈N*)元有序?qū)崝?shù)組(x1,x2,?,xn)為n維向量，|x1|+|x2|+?+|xn|為該向量的范數(shù)，已知n維向量a=(x1（1）求A2和B2（2）求A2020的值；（3）當n為奇數(shù)時，證明：Bn4.在①只有第八項的二項式系數(shù)最大，②奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47，③各項系數(shù)之和為414，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k設(shè)二項式(x+3x3)n，若其展開式中，

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，是否存在整數(shù)注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.5.在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答．條件①：“展開式中所有項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為64”；條件②：“展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22”．問題：已知二項式(1+3x)n（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求(1+3x)n(1-x)56.在(x+24x（1）求n的值及展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中的有理項.7.已知(1+2x)n（1）若展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；（2）若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于37，求展開式中系數(shù)最大的項．8.二項式(3x-（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中各項的系數(shù)和；（3）展開式中是否有有理項，若有，求系數(shù)；若沒有，說明理由.

答案解析部分1.【答案】（1）解：T3∵14C所以前三項分別為T1=C80(T3所以前三項系數(shù)分別為1，4，7，∵2×4=1+7∴前三項系數(shù)成等差數(shù)列.

（2）解：Tr+1=∴r=0,4,8，展開式中x所以展開式中所有有理項為：T1=C80(x)8【解析】（1）先根據(jù)二項展開式通項公式得第三項的系數(shù)，再解方程得n=8，最后根據(jù)二項展開式通項公式寫出前三項系數(shù)，根據(jù)等差中項性質(zhì)即可判斷；（2）先根據(jù)二項展開式通項公式得x的指數(shù)，再根據(jù)x的指數(shù)為整數(shù)確定對應(yīng)項，即得結(jié)果【答案】（1）解：由題知，二項式系數(shù)和Cn0+Cn1+Cn2+?+Cnn=2n=256即為展開式中第5項，∴C84?24【解析】根據(jù)二項式系數(shù)和列方程，解方程求得n的值.（2）根據(jù)二項式系數(shù)最大項為70，結(jié)合二項式展開式的通項公式列方程，解方程求得a的值.3.【答案】（1）解：范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有：(1,0)，(-1,0)，(0,1)，(0,-1)，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，∴A2=4，B2=4.

（2）解：當n為偶數(shù)時，在向量a要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是奇數(shù)，∴可按照含0個數(shù)為1,3,???,n-a的n個坐標中含1個0，其余坐標為1或-1，共有Cn1?2n-1個，每個a的n個坐標中含3個0，其余坐標為1或-1，共有Cn3?2n-3個，每個a的n個坐標中含n-1個0，其余坐標為1或共有Cnn-1?2個，每個∴An∵(2+1)(2-1)n①-②2得：An∴A2020=32020-12.

（3）解：當n要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是偶數(shù)，∴可按照含0個數(shù)為0,2,4,???,n-a的n個坐標中含0個0，其余坐標為1或-1，共有Cn0?2n個，每個a的n個坐標中含2個0，其余坐標為1或-1，共有Cn2?2n-2個，每個a的n個坐標中含n-1個0，其余坐標為1或共有Cnn-1?2個，每個∴An∵(2+1)n(2-1)n=兩式相加除以2得：An=而Bn=∵(n-∴B=n=2n=2n【解析】（1）列出范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對，分別求其范數(shù)，則A2和B2可求；

（2）當n為偶數(shù)時，在向量a=(x1,x2,?,xn)的n個坐標中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是奇數(shù)，然后分含0個數(shù)為：1，3，…，n-1進行討論，分別求得范數(shù)及范數(shù)的和，再由二項式定理及組合數(shù)公式化簡即可．

（3）當n為奇數(shù)時，在a=(x1,x2,?x4.【答案】解：若選填條件①，即只有第八項的二項式系數(shù)最大，即Cn7最大，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，n=14若選填條件③，即各項系數(shù)之和為414，則4n=414二項式(x+3x3由21-7k=0，得即存在整數(shù)k=3，使得Tk若選填條件②，即奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47則2n-1=4二項式(x+3x3由22-7k=0，得即不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項【解析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得選填條件①③時，n=14，寫出二項展開式的通項，由x的指數(shù)為0求得k值，即可得到存在整數(shù)k=3，使得Tk是展開式中的常數(shù)項；

選填條件②時，n=15，寫出二項展開式的通項，由x的指數(shù)為0求得k值，可知不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項．【答案】（1）解：若選填條件①，即展開式中所有項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為64，則4n2n=2n若選填條件②，即展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22，則Cn0+Cn1當n=6時，展開式共7項，二項式系數(shù)最大的項為T4=C63·(3x)含x2項的系數(shù)為C【解析】（1）在下面兩個條件中任選一個條件，補充在問題中的橫線上，若選填條件①，即展開式中所有項的系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為64，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二項式定理求展開式中的通項公式的方法，進而求出n的值；若選填條件②，即展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22，再利用二項式定理求出展開式中的通項公式，進而結(jié)合組合數(shù)公式，進而求出n的值，再利用n的值求出展開式的項數(shù)，進而找出展開式中二項式系數(shù)最大的項。

（2）利用二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式求出含x26.【答案】（1）解：依題意得：Cn0+2Cn1+4Cn∴n=-6或∵n∴n=6∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為第四項，即T4（2）解：展開式的通項公式為：Tr+1=展開式的通項公式為：Tk+1=C當k=0時，3-3k4=3當k=1時，3-3當k=2時，3-3當k=3時，3-3當k=4時，3-3k4=0當k=5時，3-3當k=6時，3-3∴展開式中的有理項為x3和240【解析】(1)根據(jù)前3項系數(shù)和，建立方程求出n結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

(2)求出展開式的通項公式，結(jié)合x的次數(shù)進行求解即可.7.【答案】（1）解：由展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為Cn可得n=8所以展開式中二項式系數(shù)最大的項第五項，其系數(shù)為C84×24=1120

（2化為n2+n-72=0，解得n=8設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為第k+1則{C8所以展開式中系數(shù)最大的項為第6或第7項，即T6【解析】由奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128求得n=8（2）由展開式前三項的二項式系數(shù)和等于37求得n=8，利用展開式中系數(shù)最大的