2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型9 二次函數(shù)綜合題 類型12 二次函數(shù)與圓的問(wèn)題（專題訓(xùn)練）

類型十二二次函數(shù)與圓的問(wèn)題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,A8為半圓。的直徑，C為3A延長(zhǎng)線上一點(diǎn).CD

3

切半圓于點(diǎn)。，BELCD,交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交半國(guó)于點(diǎn)尸，己知04=5，AC=1.如

圖2,連接4；,尸為線段防上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作4c的平行線分別交CE,BE于點(diǎn)M,N,

過(guò)點(diǎn)尸作a7_L4笈于點(diǎn)H.設(shè)尸"="，MN=y.

（I）求CK的長(zhǎng)和y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式.

Q）當(dāng)PH<PN,且長(zhǎng)度分別等于尸“，PN,4的三條線段組成的三角形與.BCE相似時(shí),

求。的值.

⑶延長(zhǎng)PN交半圓。于點(diǎn)。，當(dāng)陽(yáng)=5-3時(shí)，求MN的長(zhǎng).

【答案】⑴CE弋，y=-x+4

。IN

⑵a荒或黑

【分析】（1）如圖【，連接0D,根據(jù)切線的性質(zhì)得出0D_LCE,證明QO〃AE,得出C彳D=C￡O

CECD

即可得出8=3；證明四邊形APMC是平行四邊形，得出空=券，代入數(shù)據(jù)可得

3DCCE

25

y=-jX+4；

（2）根據(jù).8CE三邊之比為3:4:5,可分為三種情況.當(dāng)P":/W=3:5時(shí)，當(dāng)PH:PN=4:5

時(shí)，當(dāng)F”.PN=3:4時(shí),分別列出比例式，進(jìn)而即可求解.

X1

（3）連接AQ,BQ,過(guò)點(diǎn)。作QG_L4B于點(diǎn)G,根據(jù)lan/BQG=tan/04B=F=：,得

3%3

出BG=:QG=；X,由AB=AG+8G=?=3,可得戶白，代入（1）中解析式，即可

JJJ1U

求解.

【詳解】（I）解：如圖1,連接OO.

B

m\

???8切半圓。于點(diǎn)D,

BODICE.

3

\-OA=-AC=[,

2t

：,OC=~,

2

r.CD=2.

BE上CE,

/.OD//BE,

.CDCO

~CE~~CB

5

即2

C￡-4

：.CE=-

5

如圖2,ZAFB=ZE=90°.

AF//CE.

'：MN//CB,

四邊形APMC是平行四邊形,

?n,PHPHx5

,CM=PA=--------==—=—x

,?sinZlsinC33.

5

..MNME

?~BC='CE

165

---------X

.y_53

,,4-16'

~5

.25.

??y=------x+4.

12

25

（2）-五1+3,PH<PN,BCE三邊之比為3:4:5（如圖2）,

???可分為三種情況.

i）當(dāng)PH:PN=3:5時(shí)，

5255

PN=-PH,——x+3=-x,

3123

4

解得x=］，

.416

??a=-x=—.

315

ii）當(dāng)PH:PN=4:5時(shí),

5255

PN=-PH,---x+3=-x,

4124

9

解得x弋，

.327

..a=—x=—.

440

iii）當(dāng)PH:PN=3:4時(shí),

4254

PN=-PH,---x+3=-x,

3123

解得工=當(dāng)，

41

.560

,?a=—x=—.

341

（3）如圖3,連接4Q,BQ,過(guò)點(diǎn)。作QGJLA8于點(diǎn)G,

HG=PQ=NQ+PN=^x.

4

?JAH=-xf

3

/.AG=AH+HG=3x,

x1

tanZ.BQG=tan/.QAB,

3x3

AG=；QG=；.r,

109

???AB=AG+BG—x=3,x=—,

310

251717

???），=一gx+4=[,即MN的長(zhǎng)為?.

12oo

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式,

分類討論，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線），=?爐十灰+5與x軸交于八,8兩點(diǎn)，與），

軸交于點(diǎn)CAZ?=4.拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線、=丘-1交于點(diǎn)。，與工軸交

⑴求直線及拋物線的表達(dá)式；

⑵在拋物線上是否存在點(diǎn)使得是以A。為直角邊的直角三角形?若存在，求出

所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）以點(diǎn)3為圓心，畫(huà)半徑為2的圓，點(diǎn)。為8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出。。+；幺的最小值.

【答案】⑴直線AD的解析式為產(chǎn)x-l；拋物線解析式為產(chǎn)爐-6x+5；（2）存在，點(diǎn)M的

坐標(biāo)為（4,-3）或（0,5）或（5,0）；（3）標(biāo)

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸“3,AB=4,得到點(diǎn)4及”的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析

式即可；

(2)先求出點(diǎn)力的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)/D4"=90。時(shí)，求出直線4A7的解析式為

y=-x+\

y=-x+l,解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)：②當(dāng)NAZW=90。時(shí)，求出國(guó)

y=x2-6x+5

線0M的解析式為y=-x+5,解方程組1'=一：+：.即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

[y=x--6x+5

(3)在人"上取點(diǎn)尸，使BF—1,連接CF,證得黑=當(dāng)，又，PBF—ZARP,得到

PBAB

一PBFs一ABP,推出a*=:尸A,進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，尸C+；B4的值最小,

即為線段C/的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CF即可.

【詳解】(1)解：???拋物線的對(duì)稱軸x=3,AB=4,

???4(l,0),B(5,0),

將人(1,0)代入直線＞，=h1,得及-1_0,

解得女=1,

???直線的解析式為尸x-l；

將A(l,0),8(5,0)代入)，=次2+左+5,得

。+〃+5=0(a=1

'CZ?A,解得(AA?

25a+5/?+5=0[Z?=-6

，拋物線的解析式為y=』_6x+5；

(2)存在點(diǎn)M,

???直線AO的解析式為，=x-l,拋物線對(duì)稱軸x=3與x軸交于點(diǎn)￡.

???當(dāng)x=3時(shí)，y=x-l=2,

???。(3,2),

①當(dāng)NC=90。時(shí)，

設(shè)直線/W的解析式為y=-x+c,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，

得T+c=0,

解得c=l,

???直線AM的解析式為)，=T+1,

y=-x+l

解方程組〈

y=x2-6.r+5

x=\x=4

得＜或，

y=0y=-3

???點(diǎn)”的坐標(biāo)為（4,—3）；

②當(dāng)NADW=90。時(shí)，

設(shè)直線OM的解析式為廣-x+d,將0（3,2）代入,

得-3+1=2,

解得d=5,

???直線DM的解析式為y=-x+5,

y=-x+5

解方程組

y=x2-6.r+5

[x=0x=5

解得或＜

［），=5)'=0

??.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,5）或（5,0）

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如圖，在上取點(diǎn)尸，使B尸=1,連接CF,

VPB=2,

.BF1

??=一,

PB2

..PB2\

?=-=-，、

AB42

.BFPB

■?---=----，

PBAB

又：/PBF=ZABP,

:?_PBFS_ABP,

唱啜!即**

：.PC+-PA=PC+PF>CF,

2

???當(dāng)點(diǎn)C、P、廣三點(diǎn)共線時(shí)，PC+JPA的值最小，即為線段C尸的長(zhǎng),

???。。=5,。產(chǎn)=OB-1=5-1=4,

:-CF=y]0C2+OF2=7F+47=向，

???PC+；PA的最小值為"T.

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三

角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)），-6x+8的圖像與工軸分別交于點(diǎn)

AB（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），直線/是對(duì)稱軸.點(diǎn)P在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4,連接小PB,

過(guò)點(diǎn)尸作PM_L/,垂足為M,以點(diǎn)用為圓心，作半徑為「的圓，PT與M相切，切點(diǎn)為丁.

⑴求點(diǎn)A區(qū)的坐標(biāo)；

⑵若以朋的切線長(zhǎng)PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積與4PM的面積相等，且M不經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（3,2）,求長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】（1）4（2,0）,8（4,0）：⑵IvPMv8或夜<PM<2或PM>2

【分析】（1）令），=。求得點(diǎn)4B的橫坐標(biāo)即可解答；

(2)由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為x=3,設(shè)P(見(jiàn)病―6〃?十8),則〃(3,加一6〃?+8)；如

圖連接M7,則皿_LPT,進(jìn)而可得切線長(zhǎng)口為邊長(zhǎng)的正方形的面積為(〃L3>-產(chǎn)；過(guò)點(diǎn)

P作軸，垂足為凡可得SpA8=；AB?P”=〃72-6m+8；由題意可得

。〃―3)2-產(chǎn)=m2_66+8,解得r=1；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解答

即可.

【詳解】(1)解：令>=0,則有：x2-6x+8=0,解得：x=2或x=4,

.?.A(2.0),8(4,0).

(2)解：???拋物線過(guò)A(Z0),6(4,0)

???拋物線的對(duì)稱軸為K=3,

設(shè)P{nt,nT-6/n+8),

PMLI,

/.M(3,1-6/〃+8),

如圖：連接M7,則M7'_P7',

???PT2=PM2-MT-=(7H-3)2-r2,

???切線PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積為(〃L3)2，

過(guò)點(diǎn)尸作尸”上工軸，垂足為“，則：SPAR=^-ABPH=m--6/??+8,

(〃Z-3)2-r2=m2-6m+8

Vr>0,

假設(shè)〔M過(guò)點(diǎn)N(3,2)則有以下兩種情況：

①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即“(3,3)

，"/一6〃?+8=3,解得:〃?=5或，〃=1,

,:m>4

m=5；

②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即M(3,l)

m2—6m+8=1>解得:m=3±&?

Vm>4

in=3±叵;

綜匕PM=〃?-3=2或后.

，當(dāng)〔“不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)時(shí)，|<月W<血或&<03<2或分/>2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論

思想是解答本題的關(guān)鍵.

4.(2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=-g/+公+4與x軸交于4-3,0),3兩

(1)求拋物線解析式及3,。兩點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D坐標(biāo)；

⑶該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得ZACE=45。，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

O

【答案】⑴拋物線解析式為?(1,0),C(0,4)；⑵仇-2,-4)或Q(Y,4)

或0（4,4）；⑶￡卜1，7j

【分析】（1）將點(diǎn)4-3,0）代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令x,），=0,

即可求得8,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）分三種情況討論，當(dāng)AB,AC8C為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

（3）根據(jù)題意，作出圖形，作AG_LCE交于點(diǎn)G,尸為AC的中點(diǎn)，連接GO,G尸，則AO,CG

在《戶上，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出G在）'=T上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)尸G=|建

立方程，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而得出CG的解析式，即可求解.

4

【詳解】（1）解：???拋物線丁=-§/+方丫+4與戈軸交于4（-3,0）,

4,

.,.--x（-3）--3/?+4=0

Q

解得：b=J,

4?

???拋物線解析式為y=一§%+4,

當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

???C（O,4）,

4ft

當(dāng)y=0時(shí)，0=----x2—x+4

33

解得：Ai=-3,x2=1,

4（1,0）

（2）???A（-3,0）,8（1,0）,C（0,4）,

設(shè)。（〃】,〃）,

???以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

當(dāng)人A為對(duì)角線時(shí)，=一=y,「;一=F-

2222

解得：加=-2,〃=-4,

???0（-2,-4）；

當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，言上=浮，亨=母

2222

解得：〃?=-4,〃=4

.??D（-4,4）

-3+/10+10+40+〃

當(dāng)8C為對(duì)角線時(shí),

2222

解得：〃?=4,〃=4

???。（4,4）

綜上所述，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，。（-2,-4）或。（T,4）或。［4,4）

（3）解：如圖所示，作AG_LCE交于點(diǎn)G,尸為4c的中點(diǎn)，連接GO,G尸,

???/GC是等腰直角三角形,

.??4。。0在（尸上,

VA(-3,0),C(0,4),

/1-1,2),22=5?

AC=\/A0+COGF=-AC=-

22

ZAOG=ZACG=45°,

???G在)'=T上,

3)+(--2)2=(1

設(shè)G（f,T）,則6尸=t+-

2j

7

解得：4=-展G=。（舍去）

,?,點(diǎn)。/為

設(shè)直線CG的解析式為），=依?+4

77

：,-=--k+4

22

解得：攵=g.

???直線CG的解析式），=Jx+4

VA（-3,0）,8（1,0）,

???拋物線對(duì)稱軸為直線x==丑=-1,

1,、27

當(dāng)戶一1時(shí)，-X（-l）+4=y,

（27、

:.E-1,—.

\'7

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周

角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）已知（公）1）,（七,達(dá)）是拋物。1：）=-；/+版（卜為常數(shù)）

上的兩點(diǎn)，當(dāng)占+了2=0時(shí)，總有

（1）求匕的值;

（2）將拋物線G平移后得到拋物線。2：），=-；（.￥-m）2+1（,“>0）.

探究卜.列問(wèn)題：

①若拋物線G與拋物線C：有一個(gè)交點(diǎn)，求〃?的取值范圍；

②設(shè)拋物線與工軸交于A，B兩點(diǎn),與），軸交于點(diǎn)C,拋物線C?的頂點(diǎn)為點(diǎn)七，ABC外

接圓的圓心為點(diǎn)尸，如果對(duì)拋物線G上的任意一點(diǎn)P,在拋物線C?上總存在一點(diǎn)。，使得

點(diǎn)P、。的縱坐標(biāo)相等.求律長(zhǎng)的取值范圍.

7g

【答案】⑴0;（2）①2K〃區(qū)2+2&②QOKQ

【分析】（1）根據(jù)X=-；片+例,必=一；￥+法2，且玉+工2=0時(shí)，總有）’1=）’2，變形后即

可得到結(jié)論：

（2）按照臨界情形，畫(huà)出圖象分情況討論求解即可.

【詳解】（1）解：由題可知：,=-；工：+姐,、2=-；芯+公2

X+與=0時(shí)，總方>,]=>2，

+ZZX|——+縱2,

則；（為+%）（%—-％）=。，

，一6（%一玉）=0總成立，且為一看工0,

/.Z?=0：

（2）①注意到拋物線。2最大值和開(kāi)口大小不變，"，只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意

的兩種臨界情形：

（/,）當(dāng)拋物線G過(guò)點(diǎn)（0,0）時(shí)，如圖所示，

解得6=2+2&或2-2血（舍），

綜上，2<//?<2+2\/2>

②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形:

（/）當(dāng)拋物線G過(guò)點(diǎn)（0，-1）時(shí)，如圖所示,

(")當(dāng)拋物線。2過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí).，如圖所示,

綜上2垃工4，

如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、尸在線段的垂直平分線上.

HB=in+2-ni=2，

FB=FC,

:.FH2+HB?=FG2+GC?，

設(shè)FH=i,

:.r+2

Y

mm~.2/八

-2------1\t+nr-4=0,

uI4)

m59d3卜。,

【4

.?m>25/2,

m2?_

------1*0,

4

m~3

--2r+3=O,H即nt=----1—>

482

2y/2<m<4.

5757

即?4尸

2222

EF=FH+\,

79

:.-<EF<-

22

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合

和分類討論是解題的關(guān)犍.

6.(2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線)，=加+笈+c與x軸交于點(diǎn)A(<0)、

6(2,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(一2,6).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)M射線AN、用V分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P、Q,

點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q'，求的面積；

⑶點(diǎn)M是)，軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NAMC最大時(shí)，求M的坐標(biāo).

【答案】(l)y=-1/-|x+6；(2)5(3)2W(0,12-475)

【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為)，=a(x+4)(X-2),代入點(diǎn)。的坐標(biāo)，確定〃值即可.

(33、

(2)設(shè)N+6,直線AN的解析式為)，=公+"宜線3N的解析式為

尸川+q,表示出尸，Q,Q'的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算即可.

(3)當(dāng)M是)，軸與經(jīng)過(guò)A,C,M三點(diǎn)的圓的切點(diǎn)是最大計(jì)算即可.

【詳解】(1)???拋物線y=o?+加+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)、8(2,0),

:.設(shè)拋物線的解析式為>=“1+4)。-2),

???經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-2,6),

???6=4-2+4)(-2-2),

解得〃=-3=，

4

y=--(-v+4)(x-2),

)，=-九二t+6

-42

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),

,.3->3/3/n227

?y=——廠——x+6=——(x+1)+——，

424V74

直線BN的解析式為=您+q,

-4k+b=()2P+q=4

3,33,3

nik+h=--nr-—m+6mp+q=-[m--^m+6

42

323

33工—m~—〃？+6

——m2~——/M+O

k=^2___P_=--------\------

機(jī)+4m-2

解得3

.-377/2-6m+24裙+3m-12

b=-------------------2__________

in+4q-rn-2、

32_。八

，直線AN的解析式為、一4"+3，/66+24,直線BN的解析式為

y=

〃？+4〃？+4

333

—m—/〃+6—m~+3m-12

-42...2__________

yv--------------------A-------------------------------

m-2in-2

323A9,9

xiz1-m—"7+6□2x1Gd—/n—AW+10(、

當(dāng)下7時(shí)，2x(_])+也=624」2——=_2z_2y

m+4'7m+4tn+44、7

323

——m~——tn+6r—nr+3m-12—m2+-/??-18Q

x,2_42

y=———1——(-9十-----------------------------------------------------------------------=1(〃1+4)'

in-2m-2m-1

AQ(—1；9(m+4)),。(7,一京9〃?+4)),

44

og27

J也，=一/一2)+2+4)+

?c_127__81

如圖，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí),

+4)}e<-l,-1(m+4)L

4、

g927

/.PC，=--(w-2)+-(/n+4)=y,

I2781

??SpQ'=-x—x3o=—.

A224

81

綜上所述，S

（3）當(dāng).AMC的外接圓與QW相切，切點(diǎn)為M時(shí)，NAMC最大,

設(shè)外接圓的圓心為E,。是異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，連接QI,QC,QA交圓于點(diǎn)7,

則44MC=4TC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得N4TO/4QC,故NAMC＞乙4QC,

工/AMC最大,

設(shè)0A與圓交于點(diǎn)兒連接ME,根據(jù)切線性質(zhì),

/.ZEMO=ZWA=90°,

作直徑〃N,連接MN,

4HMN=琳，ZMNH=NMAH,

;EM=EH,

:?乙EMH=4EHM,

/.90。-/EMH=90。-NEHM,

???NOMH=ZMNH=AMAH,

:?一OMHs、OAM,

.OMOH

'，~OA~~OM，

???OM2=OA?OH，

設(shè)OM=y,OH=x,plijAH=4-x,

：.y2=4x,

，y=2\fx,

過(guò)點(diǎn)七作所_L3,垂足為"過(guò)點(diǎn)C作CG_LQ4,垂足為G,交EM『點(diǎn)、P,

根據(jù)垂徑定理，得A尸=尸〃=手，四邊形￡MOF是矩形，

根據(jù)。（一2,6）,得CD=PM=OG=2,CG=6

4+xx

PE=EM-PM=---2=-,

22

/.CP=CG-PG=CG-OM=6—2>/x?

在直角二角形HSC中,

???仁）2+（6—24）2=（管尸，

???工+16=124，

???a+my=（124y，

/.X2-1I2X+256=0.

解得玉=56-246，通=56+24石>4（舍去），

?*.y=2^=2756-24^=2^6-2^=2（6-2^）=12-4>?5>

故0M=12-4芯,

???當(dāng)NAMC最大時(shí)，M812-4瓶）.

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理,

勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的外接阿I，相似三角形的判定和性偵，用方程的思想

解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

7.（2023?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線

y=--x2+云+c與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B.

備用圖

⑴如圖，若4（0,6），拋物線的對(duì)稱軸為x=3.求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出），26時(shí)x

的取值范圍；

⑵在（1）的條件下，若p為y軸上的點(diǎn)，c為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)CPBC為等邊三

角形時(shí)，求點(diǎn)?，c的坐標(biāo)；

⑶若拋物線y=-；x2+6+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)儀典2）,E（〃,2）,且〃?<〃，求正整數(shù)〃?,

〃的值.

【答案】(l)y=-1+3x+606W6

⑵。

(3)m=2,〃=7或〃?=3,//=4

【分析】（1）根據(jù)A（0,6）,拋物線的對(duì)稱軸為x=3,待定系數(shù)法求解析式即可求解：當(dāng)

丫=行時(shí)，求得x的范圍.進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象即可求解：

（2）①連接AI^AC,AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,由A及C尸四點(diǎn)共圓，得/BAC=NBPC=60°,

證明，物的CQ8,求出點(diǎn)D的電標(biāo)，確定直線入。的解析式，進(jìn)而求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)

P（0,p）,PB=PC,勾股定理即可求解；②由①可得NQ44=60°,則當(dāng)C與A重合時(shí)也存

在等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.

（3）根據(jù)拋物線），=-3/+笈經(jīng)過(guò)點(diǎn)0（九2）,石（幾2）,F（l-l）,可得拋物線對(duì)稱為

直線一（+力+c=_］則〃+。=一：，則。=一!一〃，進(jìn)而令），=2,求得力的范圍，

2222

進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象可知加=2或〃?=3,進(jìn)而分別討論求得〃的值，即可求解.

【詳解】（1）解：???川0,6），拋物線的對(duì)稱軸為x=3.

c=>/3

------r=3

c=x/3

解得：

???拋物線解析式為y=--%2+3x+G,

當(dāng)尸⑺時(shí)，即一#+3、+6=百

解得：$=0,々=6,

J當(dāng)石時(shí)，0WxW6

（2）解:①如圖所示，連接AB,AC,AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,

?.,A(0,現(xiàn)8(3,0)

???OA=6,OB=3,

貝hanNOAB=G

/.ZCMB=60°,NB4P=120。，

???PBC為等功三角形，

r.ZPCB=ZPBC=60°,

???NPAB+NPCB=180°,

???A,比C,P四點(diǎn)共圓,

AZZMC=ZBPC=60°,

*/BD〃OA,

J.ZABD=ZOAB=(^f.

???ZABD=PBC,

/.ZABP=NDBC,

VZBDC=ZMB=120°,PB=BC,

Z..PA^CDB(AAS),

，BD=BA=J(扃+32=26，則。(3,2@,

設(shè)直線AD的解析式為y=履+6

則弘+&=26

解得：&=立

3

所以直線AC的解析式為y=理工+百

聯(lián)立

y=--x2+3x+\/3

2人八

x=0x=--------+6

解得:…或3

y=3x/J-

VB(3,0),設(shè)P(O,p),

PC=PB

22

A/7+3=^_173+6^+06__|_〃、

解得：p=3x/3-1

???p（o,375_g}

②由①可得NOAB=60。，當(dāng)C與點(diǎn)A重合時(shí)，PBC為等邊三角形

則尸與C對(duì)稱，此時(shí)C（0,G）,P（0,-V3）,

綜上所述；-普+6,3石一|；尸（0,3石一野或C（0,母尸（0,一石）;

（3）解：???拋物線產(chǎn)-；/+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（機(jī),2）,￡（〃,2）,

???拋物線對(duì)稱為直線x=?=〃，~+b+c=-\

22

則力+c=—!，則c=一：一>

22

...拋物線角串析式為y==_g（x-〃1+g/

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為上

當(dāng)3/一8_^=2時(shí)，

解得：b=1-V6=1+^6

???〃?<〃，且機(jī)〃為正整數(shù)，過(guò)點(diǎn):（1,-1）,則當(dāng)、=1時(shí)y<0,

二?"?=2或，〃=3,

當(dāng)〃?=2時(shí)，將點(diǎn)（2,2）代入解析式y(tǒng)n—gV+bx—》—1

9

解得：b=-

*.*in+n=2b

貝|J〃=7,

當(dāng)相=3時(shí)，將點(diǎn)（3,2）代入解析式丁=一:12+法—〃一：

7

解得：b=a

*.*m+n=2b

貝ij〃=4,

綜上所述,ni=2,〃=7或〃？=3,〃=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性偵，根據(jù)特三角困數(shù)求角度，惻內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，二

次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=ax2+Z?x+c,與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn),

與y軸相交于點(diǎn)C,下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)*,y）的坐標(biāo)值：

X???-10123???

y???03430???

（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

（2）PQ是拋物線對(duì)稱軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求AQ+QP+PC

的最小值；

（3）如圖2,點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作。/_Lx軸，垂足為F,AABD

的外接圓與。尸相交于點(diǎn)E.試問(wèn)：線段所的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;

如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴y=-(x-l)2+4；/(1,4)；(2)Vl3+1；(3)是，1.

【分析】

(1)依據(jù)表格數(shù)據(jù)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用平移和找對(duì)稱點(diǎn)的方式，將4Q+QP+PC的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為依+1+PC,再利用兩

點(diǎn)之間線段最短確定/比'+1C的最小》等卜CE的反，加1后即能確定產(chǎn)七+1+VC的最小

值；

(3)設(shè)出圓心和D點(diǎn)的坐標(biāo)，接著表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓心到B點(diǎn)的距離等于圓心到

D點(diǎn)的距離，求出q和。的關(guān)系，得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定EF的長(zhǎng)為定值.

【詳解】

解：(1)由表格數(shù)據(jù)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)

設(shè)拋物線解析式為：y=〃(x—l『+4,

將點(diǎn)(0,3)代入解析式得：3=a+4,

。=—1,

???拋物線解析式為：y=—(x—iy+4,頂點(diǎn)坐標(biāo)M(L4).

(2)由表格可知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),C(0,3),

如圖3,將A點(diǎn)向上平移一個(gè)單位，得到

則A4'//PQ,AA'=PQ,

???四邊形A4'PQ是平行四邊形，

??.PA'=QA,

作A關(guān)于UQ的對(duì)稱點(diǎn)E,則￡(3,1),

???PA'=PE^

AQ+QP+PC=PE+\+PC,

當(dāng)P、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最蛹

設(shè)直線CE的解析式為：y=mx+〃，

n=3

將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：I.」

3m+n=l

n=3

2,

m=——

3

???直線CE的解析式為：y=--x+3,

3

令x=l,則y，

J

/7、I________________

??.當(dāng)尸時(shí)，p、E、C三點(diǎn)共線，此時(shí)PE+PLEC=，（3-0）2+（1-3）2二拒最短，

AAQ+QP+PC的最小值為V?3+l.

（3）是；

理由：設(shè)ZXp,q）,

因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

所以圓心位于該直線.上，

所以可設(shè)AABD的外接圓的圓心為O'（l,e）,

作O'N_LOF,垂足為點(diǎn)N,則N（p,e）,

由。/_LJV軸，

/.E〈p,2e-q）,

???O'D=O'B,且由表格數(shù)據(jù)可知B（3,o）

（3-1）~+（0-《）~=（p-l『+（q-e）~,

化簡(jiǎn)得：4+/=（〃—1了+（4-6）2,

???點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且拋物線解析式為丁二-（工一1『+4,

?二4二一(p—1)+4,

???(〃-=4-%

1?4+/=4-g+(q—?)一,

丁qw0,

/.2e-q=-\,

E(p,-1),

AEF=b

即EF的長(zhǎng)不變,為1.

【點(diǎn)睛】

本題涉及到了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，綜合考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、點(diǎn)的平移、勾股定理、

平行四邊形的判定與性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、圓的性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握

相關(guān)概念與公式，能將題干信息與圖形相結(jié)合，挖掘圖中隱含信息，本題有一定的計(jì)算量,

對(duì)學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力都有較高的要求，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

9.如圖，拋物線)，=(x+l)(x-a)(其中。＞1)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫(xiě)出N0C4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)(用a表示)；

(2)若點(diǎn)D為=43c的外心，且△以?與ZVICO的周長(zhǎng)之比為Ji6：4,求此拋物線

的解析式：

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線丫=*+1)&-。)上是否存在一點(diǎn)P,使得

/CAP=/DBA?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)Z0CA=45°,AB=a+l；(2)y=x2-x-2；(3)存在，P,(一；，-1),

P2(1,-2).

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出OA=OB=a,

0B=l,即可證明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示AB

的長(zhǎng)；

(2)如圖，作AABC的外接圓。D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=&〃，利用兩點(diǎn)間

距離公式可用a表示出BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得ND=2NOAC=9()°,可得△DBC是等腰

直角三角形，即可證明△DBCs/XOCA,根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

<3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DHLAB丁H,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸丁F,過(guò)點(diǎn)0作OG_LAC丁

G,連接AP交CF于E,可得AOCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析

式，根據(jù)外心的定義及等接直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可得出BII、DH的長(zhǎng)，根

據(jù)NC4P=NOK4,ZBI1I>ZACE=9O°可證明△BHI)s/\ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求

出CE的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，聯(lián)立

直線AE與拋物線的解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可得答案.

【詳解】

(I)???拋物線y=(x+l)(x—4)(其中。＞1)與X軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

，當(dāng)x=0時(shí),y=-a,

當(dāng)y=0時(shí)，(x+l)(x-4)=0,

解得：X=T,x2=at

AA(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

.*.0B=l,0A=0C=a,

???△OCA是等腰直角三角形，

/.Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如圖，作△ABC的外接圓OD,

???點(diǎn)D為4Abe的外心，

???DB=DC,

「△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

AZ0AC=45°,AC=0〃，

VZBDC和NBAC是8c所對(duì)的圓心角和圓周角，

AZBDC=2ZBAC=90°,

：.ZDBC=45°,

；?ZDBC=Z0AC,

.,.△DBC^AOCA,

???ABCD與4ACO的周長(zhǎng)之比為:4，

.BCMM

??--=-----,up---=--=-----?

AC442a4

解得：a=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)：。=±2是原方程的根，

:.a=2,

2

，拋物線解析式為：y=(x+l)(x-2)=x-x-2.

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH_LAB于H,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于F,過(guò)點(diǎn)0作OG_LAC于

G,連接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2x/2，

VZ0CA=45°,

AZ0CF=45",

???△OCF是等腰直角三角形，

AF(-2,0),

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b,

*0+Z?=O

b=-2

k=-l

解得：\

b=-2

???直線CF的解析式為y=-x-2,

??,△OCA是等腰直角三角形，0G1AC,

AOG所在直線為AC的垂直平分線，點(diǎn)G為AC中點(diǎn),

???點(diǎn)D為&ABC的外心，

???點(diǎn)D在直線0G上，

VA(2,0),C(0,-2),

AG(1,-1),

設(shè)直線0G的解析式y(tǒng)初x,

:.m=-l,

???直線0G的解析式y(tǒng)=-x,

???點(diǎn)D為ZYABC的外心，

工點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，

???點(diǎn)I)的橫坐標(biāo)為二粵=!，

22

把x=!代入y=-x得y=-，，

22

11

..D(一,——)?

22

113

???DH=—,BHE+一二一，

222

VZCAP=ZDBA,ZBHI)=ZACE=90°,

AABHD^AACE,

3

*DHBH

'~CE=~AC,即52，

~CE25/2

解得：CE=^—，

3

???點(diǎn)E在直線CF上，

???設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(n,-n-2),

，CE=而+(一〃-2+2尸=4^,

解得：/?=±|,

3

二242

..Et(—,—),Er?(一,

33-3

設(shè)直線AEi的解析式為y=k1x+b“

f2,人4

—k、+h=—

????3?13,

2k}+4=0

k、=L

解得：12,

4=T

???直線AEi的解析式為），二gx-

同理：直線AE?的解析式為y=2x—4,

|y=*l

聯(lián)匯直線AE.解析式與拋物線解析式得

y=x2-x-2

]_

2x.=2

解得：八(與點(diǎn)A重合，舍去)，

5()’2二°

Y二一

4

15

??Pi(—,—),

24

y=2x-4

聯(lián)匯直線AE?解析式與拋物線解析式得

2

y=X-X-2,

X=1X-,=2

解得:c(與點(diǎn)A重合，合去)，

/二一21為=°

E2

1

綜.上所述：存在點(diǎn)P,使得NC4尸=ND84,點(diǎn)P坐標(biāo)為R(一一――)，P2(1,-2).

24

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圓周角

定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵

10.如圖，已知二次函數(shù))：=加+云+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(2,-3)且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)98,0).

y

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線A/3的表達(dá)式；

(3)判斷的形狀，試說(shuō)明理由；

(4)若點(diǎn)尸為上的動(dòng)點(diǎn)，且。O的半徑為2拉，一動(dòng)點(diǎn)七從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度沿線段AP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段28勻速運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)6后停止運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，的最小值.

【答案】(I))，=；/一24(2)4(4,-4),)，=工一8：(3)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解

析；(4)5拒

【分析】

(1)根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；

(2)根據(jù)(1)中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)

求出AB解析式即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知A8O為等腰三角形