2024年北京大興區(qū)高一上學期期末考數(shù)學試題含答案解析

第1頁/共1頁北京大興區(qū)2023~2024學年第一學期期末檢測試題高一數(shù)學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1等于（）A. B. C. D.2.函數(shù)的最小正周期等于（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，不是表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增是（）A. B.C. D.5.下列區(qū)間中，方程的解所在區(qū)間是（）A. B. C. D.6.若，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要7.已知為第二象限角，且，則等于（）A. B.1 C. D.78.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點（）A.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來2倍B.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的C.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍D.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的9.設，給出下列四個結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④10.已知函數(shù)零點為，的零點為，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為_____________．12.我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周分為6000等份，每一等份是一個密位，那么300密位等于___________；13.指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值的差為2，則等于______.14.已知函數(shù)，若，則______；若，且，則的取值范圍是______.15.已知函數(shù)對任意的，都有成立.給出下列結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（1）求值：；（2）已知，，用，表示.17.在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點，若角與的頂點均為坐標原點，始邊均為軸的非負半軸，將繞原點按逆時針方向旋轉后與角的終邊重合.（1）求的值；（2）求的值.18.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.19.已知函數(shù)，.（1）求證：為偶函數(shù)；（2）設，判斷單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明.20.設關于的函數(shù)的最小值為.（1）求；（2）若，求函數(shù)的最大值.21.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉動后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.（參考公式與數(shù)據(jù)：；；.）大興區(qū)2023~2024學年第一學期期末檢測試題高一數(shù)學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由特殊角的三角函數(shù)值即可得解.【詳解】由題意有.故選：C.2.函數(shù)的最小正周期等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正切函數(shù)的周期公式計算即得.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故選：A3.下列函數(shù)中，不是表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)定義域、值域和對應法則依次判斷即可.【詳解】對于A選項，兩個函數(shù)的定義域都為，值域都為，且對應法則一樣，所以表示同一函數(shù)，故A選項錯誤；對于B選項，的定義域為，值域為，的定義域為，值域為，定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故B選項正確；對于C選項，與的定義域都為，值域都為，且對應法則一樣，所以表示同一函數(shù)，故C選項錯誤；對于D選項，與定義域都為，值域都為，且對應法則一樣，所以表示同一函數(shù)，故D選項錯誤.故選：B.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對于ABC：，，均在區(qū)間上單調(diào)遞減，錯誤；對于D：在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；故選：D.5.下列區(qū)間中，方程的解所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數(shù)，直接由表達式（指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)單調(diào)性）可得它的單調(diào)性，結合零點存在定理即可得解.【詳解】因為指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)在定義域內(nèi)均單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域內(nèi)也單調(diào)遞增，且注意到，所以由零點存在定理可知方程的解所在區(qū)間是.故選：C.6.若，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】兩個角不相等，正弦值可能相等，兩個角的正弦值不相等，那么兩個角必定不相等——由此判斷出正確選項.【詳解】當兩個角不相等時，正弦值可能相等，如；如果兩個角的正弦值不相等，那么兩個角必定不相等，故“”是“”的必要不充分條件.故選B.【點睛】本小題主要考查充要條件的判斷.如果，則是的充分條件，是的必要條件；否則，不是的充分條件，不是的必要條件.在判斷具體問題時，可以采用互推的方法，進行和各一次，判斷是否能被推出，由此判斷是什么條件.還可以采用集合的觀點來判斷：小范圍是大范圍的充分不必要條件，大范圍是小范圍的充要不充分條件.如果兩個范圍相等，則為充要條件.如果沒有包含關系，則為既不充分也不必要條件.7.已知為第二象限角，且，則等于（）A. B.1 C. D.7【答案】A【解析】【分析】先通過誘導公式求出，進而根據(jù)同角三角函數(shù)關系求出，展開代入的值計算即可.【詳解】,，即，又為第二象限角，，則，.故選：A.8.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點（）A.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍B.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的C.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍D.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移，伸縮的變換規(guī)律，即可判斷選項.【詳解】函數(shù)圖象上的所有點先向右平移個單位長度，得到函數(shù)，再將橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù).故選：A9.設，給出下列四個結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，和不等式性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】由題，令，則單調(diào)遞減，所以，①正確；令，在單調(diào)遞增，所以，②錯誤；對于③，，由知，，所以③正確；對于④，，因為，所以，所以，故④正確；故選：D10.已知函數(shù)的零點為，的零點為，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由函數(shù)零點的定義得到，再結合條件進行變形，，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解取值范圍.【詳解】由題意可知，，，即，因為，所以，則，當時，解得：.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為_____________．【答案】【解析】【詳解】函數(shù)的定義域為故答案為12.我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周分為6000等份，每一等份是一個密位，那么300密位等于___________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)一個圓周分為6000等份，對應，列出等式，即可求得答案.【詳解】設300密位等于x，由題意得：，解得，故答案：13.指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值的差為2，則等于______.【答案】2【解析】【分析】分與兩種情況，結合函數(shù)單調(diào)性得到方程，求出.【詳解】當時，單調(diào)遞增，故，解得或（舍去），當時，單調(diào)遞減，故，無解，綜上，等于2.故答案為：214.已知函數(shù)，若，則______；若，且，則的取值范圍是______.【答案】①.或②.【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運算求解方程；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，即可去絕對值，再結合基本不等式，即可求解的取值范圍.【詳解】，得或；由題意可知，，由函數(shù)圖象可知，，則，即，則，，所以的取值范圍是.故答案為：或；15.已知函數(shù)對任意的，都有成立.給出下列結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是______.【答案】①③④【解析】【分析】令可判斷①，取特殊函數(shù)利用特例可判斷②，根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)推出可得即可判斷③，利用均值不等式及③可判斷④.【詳解】令，則，故①正確；由可得，用換可得，令，則滿足，而，，則不恒相等，故②錯誤；由，用代替可得，又由對任意實數(shù)成立知，所以，故③正確；由③知，，所以，用替換可得，，所以，當且僅當時等號成立，故④正確.故答案為：①③④三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（1）求值：；（2）已知，，用，表示.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指對運算即可得到答案；（2）根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)和換底公式即可.【詳解】（1）原式（2）由已知，，則17.在平面直角坐標系中，角終邊與單位圓交于點，若角與的頂點均為坐標原點，始邊均為軸的非負半軸，將繞原點按逆時針方向旋轉后與角的終邊重合.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由三角函數(shù)定義以及二倍角的余弦公式即可得解.（2）由誘導公式結合兩角和的余弦公式即可得解.小問1詳解】由三角函數(shù)定義，，，.【小問2詳解】由題意，，.18已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1），.（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡原函數(shù)，再用周期公式計算周期和正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.【小問1詳解】因為所以的最小正周期.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.由，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】因為，所以.當，即時，取得最小值.當，即時，取得最大值.所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.19.已知函數(shù)，.（1）求證：為偶函數(shù)；（2）設，判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明.【答案】（1）證明見解析（2）是單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）由對數(shù)復合型函數(shù)的定義域結合偶函數(shù)的定義即可得證.（2）直接由函數(shù)單調(diào)性的定義結合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得證.【小問1詳解】函數(shù)的自變量滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為.對于，都有，且所以函數(shù)為偶函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).理由如下：設，且，因為，所以，即，又知，所以，因此，即，由函數(shù)單調(diào)性定義可知，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).20.設關于的函數(shù)的最小值為.（1）求；（2）若，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）換元成二次函數(shù)，分情況討論二次函數(shù)的單調(diào)性討論最小值即可.（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進行最值的討論.【小問1詳解】解：（1），設，則，由于，若，則當時，取得最小值1，即；若，則當時，取得最小值，即若，則當時，取得最小值，即.所以.【小問2詳解】由第（1）問的結論可知，當時，無解；當時，由，解得，或（舍）；當時，由，解得（舍），綜上，此時當，即時，取得最大值5.21.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉動后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.（參考公式與數(shù)據(jù)：；；）【答案】（1），（2）（3），，.【解析】【分析】（1）首先旋轉的角速度和初相，結合三角函數(shù)，列出與的函數(shù)關系；（2）根據(jù)（1）的結果，即可求解；（3）根據(jù)（1）的結果，結合兩人的角度差，分別計算和，并利用參考公式化簡高度