考研數(shù)學(xué)(二302)研究生考試試卷及解答參考

研究生考試考研數(shù)學(xué)(二302)復(fù)習(xí)試卷(答案在后面)一、選擇題(本大題有10小題，每小題5分，共50分)1.下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)?(A)y=x2+1(B)y=|x|(C)y=sinx(D3.設(shè)$f(x)=.若f(x)在點(diǎn)x=1連續(xù)，且f'(1)=0$,則下列關(guān)系式成立的是()B.2a+b=-2a+dD.2a+b=2a+d已知橢)的離心率為e,則下列等式不一定成立的是5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則關(guān)于函數(shù)f(x)的零點(diǎn)定理描述正確的A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。B.若f(a)與f(b)異號，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。C.若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)無零點(diǎn)。D.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程f(x)=0的根的個(gè)數(shù)。6.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2-12x+1,那么f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值的實(shí)數(shù)根x1,x2,使得f(x1)=f(x2),則這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的大小關(guān)系是()。A.x?<x?D.x?<x?orx?>x?9、設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象由曲線y=x^2向左平移1個(gè)單位長度得到，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()。A.函數(shù)圖象存在水平漸近線B.函數(shù)圖象存在對稱軸C.當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增的D.函數(shù)在R上存在最小值2、設(shè)函數(shù)f(x)=x^2-4x+3,則f(x)在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)值為3、設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x+2,則f'(x)=,并且f"(x)=_4.已知函數(shù)則f(x)在區(qū)間[0,1上的最大值為,最小值為5.(考查內(nèi)容：空間幾何，點(diǎn)線面關(guān)系)題目如下：若直線與平面內(nèi)的三條相交直線滿足異面直線條件，則該平面內(nèi)的任一條與平面外的直線相交的直線(橫線處請?zhí)顚懽帜富蚍?sin(x)+cos(x)的導(dǎo)數(shù)為o三、解答題(本大題有7小題，每小題10分，共70分)(1)函數(shù)的對稱軸；(2)函數(shù)的最大值；(3)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間。(1)因?yàn)閒(x)=x^2-3x+2是二次函數(shù)，所以它的對稱軸是對應(yīng)拋物線的軸。利用公式x=-b/(2a),可以得出對稱軸方程為x=-(-3)/(2*1)=3/2。(2)因?yàn)楹瘮?shù)是開口向上的拋物線，所以函數(shù)有最小值而無最大值。最小值可以通過頂點(diǎn)公式計(jì)算，即f(3/2)=(3/2)^2-3*(3/2)+2=9/4-9/2+2=-1/4。(3)零點(diǎn)即為函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)。函數(shù)圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，其頂點(diǎn)為(3/2,-1/4),因此它會(huì)在x的左側(cè)和右側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn)。通過觀察或者代數(shù)方法可以確定這兩個(gè)零點(diǎn)分別位于x=1和x=2的區(qū)間內(nèi)。第二題(2)利用(1)求S\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)-F'(0)x-\frac{1}2}F"(0)x^2}{x^3}$,并說明你的方法。第三題題目：證明微分方程y"+4y'+4y=0的通解為y(x)=(C1+C2x)e^(-2x),其中C1和C2是任意常數(shù)。第四題題目：計(jì)算二重積分JD(x2+y2)dxdy,其中D是由曲線y=x2和直線y=2x所圍成的平面區(qū)域。第五題題目(數(shù)學(xué)應(yīng)用題):一個(gè)工廠生產(chǎn)了一種產(chǎn)品，其單位成本隨著產(chǎn)量的增加而遞減。工廠生產(chǎn)了10件產(chǎn)品時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本為80元；當(dāng)生產(chǎn)了20件產(chǎn)品時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本降到了60元。假設(shè)產(chǎn)量的增加導(dǎo)致單位成本的減低是線性的，且工廠生產(chǎn)n件產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(n)可以表示廠生產(chǎn)的總成本為1800元。請計(jì)算出線性遞減單位成本的公式，并求出當(dāng)工廠生產(chǎn)50件產(chǎn)品時(shí)的總成本。第六題已知橢圓方程為S\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,其中$a>b$。設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為$Q(x_2,y_2)$。已知條件為：SPQS的中點(diǎn)為SM(x_m,y_m)$。請回答以下問題：2.求證SMS點(diǎn)一定在直線Sx=a$上。第七題#研究生考試考研數(shù)學(xué)(二302)復(fù)習(xí)試卷及解答參考一、選擇題(本大題有10小題，每小題5分，共50分)1.下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)?解析：(A)y=x²+1,f(-x)=(-x)²+1=(C)y=sinx,f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)(D)y=cosx,f(-x)=cos(-x)=cos解析：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)不斷，且滿足$f(a)=f(b)$,則說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖像是一條連續(xù)的曲線。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，如果兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離大于等于零，則這兩個(gè)端點(diǎn)一定不能同時(shí)為開區(qū)間。因此，本題只有兩種情況：1.a<b<0;2.a=b=0。所以答式成立的是()解析：因?yàn)?f(x)$在點(diǎn)Sx=1$連續(xù)，所以有：又因?yàn)?f'(1)=0$,所以：即$2a+b=-2a+d$因此，正確答案為B。4、(解析與答案：)已知橢圓$\dfrac{x^{2}}a^{2}}+\dfrac{y^{2}}b^{2}}=1(a>b>0)$的離心率為Se$,則下列等式$ac=\dfrac{ab}2}$中不一定成立的是()D.若$\cos\theta=\dfrac{a}{c}$<|action_start|>5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則關(guān)于函數(shù)f(x)的零點(diǎn)定理描述正確的是：A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。B.若f(a)與f(b)異號，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。C.若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)無零點(diǎn)。D.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程f(x)=0的根的個(gè)數(shù)。解析：根據(jù)零點(diǎn)定理，如果函數(shù)在區(qū)間兩端的函數(shù)值異號，那么在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。選項(xiàng)A過于籠統(tǒng)，選項(xiàng)C沒有考慮到可能存在多零點(diǎn)的可能，選項(xiàng)D忽視了可能存在重復(fù)根的情況，所以正確答案為B。解析：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=6x^2-6x-12。令f(x)=0,解得x=-1或x=2。這兩個(gè)點(diǎn)是f(x)的駐點(diǎn)，我們需要檢查這三個(gè)點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。計(jì)算得到f(-2)=17,f(-1)=10,f(2)=-17,f(3)=-為33,故選C。7、已知函數(shù)f(x)=x^3-3ax^2+bx+a,其中a,b為常數(shù)O$。又因?yàn)槎魏瘮?shù)g(x)的圖象開口向上，所以必有Sg(x_1)>0$,Sg(x_2)<0S,因此Sx_1>x_2$。C、$(e^{2x}(4\cos(3x)根據(jù)積的導(dǎo)數(shù)法則，我們知道復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t來計(jì)算。所以，對$(f(x)=e^{2x}\cos(3x))$求導(dǎo)時(shí)，我們需要分別對每一項(xiàng)求導(dǎo)，然后將結(jié)果相乘。S[f'(x)=2e^{2x}\cos(3x)-3e^選擇A為正確答案。9、設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象由曲線y=x^2向左平移1個(gè)單位長度得到，則下列結(jié)論中正確的個(gè)A.函數(shù)圖象存在水平漸近線B.函數(shù)圖象存在對稱軸C.當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增的D.函數(shù)在R上存在最小值解析：函數(shù)的圖象為y=(x+1)^2,當(dāng)x≥-1時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增的；故C正確；對稱軸為直線x=-1;故B正確；當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值0;故D正確；函數(shù)沒有水平漸近線；故A不正確；正確答案為C。但是，根據(jù)題目中給出的條件f(e^x+e^-x)=e^x-e^-x,我們知道f(2)=0,因?yàn)閑^x+e^-x=2當(dāng)且僅當(dāng)x=0。必須等于0。由于f(x)在x=1和x=-1處都有f(x)=0,我們可以使用洛必達(dá)法則來計(jì)算f'(1)。我們有：f'(1)=lim(h->0)[f(1+h)-f(由于f(1)=0,我們只需要計(jì)算f(1+h)的極限，這對于h接近0但不等于0。但是我們已經(jīng)時(shí)是一個(gè)零點(diǎn)。因此，沒有任何東西會(huì)導(dǎo)致極限不平凡，我們得出結(jié)論f'(1)=0。二、填空題(本大題有6小題，每小題5分，共30分)Sf\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqr\frac{\sqrt{2}}2}=\sqrt{2、設(shè)函數(shù)f(x)=x^2-4x+3,則f(x)在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)值為。f'(x)=d/dx(x^2)-d/dx(4x)+d/因此，f(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù)值為0。并將常數(shù)項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，即$O$,帶入。*$f"(x)S是Sf'(x)$的導(dǎo)函數(shù)，求解方式與$f'(x)$相同。最大值為$f(0)=1$,首先，我們觀察函數(shù)$f(x)=\frac{1{x^2+1}$。這是一個(gè)分式函數(shù)，其分母Sx^2+1$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)總是大于0,因此函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是定義良好的。接下來，我們分析函數(shù)在區(qū)間$[0,1]$上的單調(diào)性。為此，我們可以求導(dǎo)數(shù)：SSf'(x)=-\frac{2x}(x^2+1)^2}SS在區(qū)間$[0,1]$上，Sf'(x)\leqO$,說明函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞減的。由于函數(shù)在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞減，因此其最大值出現(xiàn)在區(qū)間的左端點(diǎn)Sx=0S處，此時(shí)Sf(0)=1$;最小值出現(xiàn)在區(qū)間的右端點(diǎn)Sx=1S處，此時(shí)Sf(1)=\frac{1}{2}$。5.(考查內(nèi)容：空間幾何，點(diǎn)線面關(guān)系)題目如下：若直線與平面內(nèi)的三條相交直線滿足異面直線條件，則該平面內(nèi)的任一條與平面外的直線相交的直線.(橫線處請?zhí)顚懽帜富蚍?答案：與該直線相交。解析：由于直線與平面內(nèi)的三條相交直線滿足異面直線條件，根據(jù)空間幾何的性質(zhì)，我們知道平面內(nèi)任一條與平面外的直線相交的直線必然與該直線相交。這是因?yàn)楫惷嬷本€的定義就是不在同一平面內(nèi)且不相交的兩條直線。因此，填“與該直線相交”。對于函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x),我們分別對每個(gè)組成部分求導(dǎo)。三、解答題(本大題有7小題，每小題10分，共70分)(1)函數(shù)的對稱軸；(2)函數(shù)的最大值；(3)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間。(1)因?yàn)閒(x)=x^2-3x+2是二次函數(shù)，所以它的對稱軸是對應(yīng)拋物線的軸。利用公式x(2)因?yàn)楹瘮?shù)是開口向上的拋物線，所以函數(shù)有最小值而無最大值。最小值可以通過頂-1/4),因此它會(huì)在x的左側(cè)和右側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn)。通過觀察或者代數(shù)方法可以確定這兩個(gè)零點(diǎn)分別位于x=1和x=2的區(qū)間內(nèi)。答案：第二題設(shè)F(x)為一個(gè)二階可導(dǎo)函數(shù)，且滿足Fの=1,F'(0=0,F"(0=-2.已知f(x)=答案*F"(の=-2將這些值代入到求極限的式子中，得到：并說明你的方法。當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于無窮大，T趨近于無窮大。因?yàn)榉肿拥碾A數(shù)大于分母的階數(shù)，所以該極限存在，且為無窮大.該極限已經(jīng)求解在(1)中，為無窮大.由于該極限存在，并且滿足其定義，我們可以直接進(jìn)行求極限操作。第三題證明微分方程y"+4y'+4y=0的通解為y(x)=(C1+C2x)e^(-2x),其中C1和C2是任意常數(shù)。首先，我們求解這個(gè)微分方程的齊次形式y(tǒng)"+4y'+4y=0。我們設(shè)出特征方程為r^2+4r+4=0。通過求解這個(gè)二階polynomials,我們得到r=-2(因?yàn)檫@是一個(gè)二次方程，并且具有相同的根)。這意味著我們的特征根為r=-2。因特征根為實(shí)數(shù)且唯一，我們知道解為y(x)=Cle^(rx)+C2xe^(rx)。由于r=-2,我們可以寫成y(x)=(C1+C2x)e^(-2x)。所以通解為y(x)=(C1+C2x)e^(-2x),這正是所要求證的。第四題題目：計(jì)算二重積分JJD(x2+y2)dxdy,其中D是由曲線y=x2和直線y=2x所圍成的平面區(qū)域。答案：首先確定區(qū)域D的邊界交點(diǎn)，解方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(2,4)。根據(jù)這兩個(gè)交點(diǎn)將區(qū)域D分為兩部分進(jìn)行積分計(jì)算。先考慮區(qū)域I:其中x的取值范圍為0≤x≤2。在這一區(qū)域內(nèi)，我們積分,其中y的取值范圍為x2≤y≤2x。對于區(qū)域I的積分計(jì)算結(jié)果接著考慮區(qū)域Ⅱ:此時(shí)x的取值范圍是x≥2,但由于區(qū)域的形狀不對稱性，這一區(qū)域只需計(jì)算一部分即可得到整個(gè)二重積分的值。最終計(jì)算結(jié)果因此，二重積分?JD(x2+y2)dxdy的值第五題題目(數(shù)學(xué)應(yīng)用題):一個(gè)工廠生產(chǎn)了一種產(chǎn)品，其單位成本隨著產(chǎn)量的增加而遞減。工廠生產(chǎn)了10件產(chǎn)品時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本為80元；當(dāng)生產(chǎn)了20件產(chǎn)品時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本降到了60元。假設(shè)產(chǎn)量的增加導(dǎo)致單位成本的減低是線性的，且工廠生產(chǎn)n件產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(n)可以表示為C(n)=an^2+bn+c。已知當(dāng)n=10時(shí)，C時(shí)，C(20)=1200;當(dāng)n=30時(shí)，工廠生產(chǎn)的總成本為1800元。請計(jì)算出線性遞減單位成本的公式，并求出當(dāng)工廠生產(chǎn)50件產(chǎn)品時(shí)的總成本。為了解決這個(gè)問題，我們首先要根據(jù)已知的成本函數(shù)C(n)和產(chǎn)量n,確定多項(xiàng)式中的系數(shù)a、b和c。我們有三組數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用它們可以建立線性方程組并求解。我們可以利用第二、第三個(gè)等式減去第一個(gè)等式的形式，得到a以及b、c之間的關(guān)系。這種方法稱為消元法，用于求解未知數(shù)。具體如下：將C(20)=1200代入2倍的關(guān)系中得到：解得a=-4。(因?yàn)檫@是一個(gè)典型的線性成本模型，說明了成本隨著產(chǎn)量的平方而下降)現(xiàn)在我們利用已知條件計(jì)算a和c,然后求解b,有：將C(10)=800代入，得到：使用已經(jīng)確定的值a=-4代入，計(jì)算得：再次使用C(20)=1200,計(jì)算b和c的值，我們可以帶入之前計(jì)算得到的結(jié)果a:現(xiàn)在我們有兩個(gè)含有b和c的方程：通過符號相減，消除變量c,可以得到b:b=64?，F(xiàn)在我們知道了b的值，可以計(jì)算c的值：綜上所述，總成本函數(shù)C(n)可以表示為C(n)=-4n^2+64n。接下來計(jì)算當(dāng)工廠生產(chǎn)50件產(chǎn)品時(shí)的總成本C(50):由于總成本不會(huì)為負(fù)，可能這里存在錯(cuò)誤，由于假設(shè)產(chǎn)量的增加導(dǎo)致單位成本的減低是線性的，所以成本不可能是負(fù)數(shù)。需要重新確認(rèn)或者檢查題目及計(jì)算過程是否存在誤解或者誤計(jì)算。正確計(jì)算應(yīng)該是：C(50)=-42500+6450=-10000總成本不可以出現(xiàn)負(fù)值，因此需要確定機(jī)器單位成本下降規(guī)律的準(zhǔn)確性。第六題已知橢圓方程