第十四章-三角形（基礎(chǔ)過關(guān)） 帶解析

第十四章三角形（基礎(chǔ)過關(guān)）考試時(shí)間：90分鐘注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘，試題共25題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題（共6小題）1.下列設(shè)計(jì)的原理不是利用三角形的穩(wěn)定性的是（）A．由四邊形組成的伸縮門 B．自行車的三角形車架 C．斜釘一根木條的長(zhǎng)方形窗框 D．照相機(jī)的三腳架【答案】A【分析】利用三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答．【解答】解：由四邊形組成的伸縮門是利用了四邊形的不穩(wěn)定性，而A、C、D選項(xiàng)都是利用了三角形的穩(wěn)定性，故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】多邊形、三角形的穩(wěn)定性2.如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在AB上截取AE＝AC，則△BDE的周長(zhǎng)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】利用已知條件證明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，從而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周長(zhǎng)．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周長(zhǎng)＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)3.如圖，A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，一位同學(xué)幫他想了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD＝CA，連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE＝CB，連接DE并且測(cè)出DE的長(zhǎng)即為A，B間的距離，這樣實(shí)際上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【答案】D【分析】利用SAS定理判定△ABC≌△DEC即可．【解答】證明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS）．故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用4.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CP，DP交OB，OA于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．PC＝PE【答案】D【分析】根據(jù)AAS證明△POD≌△POC（AAS），可得結(jié)論．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POC，∵PD⊥OB，PC⊥OA，∴∠PCO＝∠PDO，在△POD和△POC中，，∴△POC≌△POD（AAS），∴PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，故A，B，C正確；故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)5.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC的中點(diǎn)，連接DE、AE，AE⊥DE，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AB＝5，CD＝3，則AD的長(zhǎng)為（）A．2 B．5 C．8 D．11【答案】C【分析】由“AAS”可證△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝3，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝AF＝8．【解答】解：∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC，∵AB∥CD，在△BEF與△CED中，，∴△BEF≌△CED（AAS）∴EF＝DE，BF＝CD＝3，∴AF＝AB+BF＝8，∵AE⊥DE，EF＝DE，∴AF＝AD＝8，故選：C．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)6.已知，如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，OC，以下四個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②△CPQ是等邊三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正確的結(jié)論是（）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④【答案】D【分析】先由SAS判定△ACD≌△BCE，證得①正確；再由ASA證△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正確，同理證得CM＝CN，得到④正確；易得③不正確．【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①正確；∠CAD＝∠CBE，∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等邊三角形，故②正確；過C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM（AAS），∴CM＝CN，∵CM⊥BE，CN⊥AD，∴OC平分∠AOE，故④正確；當(dāng)AC＝CE時(shí)，AP平分∠BAC，則∠PAC＝30°，此時(shí)∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，則AD⊥BC，故③不正確；故選：D．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)二、填空題（共12小題）7.等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，則BD＝．【答案】3【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一解答即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝BC＝3，故答案為：3．【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)8.如圖，△ABC≌△DBE，△ABC的周長(zhǎng)為30，AB＝9，BE＝8，則AC的長(zhǎng)是．【答案】13【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8，∴BC＝BE＝8，∵△ABC的周長(zhǎng)為30，∴AB+AC+BC＝30，∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13，故答案為：13．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)9.如圖，將一副三角板如圖擺放，則圖中∠1的度數(shù)是度．【答案】105【分析】根據(jù)三角形的外角性求出∠2，根據(jù)補(bǔ)角的概念求出∠1．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)控可知，∠2＝30°+45°＝75°，∴∠1＝180°﹣∠2＝105°，故答案為：105．【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)10.如圖所示，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，AC，AB上的點(diǎn)，則∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6這六個(gè)角的度數(shù)的和是．【答案】360°【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)把這六個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)四邊形中，即可求得結(jié)果．【解答】解：不妨設(shè)AD和CF交于點(diǎn)M，BE和CF交于點(diǎn)N，則∠AMC＝∠2+∠3，∠ENF＝∠1+∠6，而∠AMC+∠ENF+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案為：360°．【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理11.如圖，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，則∠APB＝．【答案】115°【分析】依據(jù)∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，即可得出∠BAP+∠2＝65°，進(jìn)而得到△ABP中，∠APB＝180°﹣65°＝115°．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，∴∠BAP+∠2＝65°，∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案為：115°．【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理12.若△ABC的邊AB、BC的長(zhǎng)是方程組的解，設(shè)邊AC的長(zhǎng)為m，則m的取值范圍是．【答案】3＜m＜9【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出答案．【解答】解：∵△ABC的邊AB、BC的長(zhǎng)是方程組的解，邊AC的長(zhǎng)為m，∴m的取值范圍是：3＜m＜9，故答案為：3＜m＜9．【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系、二元一次方程組的解13.AD為△ABC中的中線，若AB＝8，AC＝6，那么AD的取值范圍是．【答案】1＜AD＜7【分析】延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【解答】解：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系14.如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，連接DE，則∠BDE＝°．【答案】50【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三等分角的意義求解即可．【解答】解：∵BD、BE三等分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC；又∵CD、CE三等分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB；∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BDC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝60°+∠A，∵∠A＝60°，∴∠BDC＝60°+×60°＝100°，∵BE，CE是△BDC的角平分線，∴ED平分∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC＝50°，故答案為：50．【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理15.如圖，EB交AC于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)D，AB交FC于點(diǎn)N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）【答案】①③④【分析】①根據(jù)已知條件可以證明在△ABE和△ACF全等，即可得∠1＝∠2；②沒有條件可以證明CD＝DN，即可判斷；③結(jié)合①和已知條件即可得△ACN≌△ABM；④根據(jù)△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，【解答】解：①在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠EAB＝∠FAC，∴∠EAB﹣∠BAC＝∠FAC﹣∠BAC，∴∠1＝∠2．∴①正確；沒有條件可以證明CD＝DN，∴②錯(cuò)誤；∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM（ASA），∴③正確；∵△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∴④正確．∴其中正確的結(jié)論有①③④．故答案為：①③④．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)16.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為x和y，且x和y滿足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為．【答案】7【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得x、y的值，然后得到三角形的三邊長(zhǎng)，接下來，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，最后求得三角形的周長(zhǎng)即可．【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，∴x＝3，y＝1．當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，三邊長(zhǎng)為3、3、1，周長(zhǎng)＝3+3+1＝7；當(dāng)腰長(zhǎng)為1時(shí)，三邊長(zhǎng)為3、1、1，1+1＜3，不能組成三角形．故答案為：7．【知識(shí)點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方、等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系17.如圖，△ABC中，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，并相交于點(diǎn)O，∠BOC＝140°，則∠A＝°．【答案】100【分析】先根據(jù)BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠1+∠2的度數(shù)，進(jìn)而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故答案為：100【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理18.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)CE∥AB時(shí)，若∠BAD＝35°，則∠DEC度；（2）如圖2，設(shè)∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，∠DEC＝．（用含α的式子表示）【答案】【第1空】=25

【第2空】α-90°【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠BAD＝∠CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等邊三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等邊三角形，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACE＝90°﹣，求得∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BAC＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△DAE是等邊三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，故答案為：25；（2）連接CE，∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．故答案為：α﹣90°．【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)三、解答題（共7小題）19.如圖，在△ABC和△DCB中，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC與BD交于點(diǎn)O．求證：AC＝BD．【分析】根據(jù)已知條件，用HL即可證明Rt△ABC≌Rt△DCB，則可得出答案．【解答】證明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）．∴AC＝BD．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)20.如圖，在?ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：BE＝DF．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，AD∥BC，再利用平行線的性質(zhì)可得∠DAF＝∠BCE，結(jié)合AAS判定△AFD≌△CEB，進(jìn)而可得BE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE．又∵BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AFD＝∠CEB＝90°，在△AFD和△CEB中，∴△AFD≌△CEB（AAS），∴BE＝DF．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)21.已知a，b，c是△ABC的三邊，a＝4，b＝6，若三角形的周長(zhǎng)是小于18的偶數(shù)．（1）求c邊的長(zhǎng)；（2）判斷△ABC的形狀．【分析】（1）利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出c的取值范圍，進(jìn)而得出答案；（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三邊，a＝4，b＝6，∴2＜c＜10，∵三角形的周長(zhǎng)是小于18的偶數(shù)，∴2＜c＜8，∴c＝4或6；（2）當(dāng)c＝4或6時(shí)，△ABC的形狀都是等腰三角形．【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系22.圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀剪下全等的四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖②拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積；方法一：；方法二：；（2）觀察圖②，請(qǐng)直接寫出下列三個(gè)代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之間的等量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決如下問題：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值．【答案】【第1空】（m-n）2

【第2空】（m+n）2-4mn【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式分別表示出陰影部分的面積；（2）根據(jù)面積相等解答；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，代入計(jì)算得到答案．【解答】解：（1）方法一：（m﹣n）2，方法二：（m+n）2﹣4mn，故答案為：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）當(dāng)p+q＝9，pq＝7時(shí)，（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝92﹣4×7＝81﹣28＝53．【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景、全等圖形23.如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求證：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)24.如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ