《數(shù)字信號處理-基于數(shù)值計算》課件-第1章

第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.0引言1.1離散時間信號1.2連續(xù)時間信號的采樣1.3離散時間系統(tǒng)1.4離散時間系統(tǒng)的時域分析

1.0引言

現(xiàn)實世界中的各種信號絕大多數(shù)是以模擬信號(AnalogSignal)形式出現(xiàn)的，模擬信號數(shù)字化處理的一般過程如圖1.1.0所示。這一處理過程看似花費了許多硬件環(huán)節(jié)和軟件成本，卻能獲得優(yōu)異的性能和高度的靈活性。我們將在隨后的章節(jié)陸續(xù)詳細介紹。圖1.1.0模擬信號數(shù)字化處理的一般過程

1.1離散時間信號

1.1.1序列的表示

在信號理論中，離散時間信號一般采用序列來描述，記為{x(n)}。序列是時間上不連續(xù)的一串樣本值的集合，其中序號n是整數(shù)，而x(n)則是第n號樣本值，大括號用來表示全部樣本的集合。

一個無限長復(fù)數(shù)值的序列如下：

{x(n)}＝{…,2+j3,0.8+j2,1－j5,4,0.3+j4,－j2.7,…},n∈(－∞,∞)

↑其中，用箭頭標(biāo)出了n＝0的序號位置，即序列原點值x(0)＝1－j5，那么，x(－1)＝0.8＋j2，x(1)＝4，x(2)＝0.3+j4等，依此類推。顯然，該復(fù)序列可以分解成實部子序列{xRe(n)}和虛部子序列{xIm(n)}。在不引起混淆的前提下，常可省略花括號。序列的實部為

xRe(n)＝{…，2，0.8，1，4，0.3，0，…}

↑

虛部為

xIm(n)＝{…，3，2，－5，0，4，－2.7，…}

↑顯然有x(n)＝xRe(n)＋jxIm(n)，其對應(yīng)的復(fù)共軛序列為x*(n)＝xRe(n)－jxIm(n)。當(dāng)然x(n)還可以寫成幅度序列與相位序列的形式，請讀者思考并寫出。

實際工程中，離散時間序列x(n)經(jīng)常是從連續(xù)時間信號x(t)通過采樣得到的。假設(shè)在均勻采樣情況下，采樣時間間隔為Ts，亦即采樣頻率fs=1/Ts，則

（1.1.1）

如果把采樣時間間隔Ts歸一化，即看成是Ts=1個單位，那么，用一個N點的離散序列x(n)就可以代表不同持續(xù)時間長度（NTs）的連續(xù)信號片段，它僅與實際的Ts有關(guān)。另外，還應(yīng)注意到，序列點之間所對應(yīng)的連續(xù)信號的真正幅度值是多少，是無從知曉的，實際上也不用關(guān)心。下面介紹幾個常用的典型序列。

(1)單位脈沖序列δ(n)，又稱為單位樣值函數(shù)。(1.1.2)該序列只在原點處取得單位1的值，其余點全都是0值。單位脈沖序列可用MATLAB語言描述如下：

n=－30:30；%給出從－30到30共61個自然序號

x=[n==0]；%在原點處取得1

stem(n，x)；%繪出序列圖程序運行結(jié)果如圖1.1.1所示，在n=0的位置出現(xiàn)值為1的脈沖。當(dāng)序列長度選得大些時，就更加逼近理想的數(shù)學(xué)上的單位樣值函數(shù)。圖1.1.1δ(n)的圖形

(2)單位階躍序列u(n)。(1.1.3)(1.1.4)延遲M個序號的單位階躍序列為用MATLAB語言可描述如下：

n=1:40；%給出自然序號1到40

M=15；%延遲值

x=[(n-M)>=0]；%獲得從M開始后的共25個1值的行向量

stem(n，x)；%繪出序列圖繪出的序列圖如圖1.1.2所示。圖1.1.2延遲的單位階躍序列δ(n－M)

(3)N點矩形窗序列RN(n)。(1.1.5)顯然，RN(n)=u(n)－u(n－N)。一個序列若乘以矩形窗，相當(dāng)于窗外數(shù)據(jù)被忽略成0，因此，經(jīng)常用RN(n)來截取長序列中感興趣的一段內(nèi)容。

(4)實指數(shù)序列。

x(n)=anu(n)a≠0

(1.1.6)

(5)復(fù)指數(shù)序列。

x(n)=(rejω0)n=rn[cos(ω0n)+jsin(ω0n)]

(1.1.7)

【例1.1.1】

繪制因果復(fù)序列x(n)=(0.732ej0.523)nu(n)=(0.732)n(cos0.523n+jsin0.523n)u(n)的兩種表示方式的圖形。

解用MATLAB繪圖編程如下：

n=0：30；%繪制31個點因果序列

x=(0.732.^n).*(exp(j*0.523*n))；%注意程序中指數(shù)和群運算符號

Ax=abs(x)；%求出幅度，即復(fù)數(shù)模

Bx=angle(x)；%求出相角，以rad為單位

Cx=real(x)；%求出實部

Dx=imag(x)；%求出虛部

subplot(2，2，1)；%分成四張小圖繪制，小圖編號為1，可參看

軟件的幫助信息

stem(Ax)；%[1，0.73，0.54，0.39，0.29，0.21，

0.15，…]ylabel(′幅度′)；

subplot(2，2，3)；%小圖編號為3的圖紙激活

stem(Bx)；

ylabel(′相位′)；%[0，0.52，1.05，1.57，2.09，2.62，3.14，

-2.62，-2.09，…]rad

subplot(2，2，2)；

stem(Cx)；

ylabel(′實部′)；%[1，0.63， 0.27，0.0，-0.14，-0.18，

-0.15，-0.09，…]

subplot(2，2，4)；

stem(Dx)；

ylabel(′虛部′)；%[0，0.37， 0.46，0.39，0.25，0.11，

0.0，-0.06，-0.07，…]

復(fù)指數(shù)信號的兩種圖示方式如圖1.1.3所示。圖1.1.3復(fù)指數(shù)信號的兩種圖示方式

(6)周期序列。

如果一個序列的數(shù)據(jù)變化規(guī)律呈現(xiàn)出不斷重復(fù)的特征，那么我們稱之為周期序列，記為x(n)。字母上方的“~”符號形象地表達了數(shù)值波動起伏猶如海浪一般，相同卻沒完沒了，這正是周期信號規(guī)律的主要特征。我們用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)表達式描述如下：如果一個序列滿足x(n)=x(n+rN)，0≤n≤N－1，r是任意整數(shù)，N是任意正整數(shù)，則稱x(n)是周期為N的周期序列。

例如f(n)=｛…，1，3，6，9，7，4，1，3，6，9，7，4，1，3，6，…｝，如圖1.1.4所示。~~~~~圖1.1.4周期序列圖例

(7)正弦序列。

x(n)=sin(ω0n)

(1.1.8)

【例1.1.2】繪制因果正弦序列的圖形，并指出它的周期點數(shù)N。

x(n)=sin(0.12πn)u(n)=sin(0.12π(n+N))u(n)

解其MATLAB程序如下：

n=0:60；%給出序號，準(zhǔn)備繪制61個點的因果序列

x=sin(0.12*pi*n)；%注意π的程序保留專用符pi，這里ω0=0.12π

stem(x)；%繪制序列桿圖

ylabel(′幅度′)；%標(biāo)出縱軸名稱程序運行結(jié)果如圖1.1.5所示。圖中序號從1繪制到61，仔細觀察，可以看出從第51點開始序列另起一個周期，因為式0.12πrN＝2πi，當(dāng)取r＝1，i=3，N＝50時成立。請讀者試著用stem(n，x)替換程序中的stem(x)，看看會出現(xiàn)什么結(jié)果？

若使得0.12πrN=2πi，該序列就具有周期性，選擇r=1，i=3，N=50即能滿足。當(dāng)然，如果正弦序列sin(ω0n)的ω0不合適，那么有可能找不到一組整數(shù)r、i、N來滿足周期定義式，比如ω0=0.3，序列x(n)=sin(0.3n)就沒有周期性。這說明周期性的正弦波經(jīng)過采樣后所形成的序列有可能是非周期的，它取決于采樣頻率的選擇。圖1.1.5正弦序列桿圖1.1.2序列的運算

序列的運算遵守如下規(guī)則：

(1)相加減。z(n)=x(n)±y(n)，兩個序列原點對齊，逐項對應(yīng)相加減，形成新序列z(n)。

(2)相乘。z(n)=x(n)y(n)，兩個序列原點對齊，逐項對應(yīng)相乘得到新序列z(n)。特別地，當(dāng)x(n)=a時，z(n)=ay(n)，即y(n)序列的每個元素都乘常數(shù)a。

(3)移位。將x(n)平移M個序號，得到新的序列y(n)=x(n－M)，當(dāng)M>0時，表示y(n)是x(n)的延遲；當(dāng)M<0時，y(n)比x(n)超前。

(4)反折。y(n)=x(－n)，序列對于n=0處序號反向倒轉(zhuǎn)，MATLAB對應(yīng)的功能函數(shù)是fliplr。

(5)平方和與絕對值。

序列的平方和稱為序列的能量：(1.1.9)(1.1.10)(1.1.11)

(6)實序列的偶部與奇部。對于所有的n，任何實序列x(n)都有如下定義：

x(n)的偶部(1.1.12)

x(n)的奇部(1.1.13)顯然，x(n)=xe(n)+xo(n)，并且偶部xe(n)=xe(－n)，具備關(guān)于原點偶對稱特性，而奇部xo(n)=－xo(－n)，具備關(guān)于原點奇對稱性。

(7)任何序列x(n)都可由單位脈沖序列δ(n)經(jīng)過移位以及加權(quán)和來表達:(1.1.14)

【例1.1.3】

寫出圖1.1.6所示序列的δ(n)表達式。圖1.1.6序列由δ(n)表示解

x(n)={(1,1.5,0,－3,0,0,0)}=δ(n+1)+1.5δ(n)－3δ(n－2)↑

n=0

1.2連續(xù)時間信號的采樣

1.2.1連續(xù)信號的采樣過程

采樣器一般由電子開關(guān)組成，對于等間隔采樣，開關(guān)每隔Ｔ秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，從而實現(xiàn)一次采樣，其閉合時間為τ(τ可小至納秒級)，如圖1.2.1所示。

電子開關(guān)的作用可用乘法器模擬，即看成是兩信號相

乘，也就是調(diào)制，如圖1.2.2所示。

實際采樣與理想采樣信號過程如圖1.2.3所示，當(dāng)p(t)的τ→0時，即抽象成理想沖激序列。圖1.2.1采樣開關(guān)圖1.2.2模擬乘法器圖1.2.3實際采樣和理想采樣信號示意設(shè)采樣脈沖串p(t)的重復(fù)周期為Ts，當(dāng)脈寬τ<<Ts時，p(t)可近似看成是理想周期沖激序列，并能展開成傅立葉級數(shù)，其中采樣角頻率Ωs=2πfs=2π/Ts。此時我們可以把理想采樣信號Xδ(t)及其頻譜函數(shù)Xδ(jΩ)寫成：1.2.2具有低通型頻譜的連續(xù)信號的采樣

如果原信號xa(t)是實帶限的，且其頻譜中最高頻率分量為fmax，那么以高于2fmax的采樣率進行采樣時，基帶頻譜以及采樣產(chǎn)生的各次調(diào)制諧波頻譜彼此不會重疊，如圖1.2.4所示。此時，只要用幅度為Ts、帶寬為fc(fmax＜fc＜fs－fmax)的理想低通濾波器就能濾除各次調(diào)制頻譜，而保留基帶頻譜，如圖1.2.4(b)中虛線所框出的，也就是說能完全真實地還原出原信號頻譜。圖(c)與圖(d)是采樣率不滿足fs>2fmax條件時出現(xiàn)了所謂的頻譜高頻端混疊(aliasing)現(xiàn)象，也可以理解為假頻，它改變了原基帶頻譜結(jié)構(gòu)，從而無法恢復(fù)出原信號頻譜Xa(jf)。圖1.2.4理想采樣信號的周期頻譜與混疊現(xiàn)象這里我們定義幾個術(shù)語。采樣頻率的一半稱為折疊頻率，信號中超過這個頻率的分量都將因為采樣而被反折回來，造成頻譜的混疊，出現(xiàn)所謂假頻現(xiàn)象。折疊頻率記為fo=0.5fs。保證能夠重新恢復(fù)出原信號的最低采樣頻率稱為奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率，記為fN=2fmax，它等于信號最高頻率的2倍，是信號固有的特征參數(shù)。實際應(yīng)用中，為了防止發(fā)生頻譜混疊，在采樣之前都要對模擬信號進行抗混疊的低通預(yù)濾波處理，使得進入采樣器的信號最高頻率保證限制在0.5fs以內(nèi)。如果頻譜是Xδ(jf)的離散時間信號(采樣信號)通過一個理想低通濾波器H(jf)(見圖1.2.5)：(1.2.4)則濾波器輸出是Y(jf)=H(jf)Xδ(jf)，由于在基頻帶(－0.5fs~0.5fs)里，Xδ(jf)與Xa(jf)僅相差Ts倍，因此(1.2.5)上式進行傅立葉逆變換后，我們得到理想低通濾波器輸出的時域表達式y(tǒng)(t)=xa(t)。圖1.2.5離散信號通過理想低通濾波器以上過程還可以從時域角度來分析，對于濾波器，我們有上式說明，通過對如圖1.2.6(a)所示內(nèi)插函數(shù)Sa(πt/Ts)及其平移后的Sa(π(t－nTs)/Ts)并經(jīng)采樣值xa(nTs)的加權(quán)進行累加，就能唯一地構(gòu)造恢復(fù)出原連續(xù)信號xa(t)。該連續(xù)信號的值在采樣時刻嚴格等于離散序列值，而在兩樣點之間，則是由全部采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加構(gòu)成的，如圖1.2.6(b)所示。圖1.2.6內(nèi)插函數(shù)與內(nèi)插函數(shù)重構(gòu)1.2.3具有帶通型頻譜的連續(xù)信號的采樣

如果連續(xù)信號xa(t)的頻譜如圖1.2.7所示，則其一般被稱做是帶通類型的。例如，單邊帶調(diào)幅波的頻譜就是這種類型。它是由低通信號頻譜經(jīng)高頻載波調(diào)制并經(jīng)過一定處理后形成的，通常上邊頻f2比帶寬B=f2－f1大很多，記有效頻帶中心為fc，下邊頻f1=fc－0.5B。圖1.2.7帶通型頻譜對于這類帶通型的信號，盡管可以選擇fs>2f2進行無混疊不失真采樣，但因f2本來就很高，使得采樣率fs可能高到無法實現(xiàn)的程度，即使能做到，成本也一定會很高。幸運的是，仔細觀察帶通頻譜結(jié)構(gòu)就會發(fā)現(xiàn)，有效信號頻帶B以外的大量頻率區(qū)本身都是零幅度的，那么利用這一點，可以合理降低采樣頻率fs，降低到奈氏頻率以下，且由采樣所帶來的頻譜周期化以及頻譜疊加也不會傷及有效頻帶。因為時域采樣等效于頻域里將原頻譜以fs整倍數(shù)左右平移再疊加，如果保證有意義頻帶都移動到零幅度區(qū)，亦即跟零疊加，就不會改變頻譜，當(dāng)然就避免了混疊現(xiàn)象。如圖1.2.7所示的直流到下邊頻(0~f1)就是零幅度區(qū)。注意，圖1.2.8是采樣后的頻譜結(jié)構(gòu)，依然是對于縱軸左右對稱的。圖1.2.8帶通信號欠采樣情況，m=4，fs=(2fc－B)/4設(shè)原信號譜(粗線所示)正頻帶P和負頻帶Q，有效帶寬B=f2－f1，調(diào)整fs，使得重復(fù)頻譜的正頻帶P和負頻帶Q恰好在坐標(biāo)0點對接，并且在2fc－B的零幅度區(qū)里有m個重復(fù)周期。圖1.2.8中是m=4，即在2fc－B的零幅度區(qū)塞下4個采樣后的諧波頻帶(由原頻譜平移±fs和±2fs)而不發(fā)生重疊。顯然，mfs=(2fc－B)。如果增大fs，圖1.2.8中的Q將向右、P向左移動進而發(fā)生混疊，說明fs不能任意增大，必須小于這個上限。如果減小采樣率fs，原譜不動，P將向右而Q向左移動，從而分開，如圖1.2.9(a)所示。繼續(xù)減小fs，直到P、Q又接在一起，即最低采樣率(當(dāng)然無論何時都要滿足fs>2B)情況，如圖1.2.9(b)所示，此時在2fc+B頻帶里有5個頻譜周期，即(m+1)fs=2fc+B，fs不能再小了。總結(jié)以上分析，采樣率fs應(yīng)處于一定范圍才能避免混疊，即

(1.2.9)若采樣率超出上式范圍，例如進一步增大fs，將使得P、Q重疊后彼此錯過再分開，就進入了m=3的情況，繼續(xù)增大到m=2，m=1，最后是fs=2fc+B的極端情況，那就是當(dāng)作低通信號處理的Shannon采樣率。相反地，若fs減小，會在零幅度區(qū)里塞入更多的采樣諧波頻譜，將出現(xiàn)放不下的情況，即已達到采樣率下限了。究竟能放下幾個重復(fù)周期呢?這個可由信號最高頻率f2=fc+0.5B的2倍除以帶寬B所得的整數(shù)值來計算。圖1.2.9帶通信號采樣后的頻譜我們定義在可接受的m值下，使得重復(fù)頻譜在原點處正負頻帶對接時的采樣頻率為最佳帶通信號最佳采樣頻率。

m＝1時的最佳fs如圖1.2.10(b)所示，但出現(xiàn)基帶頻譜倒置情況。m＝2時的最佳fs更低，如圖1.2.11(a)所示，而且基帶頻譜正常。圖1.2.10帶通信號采樣時的頻譜情況討論圖1.2.11帶通信號采樣頻率的選擇結(jié)合前面的圖，可以看到，m為偶數(shù)時，基帶頻譜不會倒置；m為奇數(shù)時，如圖1.2.12所示，基帶頻譜出現(xiàn)倒置，不過這個問題可以通過數(shù)字處理將其翻轉(zhuǎn)過來解決。針對本例子，似乎應(yīng)該選m=4，既有更低采樣率，又沒有基帶頻譜倒置問題。但如果fc過小，假如只能到m=3的情況，那么應(yīng)該選m=2為正?；鶐ьl譜而付出較高采樣率的代價，還是選m=3的低的采樣率而另外單獨處理基帶頻譜倒置問題呢？后者應(yīng)該更可取，因為可以通過簡單的數(shù)字處理把基帶頻譜翻轉(zhuǎn)過來。以后將會看到，這個辦法只是把采樣序列xa(n)與(－1)n相乘，在頻域里表現(xiàn)為0~0.5fs頻帶繞0.25fs左右翻轉(zhuǎn)，即直流DC(0Hz)頻率倒置到±0.5fs。如【例1.2.1】中，這個正負1單位交替的工具序列有時還寫成(－1)n=cos(nπ)=

ejπn。此外，如果原始譜正頻率有意義部分是關(guān)于中心頻率fc偶對稱的話，那么采樣頻譜就不會存在倒置的問題。圖1.2.12帶通信號最佳采樣頻率的確定

【例1.2.1】

頻譜倒置的示例。

解

程序運行的結(jié)果如圖1.2.13所示，幅序頻譜在0~0.5fs內(nèi)出現(xiàn)倒置。圖1.2.13將幅度頻譜倒置的辦法圖1.3.1離散系統(tǒng)模型

1.3離散時間系統(tǒng)

將一個序列x(n)變換成另一個序列y(n)的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)，記為

y(n)=T[x(n)](1.3.1)

這里的符號T[·]表示某種運算或變換。系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系用圖1.3.1所示。1.3.1系統(tǒng)的線性、時不變性、穩(wěn)定性與因果性

以下是關(guān)于系統(tǒng)特性的一般描述，目的是將各式各樣的系統(tǒng)進行分門別類，以便研究。

線性系統(tǒng)滿足疊加原理，它包含兩個方面的性質(zhì)：均勻性和可加性。

均勻性也稱比例性，是指當(dāng)系統(tǒng)的輸入變化a倍，其輸出也相應(yīng)變化a倍。其中比例a還可以是復(fù)數(shù)。

可加性是指系統(tǒng)分別輸入兩個序列x1(n)和x2(n)，其各自對應(yīng)的輸出是y1(n)和y2(n)，那么，當(dāng)混合輸入x1(n)+x2(n)時，系統(tǒng)將會輸出y1(n)+y2(n)。

當(dāng)系統(tǒng)同時滿足均勻性和可加性時，我們稱該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。時不變是指系統(tǒng)的性能不會隨時間發(fā)生改變。也就是無論何時輸入信號，只要x(n)相同，系統(tǒng)輸出也總是相同的y(n)，只不過是隨著x(n)加到系統(tǒng)的先后，y(n)出現(xiàn)的時間不同而已。用符號表示就是：若y(n)=T[x(n)]，有y(n－n0)=T[x(n－n0)]成立，則稱系統(tǒng)T[·]是時不變的。

若系統(tǒng)輸入是有界的，其輸出也一定是有界的，這樣的系統(tǒng)即為穩(wěn)定系統(tǒng)。如果從系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)來考慮，則穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是其h(n)絕對可和，即滿足下式：

(1.3.2)一個因果系統(tǒng)的輸出y(n)只取決于當(dāng)前以及以往的輸入x(n)，x(n－1)，x(n－2)，…，x(n－N)等，輸出與這些輸入在時間先后上是符合因果規(guī)律的，因此稱為因果系統(tǒng)。相反，如果當(dāng)前輸出y(n)還要依賴未來的輸入x(n+1)、x(n+2)等，這是不現(xiàn)實的，就是所謂的非因果系統(tǒng)。

判斷一個線性時不變系統(tǒng)是不是因果系統(tǒng)的充分必要條件是：

h(n)=0，n<0

即系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列沒有負序號項。這一點其實從h(n)定義上就能知道，在零狀態(tài)下，系統(tǒng)于0時刻之前都沒有響應(yīng)，處于松弛狀態(tài)，僅當(dāng)受δ(n)激勵時，才有響應(yīng)h(n)產(chǎn)生，這樣h(n)必然出現(xiàn)在n≥0之后，時間上符合因果關(guān)系。也因此常常把n<0時x(n)=0的序列統(tǒng)稱為因果序列，意味著它可作為因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。盡管連續(xù)時間非因果系統(tǒng)是不可實現(xiàn)的，例如理想模擬低通濾波器，但數(shù)字信號處理中由于系統(tǒng)有存儲記憶能力，非因果關(guān)系卻是可以實現(xiàn)的。很多數(shù)據(jù)處理場合可以是非實時的，并且實際工程中即使要求實時處理，一般也容許有一定的延遲，對于輸出y(n)來說，可以將大量的輸入數(shù)據(jù)x(n+1)，x(n+2)，x(n+3)，x(n+4)放入存儲器，經(jīng)過一定延遲后取出來供計算使用，從而實現(xiàn)非因果系統(tǒng)。換句話說，可以用一個帶有延遲的因果系統(tǒng)來近似等效非因果系統(tǒng)，這是一種獲得更接近于理想頻率特性的方法。1.3.2離散時間系統(tǒng)的差分方程描述

對于線性時不變的離散系統(tǒng)，可用如下常系數(shù)差分方程描述，它給出輸入序列x(n)和輸出序列y(n)的關(guān)系：(1.3.3)式中N稱為離散系統(tǒng)的階次，改寫成

【例1.3.1】

研究差分方程y(n)=0.2y(n－1)+x(n)的解的唯一性問題。

解設(shè)x(n)=δ(n)，且n＜0時，y(n)=0，那么，可以令n=0代入差分方程：

y(0)=0.2y(－1)+x(0)=0.2×0+1=1

同理

y(1)=0.2y(0)+x(1)=0.2×1+0=0.2

y(2)=0.2×0.2

y(3)=0.2×0.2×0.2

…

y(n)=(0.2)n

，n≥0

或

y(n)=(0.2)nu(n)但若假設(shè)n≥0時，y(n)=0，那么同樣的δ(n)激勵下，可得另一組y(n)滿足差分方程。

改寫方程為

y(n－1)=5(y(n)－x(n))，或y(n)=5(y(n＋1)－x(n＋1))

那么令n=－1代入，得

y(－1)=5(y(0)－x(0))=5×(－1)=－5

y(－2)=5(y(－1)－x(－1))=5×y(－1)=－25

y(－3)=－5×5×5

…

y(n)=－(5)(－n)，n＜0

或

y(n)=－(0.2)nu(－n－1)

顯然，后者是一非因果系統(tǒng)。1.3.3離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述

狀態(tài)方程能夠規(guī)范地描述多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，解決在單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)中慣用的傳遞函數(shù)所難以表達的問題，這是它的一個突出的優(yōu)點。對于一個動態(tài)的線性時不變離散系統(tǒng)，除了用前面小節(jié)所述的N階差分方程描述外，也可以把它改寫成一階的差分方程組。引入了一個所謂的狀態(tài)變量λ(n)，形式為式(1.3.4)稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，相應(yīng)地，式(1.3.5)稱為系統(tǒng)的輸出方程，簡寫成矢量方程即矩陣形式：(1.3.6)A為N×N階的系統(tǒng)系數(shù)矩陣，B為N×m階的輸入矩陣，C為r×N階的輸出矩陣，D為r×m階的直通矩陣。系統(tǒng)的方框圖如圖1.3.2所示。注意，輸入與輸出都是向量，表示多輸入多輸出系統(tǒng)。圖1.3.2離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的方框圖

【例1.3.2】

用狀態(tài)方程表示由如下差分方程描述的因果離散系統(tǒng)。

y(n)+0.2y(n－1)+0.4y(n－2)+0.5y(n－3)=0.7x(n)－0.6x(n－1)

解先對上式兩邊進行Z變換，整理成按z降冪形式的系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)(當(dāng)然這一步也可以省，只是為了與標(biāo)準(zhǔn)形式相比較以寫出系數(shù)向量)。即系統(tǒng)狀態(tài)方程描述式為表示了一個3階的常系數(shù)離散系統(tǒng)。值得注意的是，矩陣A、B、C、D是不唯一的，也就是說，還可以有其他的A、B、C、D組合能表示這個差分方程。

1.4離散時間系統(tǒng)的時域分析

1.4.1離散線性時不變系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)

在離散系統(tǒng)分析中，單位樣值響應(yīng)的概念非常重要，類似連續(xù)系統(tǒng)分析的單位沖激響應(yīng)。系統(tǒng)在松馳的零狀態(tài)下，因受δ(n)的激勵而產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位樣值響應(yīng)，記為h(n)，如圖1.4.1所示。圖1.4.1單位樣值響應(yīng)

h(n)揭示了系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特性，與輸入無關(guān)，可以根據(jù)它判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性等。對于【例1.3.2】所描述的系統(tǒng)，其h(n)可以用impz函數(shù)輕易得到，只要輸入如下語句：

impz(num，den，40)；%畫出h(n)的前40個值

例1.3.2離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)如圖1.4.2所示。圖1.4.2例1.3.2離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)1.4.2線性卷積

線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出可以通過系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)來求得，這是因為任意激勵序列x(n)都能分解成單位樣值δ(n)的加權(quán)和的形式：系統(tǒng)對于δ(n)的響應(yīng)是h(n)，由線性和時不變特性可知，系統(tǒng)對于x(i)δ(n－i)項的響應(yīng)就是x(i)h(n－i)，因此，全部累加起來就得到系統(tǒng)對于任意序列x(n)的響應(yīng)y(n)