理學(xué)隨機(jī)過程課件-馬爾可夫鏈

隨機(jī)過程課件-馬爾可夫鏈本課件將介紹隨機(jī)過程中的一個(gè)重要概念：馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈在各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如金融建模、生物學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等。引言隨機(jī)過程是研究隨機(jī)現(xiàn)象隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)理論。它是現(xiàn)代概率論的重要組成部分，在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如金融、工程、物理、生物等。什么是隨機(jī)過程隨機(jī)變量隨機(jī)過程是指隨時(shí)間變化的隨機(jī)現(xiàn)象。它可以被看作是隨機(jī)變量的函數(shù)，其中隨機(jī)變量的值隨時(shí)間而變化。時(shí)間序列隨機(jī)過程通常用時(shí)間序列來(lái)表示，它記錄了隨機(jī)變量在不同時(shí)刻的值。時(shí)間序列可以是離散的或連續(xù)的。隨機(jī)過程的分類按時(shí)間參數(shù)分類隨機(jī)過程可以分為連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程和離散時(shí)間隨機(jī)過程。按狀態(tài)空間分類隨機(jī)過程可以分為連續(xù)狀態(tài)空間隨機(jī)過程和離散狀態(tài)空間隨機(jī)過程。按統(tǒng)計(jì)性質(zhì)分類隨機(jī)過程可以分為平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程。馬爾可夫過程概念記憶性馬爾可夫過程具有“無(wú)后效性”，即系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)只取決于當(dāng)前狀態(tài)，而與過去的狀態(tài)無(wú)關(guān)。隨機(jī)性系統(tǒng)的狀態(tài)變化是隨機(jī)的，無(wú)法完全預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)。狀態(tài)空間馬爾可夫過程的所有可能狀態(tài)的集合稱為狀態(tài)空間。馬爾可夫鏈定義狀態(tài)空間馬爾可夫鏈的每個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)特定的狀態(tài)。轉(zhuǎn)移概率從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的概率。時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)間按照離散的步長(zhǎng)進(jìn)行，每個(gè)步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移。馬爾可夫性質(zhì)1未來(lái)只取決于現(xiàn)在系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)只取決于當(dāng)前狀態(tài)，與過去狀態(tài)無(wú)關(guān)。2記憶力有限系統(tǒng)沒有記憶，不會(huì)記錄過去發(fā)生的事情，只關(guān)注現(xiàn)在。3隨機(jī)性存在未來(lái)的狀態(tài)是隨機(jī)的，但概率由當(dāng)前狀態(tài)決定。馬爾可夫鏈狀態(tài)空間定義狀態(tài)空間是指所有可能狀態(tài)的集合。簡(jiǎn)單來(lái)說，狀態(tài)空間包含了所有馬爾可夫鏈可能處于的可能狀態(tài)。類型狀態(tài)空間可以是有限的，也可以是無(wú)限的。有限狀態(tài)空間是指只有有限個(gè)可能狀態(tài)。無(wú)限狀態(tài)空間是指有無(wú)限個(gè)可能狀態(tài)。可數(shù)狀態(tài)空間的馬爾可夫鏈1狀態(tài)可數(shù)有限或可數(shù)無(wú)限狀態(tài)2狀態(tài)空間離散可以枚舉所有可能狀態(tài)3應(yīng)用廣泛許多實(shí)際問題建模轉(zhuǎn)移概率矩陣1矩陣元素表示從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的概率。2行和每行的元素之和為1，表示從該狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任何狀態(tài)的概率總和。3列和每列的元素之和可能不為1，表示從任何狀態(tài)轉(zhuǎn)移到該狀態(tài)的概率之和。初始分布和穩(wěn)態(tài)分布初始分布描述馬爾可夫鏈在初始時(shí)刻各個(gè)狀態(tài)的概率分布。穩(wěn)態(tài)分布指馬爾可夫鏈經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后，各個(gè)狀態(tài)的概率分布不再隨時(shí)間變化。穩(wěn)態(tài)分布的計(jì)算1計(jì)算公式使用矩陣運(yùn)算求解穩(wěn)態(tài)分布2迭代法通過多次迭代逼近穩(wěn)態(tài)分布3特征向量法利用轉(zhuǎn)移概率矩陣的特征向量求解齊次馬爾可夫鏈時(shí)間獨(dú)立性轉(zhuǎn)移概率不隨時(shí)間變化，每個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率保持一致。預(yù)測(cè)能力可根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)推斷未來(lái)狀態(tài)的概率分布，預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)。非齊次馬爾可夫鏈時(shí)間依賴性轉(zhuǎn)移概率隨時(shí)間變化，不同時(shí)間點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率可能不同。復(fù)雜性分析和預(yù)測(cè)難度較大，需要考慮時(shí)間因素的影響。應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用于金融市場(chǎng)、天氣預(yù)報(bào)等領(lǐng)域，需要考慮時(shí)間變化的隨機(jī)現(xiàn)象。吸收狀態(tài)和遷出概率1吸收狀態(tài)一個(gè)狀態(tài)一旦進(jìn)入，就永遠(yuǎn)不會(huì)離開，稱為吸收狀態(tài)。2遷出概率從一個(gè)非吸收狀態(tài)到達(dá)某個(gè)特定吸收狀態(tài)的概率，稱為遷出概率。3計(jì)算方法遷出概率可以使用馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣和矩陣運(yùn)算計(jì)算。趣味例題一假設(shè)一個(gè)賭徒玩擲硬幣的游戲，每次擲硬幣正面朝上，他就贏得1元錢，反面朝上，他就輸?shù)?元錢。這個(gè)賭徒初始資金為5元，請(qǐng)問他破產(chǎn)的概率是多少？趣味例題二假設(shè)你有一個(gè)朋友，他每天都玩一個(gè)游戲，游戲有三種狀態(tài)：贏、輸、平局。如果他今天贏了，明天有50%的概率贏，30%的概率輸，20%的概率平局；如果他今天輸了，明天有40%的概率贏，40%的概率輸，20%的概率平局；如果他今天平局，明天有20%的概率贏，30%的概率輸，50%的概率平局。現(xiàn)在問，如果他第一天贏了，三天后他贏的概率是多少？應(yīng)用案例一金融市場(chǎng)中的股票價(jià)格走勢(shì)可被視為馬爾可夫鏈，通過分析歷史數(shù)據(jù)，可以預(yù)測(cè)未來(lái)股價(jià)走勢(shì)，為投資決策提供參考。應(yīng)用案例二在金融領(lǐng)域，馬爾可夫鏈被廣泛用于風(fēng)險(xiǎn)管理和投資組合優(yōu)化。例如，金融機(jī)構(gòu)可以使用馬爾可夫鏈模型來(lái)預(yù)測(cè)市場(chǎng)走勢(shì)、評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)和制定投資策略。馬爾可夫鏈還可以用于構(gòu)建金融產(chǎn)品，例如保險(xiǎn)產(chǎn)品，以更好地匹配客戶的需求。應(yīng)用案例三金融市場(chǎng)預(yù)測(cè)馬爾可夫鏈可以用于預(yù)測(cè)金融市場(chǎng)的趨勢(shì)和波動(dòng)。信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估馬爾可夫鏈模型可以幫助銀行和金融機(jī)構(gòu)評(píng)估借款人的信用風(fēng)險(xiǎn)。應(yīng)用案例四馬爾可夫鏈在金融領(lǐng)域可以用于構(gòu)建模型，以模擬金融市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)，預(yù)測(cè)未來(lái)價(jià)格走勢(shì)。例如，可以利用馬爾可夫鏈分析股票價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)，建立模型來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)股票價(jià)格的漲跌概率。應(yīng)用案例五馬爾可夫鏈在機(jī)器人控制領(lǐng)域也發(fā)揮著重要作用。例如，在路徑規(guī)劃中，可以利用馬爾可夫鏈模型來(lái)預(yù)測(cè)機(jī)器人下一步的移動(dòng)方向，并找到最優(yōu)路徑。此外，馬爾可夫鏈還可以用于機(jī)器人學(xué)習(xí)，幫助機(jī)器人從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)并改進(jìn)其行為。未來(lái)展望1應(yīng)用范圍拓寬隨著數(shù)據(jù)采集和處理技術(shù)的不斷發(fā)展，馬爾可夫鏈在更多領(lǐng)域得到應(yīng)用，如金融風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、生物信息學(xué)、人工智能等。2模型復(fù)雜化為了更準(zhǔn)確地刻畫復(fù)雜系統(tǒng)的隨機(jī)變化，研究者們正在開發(fā)更復(fù)雜的馬爾可夫鏈模型，如隱藏馬爾可夫模型(HMM)等。3交叉學(xué)科研究馬爾可夫鏈與其他學(xué)科的交叉研究將不斷涌現(xiàn)，例如，馬爾可夫鏈與機(jī)器學(xué)習(xí)的結(jié)合，將為解決現(xiàn)實(shí)問題提供新的思路。本課程總結(jié)馬爾可夫鏈本課程講解了隨機(jī)過程中的一個(gè)重要概念：馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過程，它具有“無(wú)記憶性”的性質(zhì)，即未來(lái)狀態(tài)只依賴于當(dāng)前狀態(tài)，與過去狀態(tài)無(wú)關(guān)。應(yīng)用馬爾可夫鏈在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如金融、經(jīng)濟(jì)、生物、物理等。它可以用來(lái)模擬各種隨機(jī)現(xiàn)象，例如股票價(jià)格的波動(dòng)、人口的增長(zhǎng)、疾病的傳播等等。參考文獻(xiàn)SheldonM.Ross.IntroductiontoProbabilityModels,11thEdition.AcademicPress,2019.RichardDurrett.Probability:TheoryandExamples,5thEdition.CambridgeUniversityPress,2019.G.R.GrimmettandD.R.Stirzaker.ProbabilityandRandomProcesses,4thEdition.OxfordUniversityPress,2020.問答交流歡迎大家