廣東省深圳市坪山區(qū)坪山中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

坪山區(qū)坪山中學(xué)2021－2020學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.若，則（）A.3 B.－3 C. D.81【答案】C【解析】【分析】利用平方根定義開(kāi)方即可求出解．【詳解】解：∵x2=9，∴x=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根的定義．2.若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，則m的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=2代入一元二次方程得到關(guān)于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．【詳解】解：把x=2代入方程x2-mx+8=0得4-2m+8=0，解得m=6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．3.在四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，則下列不能判斷四邊形ABCD是矩形的是（）A.B.C，，D.，，【答案】D【解析】【分析】由矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵OA=OB=OC=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵∠B+∠C=180°，∴∠A+∠D=180°，∵∠A=∠C，∴∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠AOB=∠BOC，∠AOB+∠BOC=180°，∴∠AOB=∠BOC=90°，∴AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定是解題的關(guān)鍵．4.用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配方法解出方程即可．【詳解】解：＋2x＝5＋2x＋1＝5＋1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．5.某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預(yù)計(jì)2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A.80（1+x）2=100 B.100（1﹣x）2=80 C.80（1+2x）=100 D.80（1+x2）=100【答案】A【解析】【分析】利用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），設(shè)平均每次增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)“從80噸增加到100噸”，即可得出方程．【詳解】由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，則2017年蔬菜產(chǎn)量為80（1+x）噸，2018年蔬菜產(chǎn)量為80（1+x）（1+x）噸，預(yù)計(jì)2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，即：80（1+x）2=100，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用（增長(zhǎng)率問(wèn)題）．解題的關(guān)鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系式，列出方程．6.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.內(nèi)角和等于360° B.對(duì)角相等 C.對(duì)邊平行且相等 D.對(duì)角線互相垂直【答案】D【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．【詳解】∵菱形與矩形都是平行四邊形，A，B，C是平行四邊形的性質(zhì)，

∴二者都具有，故此三個(gè)選項(xiàng)都不正確，

由于菱形的對(duì)角線互相垂直且平分每一組對(duì)角，而矩形的對(duì)角線則相等，

故選D．7.如圖，在中，DE平分，，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠ADE＝∠DEC，根據(jù)角平分線定義求出∠ADE＝∠CDE，推出∠CDE＝∠DEC，推出CE＝DC，求出CD即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DEC，∴CE＝DC，∵BC＝8，BE＝3，∴CD＝CE＝8?3＝5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出CD的長(zhǎng)，注意：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，難度適中．8.已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ=b2-4ac＞0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．【詳解】解：∵a=1，b=-2，c=k-1，∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(k-1)=8-4k，∵方程x2-2x+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴8-4k＞0，解得k＜2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式Δ的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．9.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上，且，連接EF，則BF的長(zhǎng)為（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】把△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，首先證明△AFE≌△AGE，進(jìn)而得到EF＝FG，問(wèn)題即可解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖：∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，點(diǎn)E、D、G共線，在△AFE和△AGE中，AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED＋DG，∵E為CD的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴設(shè)BF＝x，則CF＝6?x，EF＝3＋x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2＋CF2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．10.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交AD，BC于點(diǎn)M，N．下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論有（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，然后利用ASA證明即可判斷①正確，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AP=AM，從而得出是等腰直角三角形，則，同理可得，即可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)得是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的對(duì)角線相等即可得，即可判斷②錯(cuò)誤；判斷四邊形PEDF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得PF=OE，再根據(jù)勾股定理即可得，故可判斷③正確，即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，,∵，，∴，，在和中，∴（ASA），故①正確，∴AP=AM，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，∴（ASA），∴BP=BN，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵，，，∴，∴四邊形PEOF是矩形，∴PF=OE，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，故③正確，綜上，正確的結(jié)論由①③，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．二．填空題（每題3分，共15分）11.已知m是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則＝______．【答案】6【解析】【詳解】解：∵m是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，∴，∴，∴=6，故答案為6．12.如圖，在菱形ABCD中，，，則菱形ABCD的面積是_________．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角求出∠ABC＝60°，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，可得∠BAE＝30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BE，再利用勾股定理得到AE＝3，然后利用菱形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，BC=AB=6，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝90°－60°＝30°，∴BE＝AB＝3，在Rt△ABE中，AE＝，∴菱形ABCD的面積是6×3＝18，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，作輔助線求出菱形的高是解題的關(guān)鍵．13.如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為36m，寬為24m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為_(kāi)_____m．【答案】2【解析】【分析】設(shè)人行道的寬度為x米，根據(jù)矩形綠地的面積之和為600m2，列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：設(shè)人行道的寬度為x米，根據(jù)題意得，（36-3x）（24-2x）=600，化簡(jiǎn)整理得，（12-x）2=100．解得x1=2，x2=22（不合題意，舍去）．答：人行通道的寬度是2m．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用兩塊相同的矩形綠地面積之和為600m2得出等式是解題關(guān)鍵．14.如圖，在中，，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)____s時(shí)，的面積為16cm2【答案】1或4##4或1【解析】【分析】若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計(jì)算公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，依題意得：（20-4t）×2t=16，整理得：t2-5t+4=0，解得：，答：當(dāng)t=1或4s時(shí)，△CPQ的面積為16cm2．故答案為：1或4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15.如圖，四邊形ABCD為矩形，，，點(diǎn)E是AD所在直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】延長(zhǎng)至使得，連接，證明，進(jìn)而可得，從而可得的最小值為的長(zhǎng)，勾股定理求解即可．【詳解】如圖，延長(zhǎng)至使得，連接，四邊形是矩形，，，在與中，，，在中，，，，在中，，，的最小值是．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共55分）16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，進(jìn)而根據(jù)直接開(kāi)平方解一元二次方程即可；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）；解得；（2）．解得．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）用公式法解方程；（2）分解因式得出（x-3）（x-3+2）=0，推出x-3=0，x-1=0，求出方程的解即可．【詳解】解：（1）3x2+8x?3=0，∵，，，∴100，∴，∴；（2）(x?3)2=2(3?x)，∴(x?3)2+2(x?3)=0，∴(x?3)(x?3+2)=0，∴x?3=0，x?1=0，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．18.校園前門花園上有一面墻，長(zhǎng)度為12m，地鐵施工，需要隔離部分矩形地塊，用長(zhǎng)為26m的籬笆和這面墻圍成80m2的矩形，如圖所示，求圍成矩形的長(zhǎng)，寬分別為多少？【答案】長(zhǎng)為10米，寬為8米.【解析】【分析】設(shè)ABx，則BC為（26-2x），然后建立方程，即可計(jì)算得到答案.【詳解】解：設(shè)AB為x，則BC為（26-2x），則，整理得：，解得：，當(dāng)x=5時(shí)，BC=>12，不符合題意，舍去；當(dāng)x=8時(shí)，BC=26-28=10<12，∴AB=8，BC=10；即矩形的長(zhǎng)為10m，寬為8m.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19.一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為_(kāi)_______件；（2）當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元.【解析】【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降價(jià)3元，則平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天銷售數(shù)量為20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種商品利潤(rùn)列出方程解答即可．【詳解】（1）若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為20+2×3=26件．（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元．根據(jù)題意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20應(yīng)舍去，∴x=10．答：每件商品應(yīng)降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤(rùn)是解題關(guān)鍵．20.如圖，已知中，，CE是的中線，連接CE，分別過(guò)點(diǎn)A，C作CE和AB的平行線相交于點(diǎn)D．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若，，求菱形AECD的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得進(jìn)而可得四邊形是菱形；（2）連接根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)菱形的面積公式即可求得．【詳解】（1），四邊形是平行四邊形，，CE是的中線，，四邊形是菱形；（2）如圖，連接，，，，在中，，四邊形是菱形，，，，四邊形是平行四邊形，，菱形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21.閱讀下列材料：求函數(shù)的最大值．解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得．∵x為實(shí)數(shù)，∴△＝＝﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值為4．根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)的最小值．【答案】【解析】【分析】根據(jù)材料內(nèi)容，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)換為，繼而根據(jù)△≥0，即可得出y的最小值．【詳解】解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得，∵x為實(shí)數(shù)，∴，∴，因此y的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解材料中的解題方法和思路是解題的關(guān)鍵．22.綜合與實(shí)踐：如圖1，已知△ABC，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想在圖1中，線段PM與QM的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究證明當(dāng)∠BAC=60°，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，判斷△PMQ的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸當(dāng)∠BAC=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，再連接BE，再取BE的中點(diǎn)N，把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，①請(qǐng)你判斷四邊形PMQN的形狀，并說(shuō)明理由；②請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形PMQN面積的最大值．【答案】（1）PM=MQ，理由見(jiàn)解析；（2）△PQM是等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（3）①四邊形PMQN是正方形，理由見(jiàn)解析；②正方形PMQN的面積的最大值為．【解析】【分析】（1）首先證明BD=CE，再利用三角形中位線定理解決問(wèn)題即可；（2）結(jié)論：△PQM是等腰三角形．連接EC，BD．利用全等三角形的性質(zhì)證明BD=EC，再利用三角形的中位線定理解決問(wèn)題即可；（3）①結(jié)論：四邊形PMQN是正方形．連接BD，EC，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)O．證明△DAB≌△EAC（SAS），推出BD=CE，∠