廣東省深圳市深圳實驗學校中學部2021-2022學年九年級上學期12月月考數學試題（解析版）

深圳實驗學校中學部初三數學月考（12月）一、選擇題（共10小題）1.下列光線所形成的投影不是中心投影的是（）A.太陽光線 B.臺燈的光線 C.手電筒的光線 D.路燈的光線【答案】A【解析】【分析】利用中心投影(光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影)和平行投影(由平行光線形成的投影是平行投影)的定義即可判斷出．【詳解】解：A．太陽距離地球很遠，我們認為是平行光線，因此不是中心投影．

B．臺燈的光線是由臺燈光源發(fā)出的光線，是中心投影；

C．手電筒的光線是由手電筒光源發(fā)出的光線，是中心投影；

D．路燈的光線是由路燈光源發(fā)出的光線，是中心投影．

所以，只有A不是中心投影．

故選：A．【點睛】本題考查了中心投影和平行投影的定義．熟記定義，并理解一般情況下，太陽光線可以近似的看成平行光線是解決此題的關鍵．2.大自然是美設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），則下列結論中正確的是（）A.AB2＝AP2+BP2 B.BP2＝AP?BAC D.【答案】D【解析】【分析】根據黃金分割的定義分別進行判斷．【詳解】解：P為AB的黃金分割點（AP＞PB）可得AP2＝AB?PB或．故選：D．點睛】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中ACAB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．3.如圖，在△ABC中，D，E，F分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值為（）A.4：3 B.3：7 C.3：4 D.2：4【答案】A【解析】【分析】根據平分線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解本題的關鍵．4.如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則點的對應點的坐標是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據位似變換的性質計算即可.【詳解】解：點，，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則點的對應點的坐標是或，即或.故選D.【點睛】本題考查位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.5.四邊形具有不穩(wěn)定性，對于四條邊長確定的四邊形，當內角度數發(fā)生變化時，其形狀也會隨之改變．如圖，改變邊長為2的正方形的內角，變?yōu)榱庑?，若，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用勾股定理先求C′E，再求BE，最后求梯形D′EBA面積，最后求陰影部分的面積．【詳解】解：設BC與C′D′交點為E，∵在正方形ABCD和菱形，ABC′D′中，∴C′D′=C′B=AB=2，∴BE⊥C′D′，∵∠C′＝∠D′AB＝45°，∴C′E＝BE，設C′E=BC=x，則在Rt△C′EB中，解得：，∴C′E=BC∴D′E＝C′D′-C′E=2?，∴梯形D′EBA面積為：S′＝（D′E＋AB）×BE×＝2?1，陰影面積為：S＝?S′＝2×2?（2?1）＝5?2．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的面積，掌握求陰影部分的面積化為面積之差，勾股定理、梯形面積的應用是解決此題的關鍵．6.在△ABC中，點E在AC上，且，F為BE中點，AF的延長線交BC于D，則＝（）A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3【答案】B【解析】【分析】過E點作EH∥BC交AD于H，如圖，由HE∥BD得到=1，則BD=EH，由HE∥CD得到得到CD=3HE，從而可得到的值．【詳解】解：過E點作EH∥BC交AD于H，如圖，∵F為BE中點，∴EF=BF，∵HE∥BD，∴=1，即BD=EH，∵HE∥CD，∴，∵，∴，∴，即CD=3HE，∴．故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．作EH∥BC是解決問題的關鍵．7.正比例函數y＝2x與反比例函數的圖象有一個交點為（1，2)，則另一個交點的坐標為（）A.（-1，-2） B.（-1，2） C.（1，-2） D.（1，2）【答案】A【解析】【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征，正比例函數與反比例函數的兩交點坐標關于原點對稱，由此求解即可．【詳解】解：∵反比例函數是中心對稱圖形，正比例函數與反比例函數的圖象的兩個交點關于原點對稱，∵一個交點的坐標為(1，2)，∴它的另一個交點的坐標是(?1，?2)，故選A．【點睛】考查反比例函數圖象上點的對稱性，掌握正比例函數與反比例函數的圖象的兩個交點關于原點對稱是解題的關鍵．8.如圖，線段AB表示一信號塔，DE表示一斜坡，DC⊥CE．且B、C、E三點在同一水平線上，點A、B、C、D、E在同一平面內，斜坡DE的坡比為1：2，CE＝72米．某人站在坡頂D處測得塔頂A點的仰角為37°，站在坡底C處測得塔頂A點的仰角為48°（人的身高忽略不計），則信號塔的高度AB為（）（結果精確到1米）（參考數據：sin37°，tan37°，sin48°，tan48°）A.77 B.62 C.109 D.113【答案】D【解析】【分析】作DF⊥AB于點F，則AB=AF+FB,FB=DC,解直角三角形ADF求AF,利用坡比求DC即可【詳解】作DF⊥AB于點F，∵斜坡DE的坡比為1：2，CE＝72米，∴，∴CD＝36米，∵DC⊥BC，FB⊥BC，DF⊥AB，∴四邊形BCDF是矩形，∴DC＝BF＝36米，BC＝DF，∵∠ADF＝37°，∠ACB＝48°，tan∠ADF，tan∠ACB，tan37°，tan48°，∴，，解得AF≈77，∴AB＝AF+BF＝77+36＝113（米），故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,坡比的應用,準確構造高線，把非直角三角形化為直角三角形求解是解題的關鍵．9.如圖所示的是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點是（﹣1，0），有以下結論：①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③c＝﹣6a；④若頂點的縱坐標為﹣1，則關于x的方程ax2+bx+c+1＝0有兩個相等的實數根．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據拋物線的圖象，數形結合，逐一解析判斷，即可解決問題．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正確．由圖象知：當x＝﹣2時，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故②錯誤；∵拋物線的對稱軸為x＝2，∴﹣＝2，b＝﹣4a，∵x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，故③錯誤；∵頂點的縱坐標為﹣1，∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1有一個交點，∴關于x的方程ax2+bx+c+1＝0有兩個相等的實數根．故④正確；綜上所述①④正確．故選：B．【點睛】該題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，拋物線與x軸的交點問題；靈活運用有關知識來分析是解題關鍵．10.如圖，正方形中，，點E在邊上，且．將沿對折至，延長交于點G，連結．下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】①首先由折疊的性質得到AD=AF，然后根據HL判定三角形全等的方法證明即可；②根據正方形的性質得到AB=CD=6，然后根據求出CE和DE的長度，設出GF=BG=x，在△GEC中根據勾股定理列方程求出GF和GC的長度即可求解；③根據得出∠BGA=∠FGA，根據得出∠GFC=∠GCF，然后根據三角形外角的性質證明出∠FGA=∠GFC，即可證明出；④連接BF，作FH⊥BC于點H，根據△GHF∽△GCE求出FH的長度，然后根據三角形面積公式求解即可．【詳解】∵將沿對折至，∴AD=AF，∠D=∠AFE=90°，∴∠AFG=90°，∴△AFG是直角三角形，又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴AB=AF，∴在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴，∴①正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6，又∵，∴DE=2，CE=4，∵沿對折至，∴EF=DE=2，由①可知，∴BG=FG，∴設BG=GF=x，則GC=6-x，GE=x+2，∴在Rt△GEC中，，代入可得：，解得：，∴BG=GF=3，GC=BC-BG=6-3=3．∴FG=CG．∴②正確；由②可知，FG=CG，∴∠GFC=∠GCF，又∵，∴∠BGA=∠FGA，又∵∠BGF=∠GCF+∠GFC，∴∠FGA=∠GFC，∴，∴③正確；如圖所示，連接BF，作FH⊥BC于點H，∵CD⊥BC，FH⊥BC，∴FHCD，∴可得△GHF∽△GCE，∴，代入得：，解得：，∴S△BFC=，∴④正確；故選：D．【點睛】此題考查了折疊的性質，正方形的性質，勾股定理的運用，三角形全等的證明等知識，解題的關鍵是根據折疊的性質得到AD=AF，ED=EF然后繼續(xù)求解．二．填空題（共5小題）11.已知二次函數y＝3（x+1）2﹣m的圖象上有三點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1，y2，y3的大小關系為__．【答案】y3＜y1＜y2【解析】【分析】根據函數解析式的特點為頂點式，其對稱軸為x=-1，圖象開口向上；在對稱軸右邊，利用y隨x的增大而增大，可判斷y1＜y2，，根據二次函數圖象的對稱性可得，y3的值等于當x=0時的函數值可判斷y1＞y3；于是得出答案．【詳解】解：由二次函數y＝3（x+1）2﹣m可知，對稱軸為x＝﹣1，開口向上，∴可知，A（1，y1），B（2，y2）兩點在對稱軸右邊，∵二次函數在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，1＜2∴y1＜y2，由拋物線的對稱性可知y3的值等于當x=0時的函數值，∵0＜1，∴y1＞y3，∴y3＜y1＜y2．故答案為：y3＜y1＜y2．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟知二次函數的對稱性和增減性是解題關鍵．12.在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，AD＝3，BD＝2，則CD的長為__．【答案】####【解析】【分析】先證明∠B＝∠DAC，再證明△ADB∽△CDA，再利用相似三角形的性質列方程，解方程可得答案.【詳解】解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAC，∵∠ADB＝∠CDA＝90°，∴△ADB∽△CDA，∴，AD＝3，BD＝2，，解得：CD＝，經檢驗符合題意；故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，掌握“兩個角對應相等的兩個三角形相似”是解題的關鍵.13.將拋物線y＝﹣x2+2向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線的解析式為______________．【答案】【解析】【分析】根據“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律寫出平移拋物線解析式．【詳解】將拋物線y＝﹣x2+2向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得到的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．故答案為：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．【點睛】主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數解析式．14.如圖，在平面直角坐標系中，A是反比例函數y＝（k＞0，x＞0）圖象上一點，B是y軸正半軸上一點，以OA、AB為鄰邊作?ABCO．若點C及BC中點D都在反比例函數y＝﹣（x＜0）圖象上，則k的值為____________【答案】8【解析】【分析】設點C坐標為（a，﹣），點A（x，y），根據中點坐標公式以及點在反比例函數y＝﹣上，求得的坐標，進而求得的坐標，根據平行四邊形的性質對角線互相平分，再根據中點坐標公式列出方程，進而求得的坐標，根據待定系數法即可求得的值【詳解】解：設點C坐標為（a，﹣），點A（x，y），∵點D是BC的中點，∴點D的橫坐標為，∴點D坐標為（，﹣），∴點B的坐標為（0，﹣），∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AC與BO互相平分，∴，，∴x＝﹣a，y＝﹣，∴點A（﹣a，﹣），∴k＝（﹣a）×（﹣）＝8，故答案為：8【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，反比例函數的性質，中點坐標公式，利用平行四邊形的對角線互相平分求得點的坐標是解題的關鍵．15.如圖，在平面直角坐標系中拋物線y＝x2﹣3x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是對稱軸右側拋物線上一點，且tan∠DCB＝3，則點D的坐標為_____．【答案】（）【解析】【分析】根據拋物線y＝x2﹣3x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，得A（1，0），B（2，0），C（0，2），過點B作BM⊥BC交CD延長線于點M，過點M作MG⊥x軸于點G，易證等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M（8，6），再求得直線CM的解析式為y＝+2，聯(lián)立直線和拋物線，解方程組即可得點D的坐標．【詳解】解：∵拋物線y＝x2﹣3x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），∴OB＝OC∴∠OBC＝45°，如圖，過點B作BM⊥BC交CD延長線于點M，過點M作MG⊥x軸于點G，∴∠COB＝∠MGB＝90°∴∠CBO+∠MBG＝90°∴∠MBG＝45°∴MG＝BG∴等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM∴＝∵tan∠DCB＝＝3∴∴BG＝6∴MG＝6∴M（8，6）設直線CM解析式為y＝kx+b，把C（0，2），M（8，6）代入，解得k＝，b＝2所以直線CM解析式為y＝+2聯(lián)立解得，∴D（）故答案為（）．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征、解直角三角形，解決本題的關鍵是掌握二次函數的性質．三．解答題（共20小題）16.（1）2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．（2）2sin30°+（π﹣3.14）0+|1﹣|﹣（﹣1）2018．【答案】（1）4﹣；（2）【解析】【分析】（1）先將特殊三角函數值代入，再進行二次根式的乘法，最后合并同類項即可；（2）先將特殊三角函數值代入，同時計算零指數冪，絕對值化簡，乘方，再合并同類項即可．【詳解】解：（1）2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．=，=，=；（2）2sin30°+（π﹣3.14）0+|1﹣|﹣（﹣1）2018，＝，＝，＝．【點睛】本題考查特殊三角函數值，零指數冪，絕對值化簡，二次根式的混合運算，掌握特殊三角函數值，零指數冪，絕對值化簡，二次根式的混合運算是解題關鍵．17.今年5月，某大型商業(yè)集團隨機抽取所屬的部分商業(yè)連鎖店進行評估，將抽取的格商業(yè)連鎖店按照評估成績分成了A、B、C、D四個等級，并繪制了如圖不完整的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）本次評估隨機抽取了家商業(yè)連鎖店；（2）請補充完整扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖，并在圖中標注相應數據；（3）從A、B兩個等級的商業(yè)連鎖店中任選2家介紹營銷經驗，請用列表或畫樹狀圖的方法求其中至少有一家是A等級的概率．【答案】（1）25（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據A級的店數和所占的百分比求出總店數；（2）求出B級的店數所占的百分比，補全圖形即可；（3）畫出樹狀圖，由概率公式即可得出答案．【詳解】（1）2÷8%＝25（家），即本次評估隨機抽取了25家商業(yè)連鎖店故答案為：25；（2）25?2?15?6＝2，2÷25×100%＝8%，補全扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖，如圖所示：（3）畫樹狀圖，共有12個可能的結果，至少有一家是A等級的結果有10個，∴P（至少有一家是A等級）＝＝．【點睛】本題考查的列表法和樹狀圖法、概率公式、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?8.某學校教學樓（甲樓）頂部E和大門A之間掛了一些彩旗．小穎測得大門A距甲樓的距離AB是31cm，在A處測得甲樓頂部E處的仰角是31°．（1）求甲樓的高度及彩旗的長度；（精確到0.01m）（2）若小穎在甲樓樓底C處測得學校后面醫(yī)院樓（乙樓）樓頂G處的仰角為40°，爬到甲樓樓頂F處測得乙樓樓頂G處的仰角為19°，求乙樓的高度及甲乙兩樓之間的距離．（精確到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】（1）甲樓的高度為18.60m，彩旗的長度為36.05m；（2）乙樓的高度為31.25m，甲乙兩樓之間的距離為37.20m．【解析】【詳解】試題分析：（1）在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數定義求出AE與BE的長即可；（2）過點F作FM⊥GD，交GD于M，在直角三角形GMF中，利用銳角三角函數定義表示出GM與GD，設甲乙兩樓之間的距離為xm，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果．試題解析：解：（1）在Rt△ABE中，BE=AB?tan31°=31tan31°≈18.60，AE==≈36.05，則甲樓的高度為18.60m，彩旗的長度為36.05m；（2）過點F作FM⊥GD，交GD于M，在Rt△GMF中，GM=FM?tan19°，在Rt△GDC中，DG=CD?tan40°，設甲乙兩樓之間的距離為xm，FM=CD=x，根據題意得：xtan40°﹣xtan19°=18.60，解得：x=37.20，則乙樓的高度為31.25m，甲乙兩樓之間的距離為37.20m．點睛：此題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握直角三角形的性質是解本題的關鍵．19.如圖，已知雙曲線y＝與直線y＝mx+5都經過點A（1，4）．（1）求雙曲線和直線的表達式；（2）將直線y＝mx+5沿y軸向下平移n個單位長度，使平移后的圖象與雙曲線y＝有且只有一個交點，求n的值．【答案】（1）雙曲線的表達式是：y＝，直線的表達式是y＝﹣x+5；（2）n＝1或9【解析】【分析】（1）把點A的坐標分別代入可得兩個表達式；（2）設向下平移后的表達式為：y＝mx＋5?n，聯(lián)立方程組可得n的值．【詳解】解：（1）把A（1，4）代入y＝得k＝4，把A（1，4）代入y＝mx+5得m＝﹣1，∴雙曲線的表達式是：y＝，直線的表達式是y＝﹣x+5；（2）設平移后直線的表達式為：y＝﹣x+5﹣n，聯(lián)立反比例表達式為，得到∴當有且只有一個交點時，Δ＝0，即△＝（5﹣n）2﹣16＝0，解得n＝1或9．【點睛】本題考查反比例函數、一次函數圖象上點的坐標特征，把點的坐標代入是常用方法．20.已知：如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在邊的延長線上，且，連接．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據平行四邊形的判定即可得到結論；

（2）根據等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結論.【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，

∴△BDE∽△DCE，

∴，

∴BD?CE=CD?DE．21.已知某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售的單價每降低1元，每天就多賣5件，但要求銷售單價不得低于成本．（1）設降價x元，求出每天的銷售利潤y（元）與x（元）之間的函數關系式；（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元時，那么銷售單價應控制在什么范圍內？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）【答案】（1）；（2）銷售單價為80元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4500元；（3）銷售單價應該控制在82元至90元之間【解析】【分析】（1）根據“利潤（售價成本）銷售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函數解析式轉化為頂點式方程，利用二次函數圖象的性質進行解答；（3）每天的銷售利潤不低于4000元，根據二次函數與不等式的關系求出的取值范圍，再根據每天的總成本不超過7000元，以及，列不等式組即可．【詳解】解：（1）由題意得：，，，所以；（2），，拋物線開口向下．，對稱軸是直線，當時，即銷售單價是80元，每天的銷售利潤最大，最大利潤是；即銷售單價為80元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是4500元；（3）當時，，解得：，，當時，即銷售單價在，每天的銷售利潤不低于4000元，由每天的總成本不超過7000元，得，解得：，，，銷售單價應該控制在82元至90元之間．【點睛】本題主要考查二次函數的實際應用，解題的關鍵是弄清題意，列出相應等式，借助二次函數解決實際問題．22.如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點A（﹣2，0）和B兩點，點C（6，4）在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，D為y軸左側拋物線上一點，且∠DCA＝2∠CAB，求點D的坐標；（3）如圖2，直線y＝mx+n與拋物線交于點E、F，連接CE、CF分別交y軸于點M、N，若OM?ON＝3．求證：直線EF經過定點，并求出這個定點的