2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試題選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A=x∈Zx≤2，B=x∣x≤a，若A∩BA．[?2,?1] B．[?2,?1) C．(?1,0) D．[?1,0]2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1+i)4A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.在△ABC中，“C>π3”是“sinC>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a4?a10A．210 B．211 C．115.函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的圖象在區(qū)間(A．(π6,2π3] B．6．若，則（

）A．40 B．41 C． D．7.若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy，且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．?1<m<4 B．?4<m<1C．m<?4或m>1 D．m<?3或m>08.已知函數(shù)fx是定義域為R的函數(shù)，f2+x+f?x=0，對任意x1，x2∈1,+∞x1<x2，均有fxA．?2,2 B．?2,0 C．0,1 D．1,2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中，正確的是（

）A．某組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗回歸方程一定過點B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，19，的分位數(shù)是C．甲、乙、丙三種個體按1：2：3的比例分層抽樣，如果抽取的乙個體數(shù)為6，則樣本容量為18D．若一組數(shù)據(jù)的方差為16，則另一組數(shù)據(jù)的方差為410.已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別是A．a(chǎn)2B．bcC．若△ABC為銳角三角形，則cbD．若a=26，b=311.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列結(jié)論正確的是()A.的第2項小于3；

B.為等比數(shù)列；C.為遞減數(shù)列；

D.中存在小于的項．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某大學(xué)5名師范生到甲、乙、丙三所高中實習(xí)，每名同學(xué)只能到1所學(xué)校，每所學(xué)校至多接收2名同學(xué).若同學(xué)A確定到甲學(xué)校，則不同的安排方法共有種.13.在邊長為2的菱形ABCD中，M，N分別為BC，CD的中點，AM?AB＝514.定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，則的對稱中心為；若，則數(shù)列的通項公式為．四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，角所對的邊分別為a,b,c，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．16．已知是正項遞增的等比數(shù)列，且，．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，且．(1)分別求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列前n項和．17.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，△是邊長為的正三角形，，與平面所成角為45°．(1)證明：平面；(2)若點為中點，點為棱上一點，且滿足，是否存在使得平面與平面夾角余弦為，若存在求出值，存不存在請說明理由．18．已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)在點處的切線；(2)若對任意的，，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(單位：分)，繪制了頻率直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ≈14.初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)；(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為a，第三道題答對的概率為b.若他獲得一等獎的概率為eq\f(1,8)，設(shè)他獲得二等獎的概率為P，求P的最小值．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997.答案一、單選題1.已知集合A=x∈Zx≤2，B=x∣x≤aA．[?2,?1] B．[?2,?1) C．(?1,0) D．[?1,0]【正確答案】B2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】B3.在△ABC中，“C>π3”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B4.設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a4?A．210 B．211 C．11【正確答案】C5.函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)A．(π6,2π3] B．【正確答案】C6．若，則（

）A．40 B．41 C． D．【正確答案】B7.若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy，且存在這樣的x，y使不等式x+y4<A．?1<m<4 B．?4<m<1C．m<?4或m>1 D．m<?3或m>0【正確答案】C8.已知函數(shù)fx是定義域為R的函數(shù)，f2+x+f?x=0，對任意x1，x2∈1,+∞x1<x2，均有A．?2,2 B．?2,0 C．0,1 D．1,2【正確答案】D由f2+x+f?x=0，得f1由對任意x1，x2∈可知函數(shù)fx在1,+又因為函數(shù)fx的定義域為R所以函數(shù)fx在R因為a，ba≠b為關(guān)于x的方程x2所以Δ=4?4t2且a+b=2，即b=2?a．又f2+x令x=?a，則fa則由fa+fb所以t>1．綜上，t的取值范圍是1,2．故選：D．二、多選題9.下列說法中，正確的是（

）A．某組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗回歸方程一定過點B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，19，的分位數(shù)是C．甲、乙、丙三種個體按1：2：3的比例分層抽樣，如果抽取的乙個體數(shù)為6，則樣本容量為18D．若一組數(shù)據(jù)的方差為16，則另一組數(shù)據(jù)的方差為4【正確答案】ACD10.已知△ABC內(nèi)角A、B、A．a(chǎn)B．bcC．若△ABC為銳角三角形，則cD．若a=26，b=3【正確答案】BCD由A=2B，得sinA=由正弦定理得a=2bcosB，由余弦定理得則c?ba當(dāng)b≠c時，a2?b當(dāng)b=c時，B=C，又A=2B，所以A=90所以a=2b，所以所以a2=bb+c由a2=bb+c當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，故選項B正確；在△ABC中，sinB≠0，由正弦定理，c=2若△ABC為銳角三角形，又A=2B，則B∈0，π4，C=π?3B<所以B∈π6，π4所以4cos2B?1∈在△ABC中，由正弦定理asin又A=2B，a=26，b=3得3sinB由余弦定理，b2得9=24+c整理得c2?8c+15=0，解得c=5，或當(dāng)c=3時，有C=B，又A=2B，所以B=C=45因為b2+c2≠故選：BCD．11.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列結(jié)論正確的是()A.的第2項小于3；

B.為等比數(shù)列；C.為遞減數(shù)列；

D.中存在小于的項．【正確答案】ACD三、填空題12.某大學(xué)5名師范生到甲、乙、丙三所高中實習(xí)，每名同學(xué)只能到1所學(xué)校，每所學(xué)校至多接收2名同學(xué).若同學(xué)A確定到甲學(xué)校，則不同的安排方法共有種.【正確答案】3013.在邊長為2的菱形ABCD中，M，N分別為BC，CD的中點，AM?AB＝5【正確答案】13因為邊長為2的菱形ABCD中，M，N分別為BC，CD的中點，所以AM＝AB+因為AM?AB＝5所以AB?AD＝12故13214．定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，則的對稱中心為；若，則數(shù)列的通項公式為．【正確答案】四、解答題15．在中，角所對的邊分別為a,b,c，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：因為為三角形內(nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因為，則（3）法一：因為，且B∈0,π，所以，由（2）法一知，因為，則，所以，則，.法二：，則，因為為三角形內(nèi)角，所以，所以16．已知是正項遞增的等比數(shù)列，且，．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，且．(1)分別求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列前n項和．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）應(yīng)用等比數(shù)列通項公式建立方程組可解出，利用待定系數(shù)法可求出；（2）應(yīng)用等比數(shù)列求和公式與裂項相消方法可求出.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且有，由于解得所以數(shù)列的通項公式為．由于是等差數(shù)列，設(shè)，則有，所以,解得所以數(shù)列的通項公式為．（2）解：由（1）知，，所以．17．已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)在點處的切線；(2)若對任意的，，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）求導(dǎo)，可得切點處的斜率，即可由點斜式求解直線方程，（2）將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，分離參數(shù)即可求解，或者利用分類討論，求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解.【詳解】（1），當(dāng)，時，，，故切線方程為：,即；（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以在0,+∞單調(diào)遞增，所以.①若，恒成立，符合題意.②若，則恒成立.令，則，令，則，所以Fx在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以.③若，同理，恒成立，由②可知，當(dāng)時，，所以不存在滿足條件的.綜上所述，.法二：，令，則只需在0,+∞單調(diào)遞增，即恒成立；，令，則恒成立；又，①當(dāng)時，，?x在0,+∞單調(diào)遞增成立；②當(dāng)時，?′x>0，?x又當(dāng)時，，故不恒成立，不滿足題意；③當(dāng)時，由?′x>0得則?x在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為恒成立，所以，解得，故；綜上，實數(shù)的取值范圍是.18.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，△是邊長為的正三角形，，與平面所成角為45°．(1)證明：平面；(2)若點為中點，點為棱上一點，且滿足，是否存在使得平面與平面夾角余弦為，若存在求出值，存不存在請說明理由．【正確答案】(1)證明見解析；(2)存在，或【知識點】證明線面垂直、面面垂直證線面垂直、空間垂直的轉(zhuǎn)化、已知面面角求其他量【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法的二面角公式求解即可.【詳解】（1）取中點，連結(jié)，∵△為正三角形，∴，∵側(cè)面底面,平面，平面平面，∴面，∵與平面所成角為45°，∴即為與平面所成角，即°，∵∴，∴即，∵側(cè)面底面，平面，平面平面，∴平面.（2）由（1）可得、且，連接DE，則由題，所以，，所以兩兩垂直，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，，∴，，,，設(shè)平面法向量，平面法向量，則，即，令，解得，即，，即，令，解得，即，∴，即，解得或，∴存在或使得平面與平面夾角余弦為.19.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(單位：分)，繪制了頻率直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ≈14.初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)；(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為a，第三道題答對的概率為b.若他獲得一等獎的概率為eq\f(1,8)，設(shè)他獲得二等獎的概率為P，求P的最小值．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997.解(1)設(shè)樣本平均數(shù)的估計值為eq\x\to(x)，則eq\x\to(x)＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62，所以樣本平均數(shù)的估計值為62.(2)因為學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14.所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈eq\f(1,2)×(1－0.954)＝0.023.所以估計能參加復(fù)試的人數(shù)為0．023×8000＝184.(3)由該學(xué)生獲一等獎的概率為eq\f(1,8)可知，a2b＝eq\f(1,8)，則P＝a2(1－b)＋Ceq\o\al(1,2)a(1－a)b＝a2＋2ab－eq\f(3,8)＝a2＋eq\f(1,4a)－eq\f(3,8).令P＝f(a)＝a2＋eq\f(1,4a)－eq\f(3,8)，0<a<1，則f′(a)＝2a－eq\f(1,4a2)＝eq\f(8a3－1,4a2)＝eq