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2025屆山西平遙縣和誠(chéng)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)()在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上,則等于()A. B. C. D.2.已知四棱錐中,平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.4.已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,設(shè),,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球,分別寫(xiě)有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字,有放回地從中任意摸出一個(gè)小球,直到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間(含1和4)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù):141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計(jì),恰好第三次就停止摸球的概率為()A. B. C. D.6.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.8.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.69.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.210.已知,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.11.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.12.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則________.14.已知函數(shù),若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.15.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2,則16.已知,為虛數(shù)單位,且,則=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;(3)設(shè),求證:.18.(12分)車(chē)工劉師傅利用數(shù)控車(chē)床為某公司加工一種高科技易損零件,對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:加工1個(gè)零件用時(shí)(分鐘)20253035頻數(shù)(個(gè))15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座,用時(shí)40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘的概率.19.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),求兩交點(diǎn)間的距離.20.(12分)已知.(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:.22.(10分)已知曲線:和:(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)與,軸交于,兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為.若射線與,交于,兩點(diǎn),求,兩點(diǎn)間的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意得,可求得,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,解得,所以,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點(diǎn),.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時(shí),退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時(shí)滿足輸出結(jié)果,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用,建議數(shù)據(jù)比較小時(shí),可以一步一步的書(shū)寫(xiě),防止錯(cuò)誤,是一道容易題.4、A【解析】
根據(jù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)可知關(guān)于對(duì)稱(chēng),從而得到在上單調(diào)遞增且;再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)時(shí),單調(diào)遞減時(shí),單調(diào)遞增又且,即本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)奇偶性和對(duì)稱(chēng)性得到函數(shù)的單調(diào)性,通過(guò)自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.5、A【解析】
由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況,用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1,2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球,則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種:142,112,241,142,412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解:因?yàn)?,由等差?shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項(xiàng)和,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如.7、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?,所以不合題意;選項(xiàng),計(jì)算,不符合函數(shù)圖象;對(duì)于選項(xiàng),與函數(shù)圖象不一致;選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見(jiàn)方法為排除法.8、C【解析】
根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
利用特殊值代入法,作差法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng).【詳解】已知,賦值法討論的情況:(1)當(dāng)時(shí),令,,則,,排除B、C選項(xiàng);(2)當(dāng)時(shí),令,,則,排除A選項(xiàng).故選:D.【點(diǎn)睛】比較大小通常采用作差法,本題主要考查不等式與不等關(guān)系,不等式的基本性質(zhì),利用特殊值代入法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng),是一種簡(jiǎn)單有效的方法,屬于中等題.11、A【解析】
利用計(jì)算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計(jì)算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.12、D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過(guò)給二項(xiàng)式的賦值,求展開(kāi)式的系數(shù)和,可以簡(jiǎn)便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì),然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式,求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,很明顯,且存在唯一的實(shí)數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),即方程有6個(gè)根,也就是有6個(gè)根,即與有6個(gè)不同交點(diǎn),注意到函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),繪制函數(shù)的圖像如圖所示,觀察可得:,即.綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).16、4【解析】
解:利用復(fù)數(shù)相等,可知由有.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)為減函數(shù),為增函數(shù).(3)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),求出切線方程,令得切線的縱截距,可得(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性;(3)不等式變形為,由遞減,得(),即,即,依次放縮,.不等式,遞增得(),,,,先證,然后同樣放縮得出結(jié)論.【詳解】解:(1)對(duì)求導(dǎo),得.因此.又因?yàn)?,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.由題意,.顯然,適合上式.令,求導(dǎo)得,因此為增函數(shù):故是唯一解.(2)由(1)可知,,因?yàn)?,所以為減函數(shù).因?yàn)?,所以為增函?shù).(3)證明:由,易得.由(2)可知,在上為減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.令,得,即.因此,當(dāng)時(shí),.所以成立.下面證明:.由(2)可知,在上為增函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.因此,即.令,得,即.當(dāng)時(shí),.因?yàn)?,所以,所?所以,當(dāng)時(shí),.所以,當(dāng)時(shí),成立.綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力,把不等式變形后利用第(2)小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系:,.這是最關(guān)鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.18、(1)分布列見(jiàn)解析,;(2)0.8575【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列,并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.(2)根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出劉師傅講座及加工個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率.【詳解】(1)的分布列如下:202530350.150.300.400.15.(2)設(shè),分別表示講座前、講座后加工該零件所需時(shí)間,事件表示“留師傅講座及加工兩個(gè)零件示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘”,則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查對(duì)立事件概率計(jì)算,考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算,屬于中檔題.19、(1)表示一條直線,是圓心為,半徑為的圓;(2).【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,進(jìn)而可判斷出曲線的形狀,在曲線的方程兩邊同時(shí)乘以得,由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,由此可判斷出曲線的形狀;(2)由直線過(guò)圓的圓心,可得出為圓的一條直徑,進(jìn)而可得出.【詳解】(1),則曲線的普通方程為,曲線表示一條直線;由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.所以,曲線是圓心為,半徑為的圓;(2)由(1)知,點(diǎn)在直線上,直線過(guò)圓的圓心.因此,是圓的直徑,.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)答案不唯一,具體見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)分離出參數(shù)后,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決,注意函數(shù)定義域.【詳解】(1)由得或①當(dāng)時(shí),由,得.由,得或此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和.②當(dāng)時(shí),由,得由,得或此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)依題意,不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立,可得,在上恒成立,設(shè),則令,得,(舍)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),當(dāng)變化時(shí),,變化情況如下表:10單調(diào)遞增單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí),取得最大值,,∴.∴的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點(diǎn)的情況,即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點(diǎn)定義可知,,代入不等式化簡(jiǎn)變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳
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