上海市虹口區(qū)市級(jí)名校2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

上海市虹口區(qū)市級(jí)名校2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．3．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則4．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．復(fù)數(shù)的模為（）．A． B．1 C．2 D．7．已知，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，過點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．9．若函數(shù)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，平面四邊形中，，，，，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等腰直角三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，，，，，則面積為______.14．在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________________.15．如圖，從一個(gè)邊長為的正三角形紙片的三個(gè)角上，沿圖中虛線剪出三個(gè)全等的四邊形，余下部分再以虛線為折痕折起，恰好圍成一個(gè)缺少上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底，則所得正三棱柱的體積為______.16．中，角的對(duì)邊分別為，且成等差數(shù)列，若，，則的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計(jì)：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.18．（12分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無論實(shí)數(shù)取何值，直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．19．（12分）如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.（1）為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦.20．（12分）如圖，點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.21．（12分）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，點(diǎn)滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.22．（10分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義，復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】試題分析：，,故選D.考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.4、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，因?yàn)?，為增函?shù)，所以所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.5、B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】解：，復(fù)數(shù)的模為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

由題意得，即可得點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.8、C【解析】∵集合，，∴點(diǎn)睛：本題是道易錯(cuò)題，看清所問問題求并集而不是交集.9、C【解析】

轉(zhuǎn)化有1個(gè)零點(diǎn)為與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時(shí)的斜率，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)．記，則過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過原點(diǎn)，即，將，代入解得．所以切線斜率為，所以或．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.10、C【解析】

由題意可得面，可知，因?yàn)?，則面，于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)，進(jìn)而算出，外接球半徑為1，得出結(jié)果.【詳解】解：由，翻折后得到，又，則面，可知．又因?yàn)椋瑒t面，于是，因此三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)．計(jì)算可知，則外接球半徑為1，從而外接球表面積為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)，屬于中檔題．11、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時(shí)，得，解得；當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題12、A【解析】

由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用余弦定理計(jì)算，然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)由題可知：由，，，所以化簡可得：則或，即或由，所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，仔細(xì)觀察，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用展開式各項(xiàng)系數(shù)之和求得的值，由此寫出展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，得，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，涉及二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

由題意得正三棱柱底面邊長6，高為，由此能求出所得正三棱柱的體積．【詳解】如圖，作，交于，，由題意得正三棱柱底面邊長，高為，所得正三棱柱的體積為：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意翻折前后的不變量．16、.【解析】

由A，B，C成等差數(shù)列得出B＝60°，利用正弦定理得進(jìn)而得代入三角形的面積公式即可得出．【詳解】∵A，B，C成等差數(shù)列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計(jì)10個(gè)，故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當(dāng)千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見解析，（2）函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】所以直線方程為即，恒過點(diǎn)將代入直線方程，得考慮方程即，等價(jià)于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理，屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出，然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值；（2）取中點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作，則，作于，連接，推導(dǎo)出，，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計(jì)算出、，并證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，在梯形中，，則，，，，所以，；（2）取中點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作，則，作于，連接.為的中點(diǎn)，且，，且，所以，四邊形為平行四邊形，由于，，，，，，，為的中點(diǎn)，所以，，，同理，，，，平面，，，，為面與面所成的銳二面角，，，，，則，，，平面，平面，，，，面，為與底面所成的角，，，.在中，.因此，與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面平行的性質(zhì)求參數(shù)，同時(shí)也考查了線面角的計(jì)算，涉及利用二面角求線段長度，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）（2）不存在；詳見解析【解析】

（1）設(shè)，，，通過，即為的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解，點(diǎn)的軌跡的方程．（2）設(shè)直線的方程為，先根據(jù)，可得，①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點(diǎn)在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決【詳解】（1）設(shè)，，則，，由題意知，所以為中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，又點(diǎn)在圓：上，故滿足，得.曲線的方程.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，故，即①，?lián)立，消去得：，設(shè)，，，，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，點(diǎn)在橢圓上，故，整理得②，將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法、滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)，即可求得參數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)，，則兩式相減，可得.（*）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，.代入（*）