第15講 軸對(duì)稱圖形全章復(fù)習(xí)與測(cè)試-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第15講軸對(duì)稱圖形全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形，探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)。2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)。3.線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法。4了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。5了解等邊三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法?！净A(chǔ)知識(shí)】一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（1）軸對(duì)稱的概念：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱軸對(duì)稱；這條直線叫做對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱包含兩層含義：①有兩個(gè)圖形，且這兩個(gè)圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；②對(duì)重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對(duì)折后能夠重合．二．軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．三．軸對(duì)稱圖形（1）軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．（3）常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．四．鏡面對(duì)稱1、鏡面對(duì)稱：有時(shí)我們把軸對(duì)稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對(duì)稱，如果沿著圖形的對(duì)稱軸上放一面鏡子，那么在鏡子里所放映出來(lái)的一半正好把圖補(bǔ)成完整的（和原來(lái)的圖形一樣）．2、鏡面實(shí)質(zhì)上是無(wú)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱軸．3、關(guān)于鏡面問(wèn)題動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是最好的辦法，如手頭沒(méi)有鏡面，可以寫(xiě)在透明紙上，從反面看到的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果．五．作圖-軸對(duì)稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖，通過(guò)變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案．七．剪紙問(wèn)題一張紙經(jīng)過(guò)折和剪的過(guò)程，會(huì)形成一個(gè)軸對(duì)稱圖案．解決這類問(wèn)題要熟知軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到對(duì)稱軸．一般方法是動(dòng)手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開(kāi)即可得到正確的圖案．八．翻折變換（折疊問(wèn)題）1、翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．九角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE十線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．十一等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．十二等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．十三等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．十四等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．十五等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．十六等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．【考點(diǎn)剖析】一．角平分線的性質(zhì)（共1小題）1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，則AC的長(zhǎng)為（）A．3 B． C．4 D．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）2．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若△ABC的周長(zhǎng)為19cm，AE＝3cm，則△ACD的周長(zhǎng)為（）A．22cm B．19cm C．13cm D．7cm三．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）3．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm、9cm，則它的周長(zhǎng)為．四．等腰三角形的判定（共2小題）4．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，45．如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求證：AB＝AC；（2）若點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，求證：AH⊥AD．五．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）6．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．求證：MN＝BM+CN．六．等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）7．如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．七．等邊三角形的判定（共1小題）8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D為線段EC的中點(diǎn)，求證：△ADE是等邊三角形．八．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）9．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）求證：DC＝CF．九．含30度角的直角三角形（共1小題）10．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD，若AC＝12．（1）求證：BD⊥BC．（2）求DB的長(zhǎng)．一十．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AC＝CD＝1，求直角邊BC的長(zhǎng)．一十一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）12．觀察下圖中各組圖形，其中成軸對(duì)稱的為（只寫(xiě)序號(hào)1，2等）．一十二．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共1小題）13．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，P為這兩條直線外一點(diǎn)，連接OP．點(diǎn)P關(guān)于直線AB、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1、P2．若OP＝4，則點(diǎn)P1、P2之間的距離可能是（）A．0 B．7 C．9 D．10一十三．軸對(duì)稱圖形（共1小題）14．下列4個(gè)圖形：角、等腰三角形、平行四邊形、圓，其中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4一十四．鏡面對(duì)稱（共1小題）15．在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是．一十五．作圖-軸對(duì)稱變換（共1小題）16．如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的7×12的網(wǎng)格中，A，B均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）作線段A′B′，使A′B′與線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱；（2）連接BB′，僅用無(wú)刻度的直尺在BB′上找一點(diǎn)C，使得AC+B′C＝BB′．一十六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案（共1小題）17．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)小正方形被涂黑，再將圖中其余小正方形任意一個(gè)涂黑，使得整個(gè)圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，那么涂法共有種．一十七．剪紙問(wèn)題（共1小題）18．如圖，從△ABC的紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE．若∠1+∠2＝230°，則∠C＝（）A．230° B．130° C．50° D．110°一十八．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共1小題）19．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處．設(shè)∠BED＝x°，則能使△BED和△CDF同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為（）A．10 B．25 C．30 D．70【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）在下列四個(gè)交通標(biāo)志圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（3分）如圖，如果M點(diǎn)在∠ANB的角平分線上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的線段一定是（）A．BM B．BN C．MN D．AN4．（3分）下列圖形中，點(diǎn)P與點(diǎn)G關(guān)于直線對(duì)稱的是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，連接CE，∠B＝70°．則∠BCE的度數(shù)為（）A．55° B．50° C．40° D．35°6．（3分）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，且一邊長(zhǎng)為3，則腰長(zhǎng)為（）A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.57．（3分）到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三條中垂線的交點(diǎn)（）A．正確 B．錯(cuò)誤8．（3分）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，則下列結(jié)論中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②④二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）9．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，當(dāng)∠B＝時(shí)，△ABC是等腰三角形．10．（3分）在Rt△ABC中，斜邊上的中線長(zhǎng)為5cm，則斜邊長(zhǎng)為．11．（3分）在上學(xué)的路上，小剛從電瓶車的后視鏡里看到一輛汽車，車頂字牌上的字在平面鏡中的像是IXAT，則這輛車車頂字牌上的字實(shí)際是．12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，則∠C＝°．13．（3分）將以長(zhǎng)方形紙片如圖折疊，若∠1＝140°，則∠2＝．14．（3分）如圖，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF＝90°，從而∠ACB＝90°．設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，取AB的中點(diǎn)M，連接CM．則CM＝，理由是：．15．（3分）如圖所示，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN＝5cm，則△OEF的周長(zhǎng)cm．16．（3分）一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，三角形頂角度數(shù)．17．（3分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有個(gè)．18．（3分）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為40