2024-2025學年高中數(shù)學第2章數(shù)列2.2等差數(shù)列第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)練習新人教A版必修5

PAGEPAGE1第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)1.等差數(shù)列{an}的公差為d，則數(shù)列{can}(c為常數(shù)且c≠0)A.是公差為d的等差數(shù)列B.是公差為cd的等差數(shù)列C.不是等差數(shù)列D.以上都不對解析an＝a1＋(n－1)d，則can＝ca1＋(n－1)cd，所以can＋1－can＝cd.答案B2.在數(shù)列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，則a101的值為A.49 B.50 C.51 D解析由條件可得an＋1－an＝eq\f(1,2)，故{an}是等差數(shù)列，從而a101＝a1＋(101－1)×eq\f(1,2)＝2＋50＝52.答案D3.已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12等于A.15 B.30解析因為a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.在等差數(shù)列中，a4，a8，a12成等差數(shù)列，所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.答案A4.在等差數(shù)列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝2，則a3＋a13＝________.解析因為a1＋a15＝a4＋a12＝2a8，而a1＋a15－(a4＋a8＋a12)＝2，即2a8－3a8＝2，所以a8＝－2，所以a3＋a13＝2a8＝－4.答案－45.{an}為等差數(shù)列，若a3＋a11＝10，則a6＋a7＋a8＝________.解析因為a3＋a11＝a6＋a8＝2a7＝10，所以a6＋a7＋a8＝eq\f(3,2)(a3＋a11)＝15.答案15[限時45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1.在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為A.5 B.6 C.8 D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.答案A2.設{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于A.0 B.37 C.100 D.解析設cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{cn}也是等差數(shù)列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.所以c37＝100.答案C3.下列說法中正確的是A.若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B.若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2C.若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D.若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2解析因為a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列.答案C4.若等差數(shù)列{an}的公差為整數(shù)，首項為19，從第6項起先為負值，則公差為A.－5 B.－4 C.－3 D.－2解析設等差數(shù)列{an}的公差為d(d∈Z)，依題意得a6＝a1＋5d＝19＋5d＜0，即d＜－eq\f(19,5)；a5＝a1＋4d＝19＋4d≥0，即d≥－eq\f(19,4)，所以－eq\f(19,4)≤d＜－eq\f(19,5).又d∈Z，所以d＝－4.答案B5.在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為A.14 B.15解析∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24，a9－eq\f(1,3)a11＝a1＋8d－eq\f(1,3)a1－eq\f(10,3)d＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(14,3)d＝eq\f(2,3)(a1＋7d)＝eq\f(2,3)a8＝eq\f(2,3)×24＝16.答案C6.(實力提升)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有這樣的一道題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的eq\f(1,7)是較小的兩份之和，則最小的1份為A.eq\f(5,3) B.eq\f(5,6) C.eq\f(10,3) D.eq\f(11,6)解析設最小的一份為a1，公差為d，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝100，則a3＝20，又eq\f(1,7)(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，即eq\f(1,7)×3a4＝a1＋a2，∴eq\f(3,7)(a3＋d)＝a3－2d＋a3－d，即eq\f(3,7)(20＋d)＝40－3d，解得d＝eq\f(55,6)，∴a1＝a3－2d＝20－eq\f(55,3)＝eq\f(5,3).答案A二、填空題(每小題5分，共15分)7.假如等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＋a6＝15，那么a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝________.解析∵{an}是等差數(shù)列，∴a4＋a6＝2a5，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝15，∴a5＝5，∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝9×5＝45.答案458.等差數(shù)列{an}中，a2000＝－15，a2015＝15，則a2060＝______.解析∵a2015－a2000＝15d，∴15d＝30，即d＝2.a2060＝a2000＋60d＝－15＋60×2＝105.答案1059.(實力提升)已知實數(shù)a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x<3，,ax＋b，x≥3.))若數(shù)列{an}滿意an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是等差數(shù)列，則a＝________，b＝________.解析a1＝a，a2＝a2，a3＝3a＋b，a4＝4a＋b，所以等差數(shù)列{an}的公差為a4－a3＝a，則a2－a1＝a2－a＝a，解得a＝2，則a1＝2，a2＝4，a3＝6＋b＝6，所以b＝0.答案20三、解答題(本大題共3小題，共35分)10.(11分)在等差數(shù)列－5，－3eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)，…的每相鄰兩項之間插入一個數(shù)，使之組成一個新的等差數(shù)列.(1)求新數(shù)列的通項公式；(2)28是新數(shù)列中的項嗎？若是，是第幾項？若不是，請說明理由.解析(1)原數(shù)列的公差d＝－3eq\f(1,2)－(－5)＝eq\f(3,2)，所以新數(shù)列的公差d′＝eq\f(1,2)d＝eq\f(3,4)，故新數(shù)列的通項公式為an＝－5＋eq\f(3,4)(n－1)＝eq\f(3,4)n－eq\f(23,4).(2)設28是新數(shù)列的第n項，則eq\f(3n,4)－eq\f(23,4)＝28，解得n＝45∈N＋，所以28是新數(shù)列中的第45項.11.(12分)某產(chǎn)品按質(zhì)量分10個檔次，生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品的利潤是8元/件，每提高一個檔次，利潤每件增加2元，同時每提高一個檔次，產(chǎn)量削減3件，在相同的時間內(nèi)，最低檔次的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.試問：在相同的時間內(nèi)，應選擇生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤？(設最低檔次為第一檔次)解析設在相同的時間內(nèi)，從低到高每檔產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為a1，a2，…，a10，利潤分別為b1，b2，…，b10，則{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，所以利潤f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.明顯，當n＝9時，f(n)max＝f(9)＝864.答：在相同的時間內(nèi)生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品可以獲得最大利潤.12.(12分)(實力提升)已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,4)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿意bn＝eq\f(1,an－1)(n∈Z*).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并寫出{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的通項公式及數(shù)列{an}中的最大項與最小項.解析(1)證明因為an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈Z*)，所以an－1＝eq\f(an－1－1,an－1)，所以eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－1－1＋1,an－1－1)＝1＋eq\f(1,an－1－1)，即eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－1－1)＝1.因為bn＝eq\f(1,an－1)，所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈Z*).又a1＝eq\f(1,4)，b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(4,3)，所以{bn}是以b1＝－eq\f(4,3)為首項，1為公差