2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專題重組卷第一部分專題十五直線與圓的方程文含解析

PAGE專題十五直線與圓的方程本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分100分，考試時(shí)間60分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2024·綿陽(yáng)二診)直線l：x＋y－2＝0與圓O：x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠AOB等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案D解析圓心為(0,0)，半徑R＝2，畫(huà)出直線與圓的方程，如圖所示，相交點(diǎn)A，B剛好在坐標(biāo)軸上，所以∠AOB＝eq\f(π,2).故選D.2．(2024·廣西百色調(diào)研)若直線l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長(zhǎng)為4，則當(dāng)eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)取最小值時(shí)直線l的斜率為()A．2B.eq\f(1,2)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)答案A解析圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示以M(－1,2)為圓心，2為半徑的圓，由題意可得圓心在直線ax－by＋2＝0(a>0，b>0)上，故－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋2b,a)＋eq\f(\f(a＋2b,2),b)＝1＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)＋1≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線l的斜率為2，故選A.3．(2024·福建聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x－eq\r(3)y＝4相切，則圓O的方程為()A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．x2＋y2＝4答案D解析設(shè)圓O的半徑為r，則等于原點(diǎn)O到直線x－eq\r(3)y＝4的距離，即r＝eq\f(4,\r(1＋3))＝2，得圓O的方程為x2＋y2＝4，故選D.4．(2024·吉林市調(diào)研)已知AB是圓x2＋y2－6x＋2y＝0內(nèi)過(guò)點(diǎn)E(2,1)的最短弦，則|AB|等于()A.eq\r(3)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2eq\r(5)答案D解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝10，則圓心坐標(biāo)為C(3，－1)，半徑為eq\r(10)，過(guò)E的最短弦滿意E恰好為C在弦上的垂足，則CE＝eq\r(2－32＋[1－－1]2)＝eq\r(5)，則|AB|＝2eq\r(\r(10)2－\r(5)2)＝2eq\r(5)，故選D.5．(2024·內(nèi)江二診)若直線x－my＋m＝0與圓(x－1)2＋y2＝1相交，且兩個(gè)交點(diǎn)位于坐標(biāo)平面上不同的象限，則m的取值范圍是()A．(0,1)B．(0,2)C．(－1,0)D．(－2,0)答案D解析圓與直線聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝1，,x－my＋m＝0，))整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0.∵圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則Δ>0，即4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m>0，得m<0.∵圓(x－1)2＋y2＝1都在x軸的正半軸和原點(diǎn)，若交點(diǎn)在兩個(gè)象限，則交點(diǎn)縱坐標(biāo)的符號(hào)相反，∴y1y2＝eq\f(m2＋2m,1＋m2)<0，解得－2<m<0，故選D.6．(2024·西安八校聯(lián)考)已知圓C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)答案C解析解法一：如圖，連接AC，BC，設(shè)∠CAB＝θ，連接PC，與AB交于點(diǎn)D，∵AC＝BC，△PAB是等邊三角形，∴D是AB的中點(diǎn)，∴PC⊥AB，∴在圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2中，圓C的半徑為eq\r(2)，|AB|＝2eq\r(2)cosθ，|CD|＝eq\r(2)sinθ，∴在等邊△PAB中，|PD|＝eq\f(\r(3),2)|AB|＝eq\r(6)cosθ，∴|PC|＝|CD|＋|PD|＝eq\r(2)sinθ＋eq\r(6)cosθ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))≤2eq\r(2)，故選C.解法二：設(shè)|AD|＝x，x∈(0，eq\r(2)]，則|PC|＝eq\r(3)x＋eq\r(2－x2)，記f(x)＝eq\r(3)x＋eq\r(2－x2)，令f′(x)＝eq\r(3)＋eq\f(－2x,2\r(2－x2))＝0，得x＝eq\f(\r(6),2)∈(0，eq\r(2)]，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝2eq\r(2)，故選C.7．(2024·溫州模擬)已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到的直線的方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0答案D解析直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)為M(2,0)．設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝2，則tan(α＋45°)＝eq\f(tanα＋tan45°,1－tanαtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3，故得到的直線的方程是y－0＝－3(x－2)，可化為3x＋y－6＝0，故選D.8．(2024·黃岡模擬)從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿斜率為eq\f(1,2)的直線方向射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在直線的方程為()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0答案A解析由題意可得，入射光線所在直線的方程為y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，即y＝eq\f(1,2)x＋2，所以與y軸的交點(diǎn)(0,2)也在反射光線上，又反射光線所在直線的斜率為－eq\f(1,2)，故反射光線所在直線的方程為y＝－eq\f(1,2)x＋2，即x＋2y－4＝0.9．(2024·深圳紅嶺中學(xué)模擬)已知x2＋y2－4x－2y－4＝0，則eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)答案B解析因?yàn)閤2＋y2－4x－2y－4＝0，所以(x－2)2＋(y－1)2＝9表示圓．設(shè)P(x，y)，A(－3,1)，則eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq\f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA.設(shè)直線PA的方程為y－1＝k(x＋3)，當(dāng)直線PA與圓相切時(shí)，由eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＝3?k＝±eq\f(3,4)，得－eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4)，所以eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為2＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(17,4)，故選B.10．(2024·泉州質(zhì)檢)已知直線l：y＝k(x－1)，圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，有下列四個(gè)命題：p1：?k∈R，l與C相交； p2：?k∈R，l與C相切；p3：?r>0，l與C相交； p4：?r>0，l與C相切．其中的真命題為()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案A解析因?yàn)閳AC是以(1,0)為圓心，以r為半徑的圓，而直線l是過(guò)點(diǎn)(1,0)且斜率為k的直線，所以無(wú)論k，r取何值，都有直線過(guò)圓心，所以?k∈R，?r>0，都有l(wèi)與C相交，所以真命題是p1，p3，故選A.11．(2024·武邑中學(xué)二模)若圓x2＋y2＝r2(r>0)上有4個(gè)點(diǎn)到直線l：x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()A．(eq\r(2)＋1，＋∞) B．(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(0，eq\r(2)－1) D．(0，eq\r(2)＋1)答案A解析因?yàn)閳A心(0,0)到直線l的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)>1，故由題意知圓的半徑應(yīng)當(dāng)大于eq\r(2)＋1，故選A.12．(2024·馬鞍山聯(lián)考)若圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條共同的切線，則a＋b的最大值為()A．－3eq\r(2) B．－3C．3 D．3eq\r(2)答案D解析易知圓C1的圓心為C1(－a,0)，半徑r1＝2；圓C2的圓心為C2(0，b)，半徑r2＝1.∵兩圓恰有三條共同的切線，∴兩圓外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)，∴a＋b≤3eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝\f(3\r(2),2)時(shí)取等號(hào)))，∴a＋b的最大值為3eq\r(2).故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共40分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·上海市黃浦區(qū)調(diào)研)如圖，l1，l2是過(guò)點(diǎn)M，夾角為eq\f(π,3)的兩條直線，且與圓心為O，半徑長(zhǎng)為1的圓分別相切，設(shè)圓周上一點(diǎn)P到l1，l2的距離分別為d1，d2，那么2d1＋d2的最小值為_(kāi)_______．答案3－eq\r(3)解析依據(jù)題意，l1，l2是過(guò)點(diǎn)M，夾角為eq\f(π,3)的兩條直線，且與圓心為O，半徑為r＝1的圓分別相切，則|OM|＝2r＝2，如圖建立坐標(biāo)系，以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM為y軸建立坐標(biāo)系，M(0,2)，又由l1，l2是過(guò)點(diǎn)M，夾角為eq\f(π,3)的兩條直線，則l1，l2關(guān)于y軸對(duì)稱，易得l1，l2的傾斜角為eq\f(π,3)和eq\f(2π,3)，則設(shè)l1的方程為y＝eq\r(3)x＋2，l2的方程為y＝－eq\r(3)x＋2，P是圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P(cosθ，sinθ)，則d1＝eq\f(|\r(3)cosθ－sinθ＋2|,\r(1＋3))＝eq\f(|\r(3)cosθ－sinθ＋2|,2)＝1＋eq\f(\r(3)cosθ－sinθ,2)，d2＝eq\f(|－\r(3)cosθ－sinθ＋2|,\r(1＋3))＝eq\f(|－\r(3)cosθ－sinθ＋2|,2)＝1－eq\f(\r(3)cosθ＋sinθ,2)，則2d1＋d2＝2＋(eq\r(3)cosθ－sinθ)＋1－eq\f(1,2)×(eq\r(3)cosθ＋sinθ)＝3＋eq\f(\r(3)cosθ－3sinθ,2)＝3＋eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))≥3－eq\r(3)，即2d1＋d2的最小值為3－eq\r(3).14．(2024·江門模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線eq\f(x,2)－eq\f(y,4)＝1與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．答案(x－1)2＋(y＋2)2＝5解析在直角坐標(biāo)系xOy中，直線eq\f(x,2)－eq\f(y,4)＝1與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點(diǎn)，∴A(2,0)，B(0，－4)，則經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的圓心為直角三角形AOB的斜邊AB的中點(diǎn)C(1，－2)，半徑為AB的一半，即r＝eq\f(|AB|,2)＝eq\r(5)，則經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝5，故答案為(x－1)2＋(y＋2)2＝5.15．(2024·百校聯(lián)盟摸底)設(shè)直線3x＋4y－5＝0與圓C1：x2＋y2＝9交于A，B兩點(diǎn)，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧AB上，則圓C2半徑的最大值是________．答案2解析由圓C1：x2＋y2＝9，可得圓心為(0,0)，半徑R＝3.如圖，當(dāng)圓C2的圓心C2為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，圓C2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧AB上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí)圓C2的半徑r最大．圓C1的圓心(0,0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝eq\f(5,\r(32＋42))＝1，則圓C2的半徑r最大時(shí)兩圓心之間的距離|OC2|＝d＝1，所以圓C2半徑的最大值為|OP|－|OC2|＝3－1＝2.16．(2024·江蘇七市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B在圓x2＋y2＝4上，且AB＝2eq\r(2)，點(diǎn)P(3，－1)，eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝16，設(shè)AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則x0的全部值為_(kāi)_______．答案1，eq\f(1,5)解析設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0，y0)，由勾股三角形知OM＝eq\r(2)，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2①，又eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝16，則eq\o(PO,\s\up6(→))·2eq\o(PM,\s\up6(→))＝16，即eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝8，∴(－3,1)·(x0－3，y0＋1)＝8②，將①②聯(lián)立得x0＝1，eq\f(1,5).三、解答題(本大題共2小題，共20分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2024·哈爾濱三中二模)已知點(diǎn)A(0，2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，點(diǎn)P為曲線Γ上隨意一點(diǎn)且滿意|PA|＝2|PB|.(1)求曲線Γ的方程；(2)設(shè)曲線Γ與y軸交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是曲線Γ上異于M，N的隨意一點(diǎn)，直線MR，NR分別交直線l：y＝3于點(diǎn)F，G.試問(wèn)在y軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)S，使得eq\o(SF,\s\up6(→))·eq\o(SG,\s\up6(→))＝0？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得eq\r(x2＋y－22)＝2eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)，整理得x2＋y2＝1.所以曲線Γ的方程為x2＋y2＝1.(2)由題意得，M(0,1)，N(0，－1)．設(shè)點(diǎn)R(x0，y0)(x0≠0)，由點(diǎn)R在曲線Γ上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1.直線RM的方程為y－1＝eq\f(y0－1,x0)x，所以直線RM與直線y＝3的交點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,y0－1)，3)).直線RN的方程為y＋1＝eq\f(y0＋1,x0)x，所以直線RN與直線y＝3的交點(diǎn)為Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x0,y0＋1)，3)).假設(shè)存在點(diǎn)S(0，m)，使得eq\o(SF,\s\up6(→))·eq\o(SG,\s\up6(→))＝0成立，則eq\o(SF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,y0－1)，3－m))，eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x0,y0＋1)，3－m)).即eq\f(2x0,y0－1)·eq\f(4x0,y0＋1)＋(3－m)2＝0，整理得eq\f(8x\o\al