2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.3多面體與棱柱教案新人教B版必修第四冊

PAGE1-11.1.3多面體與棱柱學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.了解多面體的定義及其分類．(重點)2．理解棱柱的定義和結(jié)構(gòu)特征．(重點)3．了解多面體表面積的概念，知道棱柱表面積的計算公式，能用公式解決簡潔的實際問題．(難點)1.通過多面體的定義與分類學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助棱柱結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，培育直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).日常生活中的許多物體(如各種各樣的包裝盒)都可以抽象成多面體．思索：(1)你能總結(jié)出一個幾何體是多面體的充要條件嗎？(2)你能對常見幾何體進行合理分類嗎？1．多面體(1)定義由若干個平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體．(2)相關(guān)概念(如圖所示)①多面體的面、棱與頂點圍成多面體的各個多邊形稱為多面體的面，相鄰兩個面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點稱為多面體的頂點．②多面體的面對角線與體對角線一個多面體中，連接同一面上兩個頂點的線段，假如不是多面體的棱，就稱其為多面體的面對角線；連接不在同一面上兩個頂點的線段稱為多面體的體對角線．如上圖所示的多面體中，AC是一條面對角線，而BD′是一條體對角線．③多面體的截面與表面積一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)，稱為這個幾何體的一個截面，如上圖中多面體的一個截面ACE.多面體全部面的面積之和稱為多面體的表面積(或全面積)．(3)凸多面體把多面體的隨意一個面延展為平面，假如其余的各面都在這個平面的同一側(cè)，則稱這樣的多面體為凸多面體．思索1：長方體、正方體是多面體嗎？[提示]是．長方體是由6個矩形圍成的，正方體是由6個正方形圍成的，均滿意多面體的定義．思索2：最簡潔的多面體由幾個面所圍成？[提示]4個．(4)正多面體各個面都是全等的正多邊形且過各頂點的棱數(shù)都相等的多面體一般稱為正多面體．[拓展]已知正多面體頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E之間滿意關(guān)系V＋F－E＝2.2．棱柱(1)定義假如一個多面體有兩個面相互平行，且該多面體的頂點都在這兩個面上，其余各面都是平行四邊形，這樣的多面體稱為棱柱．(2)圖示及相關(guān)概念棱柱的兩個相互平行的面稱為棱柱的底面(底面水平放置時，分別稱為上底面、下底面)，其他各面稱為棱柱的側(cè)面，兩個側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱．(3)棱柱的表示棱柱可以用底面上的頂點來表示，也可用表示它的體對角線來表示，如上圖所示的棱柱可表示為棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示為棱柱AD′.(4)棱柱的高與側(cè)面積過棱柱一個底面上的隨意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段(或它的長度)稱為棱柱的高，棱柱全部側(cè)面的面積之和稱為棱柱的側(cè)面積．(5)棱柱的分類特殊地，底面是正多邊形的棱柱稱為正棱柱．(6)平行六面體與直平行六面體底面是平行四邊形的棱柱也稱為平行六面體．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形． ()(2)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形． ()(3)多面體的表面積等于各個面的面積之和． ()(4)沿不同的棱將多面體綻開，得到的綻開圖相同，表面積相等． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．下列幾何體中是棱柱的個數(shù)有()A．5個B．4個C．3個D．2個D[由棱柱的定義知①③是棱柱，選D．]3．下面沒有體對角線的一種幾何體是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱A[三棱柱只有面對角線，沒有體對角線．]4．(一題多空)一個棱柱至少有__________個面；面數(shù)最少的棱柱有________個頂點，有________條棱．569[面數(shù)最少的棱柱是三棱柱，有5個面，6個頂點，9條棱．]棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】下列關(guān)于棱柱的說法正確的個數(shù)是()①四棱柱是平行六面體；②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行的幾何體是棱柱；④底面是正多邊形的棱柱是正棱柱．A．1B．2C．3D．4A[四棱柱的底面可以是隨意四邊形；而平行六面體的底面必需是平行四邊形，故①不正確；說法③就是棱柱的定義，故③正確；對比定義，明顯②不正確；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，故④不正確．]棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(1)扣定義：判定一個幾何體是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即視察這個多面體是否有兩個相互平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即視察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，賜予解除．提示：推斷一個說法錯誤時，才用舉反例的方法．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖所示為長方體ABCD-A′B′C′D′，當(dāng)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？假如不是，請說明理由；假如是，指出底面及側(cè)棱．[解]截面BCFE右側(cè)部分是棱柱，滿意棱柱的定義，它是三棱柱BEB′-CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是側(cè)棱．截面BCFE左側(cè)部分也是棱柱，它是四棱柱ABEA′-DCFD′，其中四邊形ABEA′和四邊形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD為側(cè)棱．多面體的表面綻開圖【例2】某同學(xué)制作了一個對面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個正方體禮品盒的表面綻開圖應(yīng)當(dāng)為()ABCDA[兩個不能并列相鄰，B、D錯誤；兩個不能并列相鄰，C錯誤，故選A．也可通過實物制作檢驗來判定．]多面體綻開圖問題的解題策略(1)繪制綻開圖：繪制多面體的表面綻開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象實力或者是親自制作多面體模型．在解題過程中，經(jīng)常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面綻開圖．(2)由綻開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面綻開圖，來推斷是由哪一個多面體綻開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面綻開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面綻開圖．eq\o([跟進訓(xùn)練])2．下列四個平面圖形中，每個小四邊形都是正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的是()ABCDC[將四個選項的平面圖形折疊，可知C中的圖可復(fù)原為正方體．]多面體或棱柱的計算問題【例3】如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由頂點B沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱AA1)到達頂點C1，與AA1的交點記作M(1)三棱柱側(cè)面綻開圖的對角線長；(2)從B經(jīng)M到C1的最短路途長及此時eq\f(A1M,AM)的值．[解]將正三棱柱的側(cè)面綻開，得到一個矩形BB1B1′B′(如圖)．(1)∵矩形BB1B1′B′的長BB′＝6，寬BB1＝2，∴三棱柱側(cè)面綻開圖的對角線長為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).(2)由側(cè)面綻開圖可知：當(dāng)B，M，C1三點共線時，由B經(jīng)M到C1的路途最短，∴最短路途長為BC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，明顯Rt△ABM≌Rt△A1C1M，∴A1M＝AM，即eq\f(A1M,AM)＝1.求簡潔幾何體表面上兩點間最短距離的步驟此類問題一般將立體圖形(或其一部分)綻開為平面，使立體幾何問題平面化．其基本步驟是：(1)將立體圖形綻開為平面圖形．(2)在平面圖形上找出表示最短距離的線段．(3)計算此線段的長．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．一個棱柱的側(cè)面綻開圖是三個全等的矩形，矩形的長和寬分別為6cm,4cm，則該棱柱的側(cè)面積為________cm2.72[棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2)．]學(xué)問：1．在理解的基礎(chǔ)上，牢記多面體與棱柱的有關(guān)概念，能依據(jù)定義推斷幾何體的形態(tài)．2．直棱柱的特征(1)側(cè)棱垂直于底面；(2)側(cè)面都是矩形；(3)側(cè)面垂直于底面；(4)側(cè)棱長等于直棱柱的高；(5)側(cè)面綻開圖是矩形，此矩形的面積即為棱柱的側(cè)面積；(6)兩底面與平行于底面的截面全等．正棱柱除了滿意直棱柱的特征，還具有的特征(1)側(cè)面都是全等的矩形；(2)底面是全等的正多邊形．3．幾種常見四棱柱的關(guān)系方法：1．直棱柱的側(cè)面積的求法直棱柱的側(cè)面綻開圖是矩形，所以S直棱柱側(cè)面積＝ch(c為底面多邊形周長，h為側(cè)棱長(棱柱的高))．2．斜三棱柱的側(cè)面積的兩種求法(1)分別求各側(cè)面的面積，然后求和．在求各側(cè)面的面積時，首先要推斷出各側(cè)面的詳細形態(tài)及與面積有關(guān)的大小尺寸，然后求出它們的面積并求和．(2)作斜棱柱的直截面(與側(cè)棱垂直的截面)，則斜棱柱的側(cè)面積等于直截面的周長與側(cè)棱長的乘積．3．棱柱的表面積(全面積)的求法S表面積＝S側(cè)面積＋2S底面(S底面為底面多邊形的面積)．1．下列說法中正確的是()A．直四棱柱是直平行六面體B．直平行六面體是長方體C．六個面都是矩形的四棱柱是長方體D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱C[直四棱柱的底面不肯定是平行四邊形，故A錯；直平行六面體的底面不肯定是矩形，故B錯；C正確；底面是正方形的四棱柱不肯定是直四棱柱，故D錯．]2．下列選項中的圖形經(jīng)過折疊不能圍成棱柱的是()D[視察所給的圖形，A，B，C選項均可圍成棱柱，D選項圍成的幾何體是棱柱缺少一個面，無法圍成棱柱．]3．底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為eq\r(2)，體對角線長為eq\r(6)，則這個棱柱的側(cè)面積是()A．2B．4C．6D．8D[由已知得底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(6－2)＝2.∴