高等數(shù)學(xué)課件同濟版泰勒公式

泰勒公式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)在該點處的變化率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖像在該點處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的計算可以通過求極限來計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也可以使用導(dǎo)數(shù)公式。泰勒公式的定義1定義設(shè)f(x)在x=a的某個鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)，則稱2展開式為f(x)在x=a處的泰勒公式。3余項Rn(x)稱為泰勒公式的余項。泰勒展開式1公式將函數(shù)展開成無窮級數(shù)形式2意義用多項式逼近函數(shù)3應(yīng)用計算積分、求解微分方程泰勒公式的幾何意義泰勒公式可以用多項式來近似地表示一個函數(shù)。從幾何意義上來說，泰勒公式就是用一個多項式來逼近一個函數(shù)在某一點的局部行為，這個多項式的階數(shù)越高，對函數(shù)的逼近就越精確。泰勒公式的幾何意義可以用圖形來直觀地表示，例如，在某一點處，泰勒公式的二階展開式對應(yīng)著函數(shù)在該點的切線，而泰勒公式的更高階展開式則對應(yīng)著函數(shù)在該點的更高階的曲線。泰勒公式的性質(zhì)泰勒公式在滿足一定條件下是唯一的。泰勒公式可以用來逼近函數(shù)。泰勒公式的收斂性取決于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。泰勒公式的應(yīng)用1函數(shù)逼近泰勒公式可以用多項式來近似地表示一個函數(shù)，從而簡化函數(shù)的運算和分析。2求解微分方程泰勒公式可以用來近似地求解一些微分方程的解，例如，可以用來求解常微分方程的數(shù)值解。3函數(shù)的積分泰勒公式可以用來近似地計算函數(shù)的積分，從而得到函數(shù)的數(shù)值積分。4數(shù)值計算泰勒公式可以用來近似地計算一些函數(shù)的值，例如，可以用來計算三角函數(shù)的值。冪級數(shù)冪級數(shù)是無限項級數(shù)的一種特殊形式，其通項為xn的形式，其中n是自然數(shù)，x是一個變量。冪級數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。1定義形如a0+a1x+a2x2+...+anxn+...的級數(shù)稱為冪級數(shù)。2收斂域?qū)τ诿總€冪級數(shù)，都存在一個收斂域，在這個域內(nèi)級數(shù)收斂。3性質(zhì)冪級數(shù)在收斂域內(nèi)具有許多性質(zhì)，例如可微性、可積性、可加性、可乘性等。冪級數(shù)的概念定義形如∑n=0∞an(x-x0)n的無窮級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中an為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)，x0為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的中心。舉例例如，∑n=0∞xn=1+x+x2+...是一個以x0=0為中心的冪級數(shù)，其系數(shù)為an=1。冪級數(shù)的收斂性1收斂半徑確定冪級數(shù)收斂的范圍2收斂區(qū)間收斂半徑確定的區(qū)間內(nèi)，冪級數(shù)收斂3收斂域包含收斂區(qū)間和端點冪級數(shù)的性質(zhì)收斂域每個冪級數(shù)都有一個收斂域，在這個域內(nèi)級數(shù)收斂，域外則發(fā)散。連續(xù)性在收斂域內(nèi)，冪級數(shù)表示的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)?？晌⑿栽谑諗坑騼?nèi)，冪級數(shù)可以逐項求導(dǎo)，所得的級數(shù)仍是收斂的，且其和函數(shù)為原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)?？煞e性在收斂域內(nèi)，冪級數(shù)可以逐項積分，所得的級數(shù)仍是收斂的，且其和函數(shù)為原函數(shù)的積分。指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式公式ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+o(xn)性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式收斂于任何實數(shù)x應(yīng)用可以用來近似計算指數(shù)函數(shù)的值，也可以用來求解一些微分方程三角函數(shù)的泰勒展開式1正弦函數(shù)sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...2余弦函數(shù)cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...3正切函數(shù)tan(x)=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+...對數(shù)函數(shù)的泰勒展開式1ln(1+x)x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...2ln(1-x)-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-...3ln(x)ln(a)+(x-a)/a-(x-a)^2/(2a^2)+(x-a)^3/(3a^3)-...雙曲函數(shù)的泰勒展開式雙曲正弦sinh(x)=x+x3/3!+x5/5!+...雙曲余弦cosh(x)=1+x2/2!+x4/4!+...雙曲正切tanh(x)=x-x3/3+2x5/15-...雙曲余切coth(x)=1/x+x/3-x3/45+...雙曲正割sech(x)=1-x2/2+5x4/24-...雙曲余割csch(x)=1/x-x/6+7x3/360-...示例1:用泰勒公式計算1步驟一確定函數(shù)和展開點。2步驟二求出函數(shù)在展開點的各階導(dǎo)數(shù)。3步驟三將導(dǎo)數(shù)的值代入泰勒公式，得到展開式。4步驟四根據(jù)需要，截取展開式的前幾項作為近似值。示例2:用泰勒公式計算1計算e的近似值利用泰勒公式計算e的近似值2泰勒公式展開將e的泰勒展開式展開到n階3誤差估計利用拉格朗日余項估計誤差示例3:用泰勒公式計算1計算sin(0.1)使用泰勒公式展開sin(x)至三階項2展開結(jié)果sin(0.1)≈0.1-(0.1)^3/63計算近似值sin(0.1)≈0.09983示例4:用泰勒公式計算泰勒展開式根據(jù)泰勒公式，我們可以將sinx展開成一個無窮級數(shù)。求導(dǎo)對sinx進行求導(dǎo)，可以得到cosx，再繼續(xù)求導(dǎo)，可以得到-sinx，再繼續(xù)求導(dǎo)，可以得到-cosx，最后回到sinx，形成一個循環(huán)。代入將x=0代入上述求導(dǎo)結(jié)果，可以得到sinx在x=0處的泰勒展開式，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...計算利用上述泰勒展開式，我們可以計算sinx在x=0.1處的近似值，即sin(0.1)=0.1-0.1^3/3!+0.1^5/5!-0.1^7/7!+...≈0.099833。示例5:用泰勒公式計算1計算使用泰勒公式計算函數(shù)在某點處的近似值，如計算sin(0.1)的近似值。2誤差估計計算泰勒公式的余項，以評估近似值的精度。3分析結(jié)果分析計算結(jié)果，并比較與實際值的誤差。泰勒公式的誤差估計泰勒公式的誤差估計拉格朗日余項公式誤差的度量余項公式誤差大小與階數(shù)的關(guān)系階數(shù)越高，誤差越小誤差與區(qū)間長度的關(guān)系區(qū)間長度越長，誤差越大泰勒公式的應(yīng)用舉例1近似計算泰勒公式可以用來近似計算函數(shù)值，尤其當(dāng)函數(shù)的精確值難以計算時。2求解方程泰勒公式可以用來近似求解某些類型的方程，例如超越方程。3函數(shù)逼近泰勒公式可以用來用多項式函數(shù)逼近一個給定的函數(shù)，從而簡化計算或分析。一維泰勒公式1一元函數(shù)一個變量的函數(shù)2多項式用泰勒公式展開3近似用多項式近似函數(shù)一維泰勒公式用于近似表示一元函數(shù)，將函數(shù)用多項式來表示，以方便計算和分析。多元泰勒公式1多元函數(shù)展開將多元函數(shù)展開成多項式形式2高階偏導(dǎo)數(shù)利用多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)3誤差估計估算展開式與原函數(shù)之間的誤差多元泰勒公式將多元函數(shù)在某一點附近展開成一個多項式，該多項式由函數(shù)在該點的值和高階偏導(dǎo)數(shù)決定。它類似于一元泰勒公式，但需要考慮多個變量的偏導(dǎo)數(shù)，并引入多項式中的混合偏導(dǎo)數(shù)項。多元泰勒公式在多元函數(shù)的逼近、優(yōu)化、數(shù)值積分等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。多元函數(shù)的泰勒展開式1二階展開式f(x+h,y+k)=f(x,y)+?f/?x*h+?f/?y*k+1/2*(?2f/?x2*h2+2*?2f/?x?y*h*k+?2f/?y2*k2)+R?(x,y,h,k)2三階展開式f(x+h,y+k)=f(x,y)+?f/?x*h+?f/?y*k+1/2!*(?2f/?x2*h2+2*?2f/?x?y*h*k+?2f/?y2*k2)+1/3!*(?3f/?x3*h3+3*?3f/?x2?y*h2*k+3*?3f/?x?y2*h*k2+?3f/?y3*k3)+R?(x,y,h,k)3n階展開式f(x+h,y+k)=f(x,y)+∑(i=1ton)(1/i!)*∑(j=0toi)(iCj*??f/?x^(i-j)?y^j*h^(i-j)*k^j)+Rn(x,y,h,k)多元函數(shù)泰勒公式的應(yīng)用優(yōu)化問題可以用來尋找函數(shù)的極值點，例如求解非線性規(guī)劃問題。近似計算可以用來近似計算復(fù)雜函數(shù)的值，例如計算積分或求解微分方程。誤差分析可以用來分析函數(shù)近似的誤差，例如估計數(shù)值計算的精度?？偨Y(jié)及思考題泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如近似計算函數(shù)值、求解微分方程、分析函數(shù)的性質(zhì)等。泰勒公式的局限性泰勒公式的應(yīng)用也有一些局限性，例如當(dāng)函數(shù)在展開點附近不光滑時，泰勒展開式可能不收斂或收斂速度很慢