導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

§2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義2．1導(dǎo)數(shù)的概念

2．2導(dǎo)數(shù)的幾何意義瞬時變化率導(dǎo)數(shù)注意：(1)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)改變量與自變量的改變量的比值的極限，它是一個數(shù)值，不是變數(shù)．(2)Δx是自變量x在x0處的改變量，Δx≠0，當Δx>0時,Δx→0表示x0＋Δx從x0右邊趨近于x0，反之，當Δx<0時，Δx→0表示x0＋Δx從x0左邊趨近于x0,Δy是相應(yīng)函數(shù)的改變量，Δy可正、可負，也可以為0.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線y＝f(x)在點_____________處的切線的________．函數(shù)y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義．注意：導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)S＝S(t)在點t0處的導(dǎo)數(shù)S′(t0)，就是當物體的運動方程為S＝S(t)時，物體在時刻t＝t0時的瞬時速度v，即v＝S′(t0)；函數(shù)v＝v(t)在點t0處的導(dǎo)數(shù)v′(t0)，就是當物體的運動速度方程為v＝v(t)時，物體在時刻t＝t0時的瞬時加速度a，即a＝v′(t0)．(x0，f(x0))斜率3．切線的意義如圖，當Δx趨于零時，點B將沿著曲線y＝f(x)趨向于點A，割線AB將繞點A轉(zhuǎn)動，最后趨于直線l，直線l和曲線y＝f(x)在點A處“相切”，稱直線l為曲線y＝f(x)在點A處的切線．該切線的斜率就是函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)．

利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．(鏈接教材P32例1)方法歸納求函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟1．求函數(shù)f(x)＝x2＋3在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．2．曲線f(x)＝－3x2＋2在點(1,2)處的切線的斜率為________.利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程2．已知直線l：y＝4x＋a和曲線y＝x3－2x2＋3相切，求切點坐標及a的值．與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方法歸納(1)f′(2)即求函數(shù)f(x)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．(2)運用定義法求導(dǎo)數(shù)，在解題時要注意運算技巧，遇到根式時，常常需要進行分子(或分母)有理化．3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求滿足f′(x)＋2＝g′(x)的x值．規(guī)范解答求過某點的曲線的切線方程(本題滿分12分)已知曲線f(x)＝2x3－3x，過點M(0,32)作曲線f(x)的切線，求切線的方程．132[規(guī)范與警示]

(1)是“某點處”還是“過某點”要分清，驗證是關(guān)鍵．本步計算量大，是解本題的易錯點(失分點)．

將N點代入切線方程，解高次方程求出x0的值是正確求解的保障，因想不到不會做造成失分．(2)求曲線的切線時，注意區(qū)分“求曲線y＝f(x)上過點M的切線”與“求曲線y＝f(x)上在點M處的切線”，前者只要求切線過M點,M點未必是切點，因此求解時應(yīng)先設(shè)出切點坐標；而后者則很明確，切點就是M點.132已知曲線(1)求曲線在點