2024-2025學(xué)年廣東省領(lǐng)航高中聯(lián)盟高二（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省領(lǐng)航高中聯(lián)盟高二（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.過點(0,3)且傾斜角為150°的直線l的方程為(

)A.3x+y?3=0 B.x+3y?32.已知向量a=(3,?2,4)，b=(1,λ,μ)，若a，b共線，則λ+μ=(

)A.23 B.?23 C.43.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為A.24 B.12 C.4.已知四面體ABCD如圖所示，點E為線段CD的中點，點F為△ABC的重心，則EF=(

)A.23AB?16AC?125.已知t∈[0,1]，且點M(2+t,5t?3)，P(0,?1)，則直線MP的傾斜角的取值范圍是(

)A.[?π4,π4] B.[6.已知O為坐標原點，雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，點M在C上，且M在x軸上的射影為A.y=±2x B.y=±2x C.y=±7.若一束光線從點A(1,?1)處出發(fā)，經(jīng)過直線l：y=x+3上一點P反射后，反射光線與圓C：(x?4)2+(y?4)2=1交于點Q，則光線從點AA.5 B.6 C.7 D.88.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點的軌跡是一個圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知動點P在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)(包含邊界)運動，且滿足|PA|=2|PB|，則動點P的軌跡長度為(

)A.16π B.4π C.16π3 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(2,?1,?2)，b=(3,2,2)，則(

)A.a?2b=(?4,?5,?6) B.|a|=10.已知點A(1,1)，直線l：x?2y+3=0，圓C：x2+y2A.直線l的一個方向向量為a=(1,2)

B.點A到直線l的距離為255

C.圓C上的點到點A的距離的最大值為10+2211.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2?y23=1的左、右焦點，經(jīng)過點F1且傾斜角為鈍角的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，A.若雙曲線E與C有相同的漸近線，且E的焦距為8，則E的方程為x24?y212=1

B.若M(?2,2)，則|PF1|+|PM|的最小值是25?2

C.若△PF1F三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知圓C1：x2+y2=1，圓C2：(x?2)2+13.已知六面體ABCDE如圖所示，其由一個三棱錐C?ABD和一個正四面體ABDE拼接而成，其中CA=CB=CD=2，DE=22，若F為線段AC的中點，則異面直線AD與EF所成角的余弦值為______．14.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點，P是它們的一個公共點，且PF1⊥PF2，若C1和四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l過點(3,?5)．

(1)若直線l與直線l′：2x?7y?1=0垂直，求l的方程；

(2)若直線l與圓C：x2+y216.(本小題15分)

已知雙曲線C：x22?y26=1，直線l與C交于M，N兩點．

(1)若l的方程為x?y?3=0，求|MN|；

(2)若MP17.(本小題15分)

如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=12AA1=6，點E，F(xiàn)分別是線段AA1，CC1上靠近A18.(本小題17分)

已知等腰梯形ABCD如圖1所示，其中AD//BC，∠BAD=45°，點E在線段AD上，且BE⊥AD，AD=3BC，現(xiàn)沿BE進行翻折，使得平面ABE⊥平面BCDE，所得圖形如圖2所示．

(1)證明：CD⊥AE；

(2)已知點F在線段CD上(含端點位置)，點G在線段AF上(含端點位置)．

(i)若CF=2DF，點G為線段AF的中點，求AC與平面BEG所成角的正弦值；

(ii)探究：是否存在點F，G，使得AF⊥平面BEG，若存在，求出AGAF的值；若不存在，請說明理由．19.(本小題17分)

如圖，定義：以橢圓中心為圓心、長軸長為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點M作x軸的垂線交其“伴隨圓”于點N，稱點N為點M的“伴隨點”.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點(3,12)的一個“伴隨點”為(3,1)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(?3,0)的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，點C與點A關(guān)于x軸對稱．

(i)證明：直線BC恒過定點；

(ii)記(i)中的直線BC所過的定點為T，若B，C在直線x=?3上的射影分別為B1，

參考答案1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】BC

11.【答案】BCD

12.【答案】x=1

13.【答案】214.【答案】(15.【答案】解：(1)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，

若直線l與直線l′：2x?7y?1=0垂直，

因為直線l′的斜率為27，則k=?72，

故直線l的方程為y?(?5)=?72(x?3)，即7x+2y?11=0．

(2)依題意，圓C：x2+(y+1)2=9，

若直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x=3，此時直線l與圓C相切，符合題意；

若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y+5=k(x?3)，即kx?y?3k?5=0，

故圓心(0,?1)到直線l的距離d=|3k+4|1+k2=3，解得16.【答案】解：(1)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)；

聯(lián)立x?y?3=0x22?y26=1，消去y并整理得2x2+6x?15=0，

此時Δ=62?4×2×(?15)=156>0，

由韋達定理得x1+x2=?3，x1x2=?152，

則|MN|=1+k2|x1?x2|=1+k2(x1+x2)2?4x1x2=2×17.【答案】解：長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=12AA1=6，點E，F(xiàn)分別是線段AA1，CC1上靠近A1，C的四等分點，

(1)以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B1(6,6,12)，D1(0,0,12)，E(6,0,9)，F(xiàn)(0,6,3)，

可得D1E=(6,0,?3)，D1F=(0,6,?9)，B1E=(0,?6,?3)，

設(shè)n=(x,y,z)為平面D1EF的法向量，

則n?D1E=6x?3z=0n?D1F=6y?9z=0，

令z=2，則y=3，x=1，

可得平面D1EF的一個法向量n=(1,3,2)，

故點B1到平面D1EF的距離d=|B1E18.【答案】(1)證明：因為平面ABE⊥平面BCDE，AE⊥BE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AE?平面ABE，

所以AE⊥平面BCDE，

而CD?平面BCDE，故CD⊥AE；

(2)解：由題意易知EB，ED，EA兩兩垂直，

故以E為坐標原點，EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設(shè)BC=1，則BE=AE=12DE=1，AD=3BC=3，可得AE=BE=1，

(ⅰ)因為∠BAD=45°，等腰梯形ABCD中，BE⊥AD，

則A(0,0,1)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，

E(0,0,0)，F(xiàn)(13,53,0)，G(16,56,12)，

故EB=(1,0,0)，EG=(16,56,12)，

設(shè)n=(x,y,z)為平面BEG的法向量，

則n?EB=0n?EG=0，即x=016x+56y+12z=0，

令z=?5，則x=0，y=3，

可得n=(0,3,?5)為平面BEG的一個法向量，

而AC=(1,1,?1)，

AC?n=0×1+1×3×+(?1)×(?5)=8，|AC|=12+12+(?1)2=3，|n|=02+32+(?5)2=34，

所以cos<AC，n>=19.【答案】解：(1)因為橢圓E過點(3,12)，其伴隨圓x2+y2=a2過點(3,1)．

所以3a2+14b2=1(3)2+12=a2，

解得a=2，b=1，

則橢圓E的方程為x24+y2=1；

(2)(ⅰ)證明：當直線l的斜率不為0時