2024-2025學(xué)年廣東省江門市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省江門市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．13．“”是“曲線表示橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為，乙罐中有三個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為，從甲罐，乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于6”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6”，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．事件發(fā)生的概率為 B．事件相互獨(dú)立C．事件是互斥事件 D．事件發(fā)生的概率為5．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．6．如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C．1 D．7．已知圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線AB的方程為 B．C．均與圓相切 D．四邊形的面積為8．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的是（

）A．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則三點(diǎn)共線B．已知，則在上的投影向量為C．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則D．已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則10．已知直線，直線，則下列說(shuō)法正確的為（

）A．若，則B．若兩條平行直線與間的距離為，則C．直線過(guò)定點(diǎn)D．點(diǎn)到直線距離的最大值為11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（

）A．若的周長(zhǎng)為6，則B．若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則C．若存在點(diǎn)，使得，則D．若的最大值為2b，則三、填空題（本大題共3小題）12．，則.13．一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個(gè)小球，其中2個(gè)黃球、2個(gè)白球、1個(gè)紅球．先后從中無(wú)放回地取兩次小球，每次隨機(jī)取出2個(gè)小球，記下顏色計(jì)算得分，得分規(guī)則如下：“2個(gè)小球顏色相同”加1分，“2個(gè)小球顏色一黃一白”得0分，“2個(gè)小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為．14．已知圓：，圓：，點(diǎn)，分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).并且圓心在直線上，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線l.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求切線l的方程.16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線和曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且為線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程．17．某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者.若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和2，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這人中35～45歲所有人的年齡的方差.18．在梯形ABCD中，，，，P為AB的中點(diǎn)，線段AC與DP交于O點(diǎn)，將沿AC折起到的位置，使得平面⊥平面.(1)求證：平面(2)平面ABC與平面夾角的余弦值(3)線段上是否存在點(diǎn)Q，使得CQ與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，的大小是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則.因?yàn)椋?，所以，?故選：D.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，則，若，則，解得．故選：B．3．【正確答案】B【詳解】若曲線表示橢圓，則，得所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B4．【正確答案】B【詳解】甲罐中小球編號(hào)在前，乙罐中小球編號(hào)在后，表示一個(gè)基本事件，有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12個(gè)，事件含有的基本事件有：43，共1個(gè)．事件含有的基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7個(gè)，事件發(fā)生的概率為，故A正確；，，，，不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；事件兩者不可能同時(shí)發(fā)生，它們互斥，故C正確；事件中含有8個(gè)基本事件，共有基本事件12個(gè)，因此，故D正確.故選：B．5．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A6．【正確答案】B【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：易知，，;取，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：B.7．【正確答案】D【詳解】由圓，得，則圓心，半徑，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則圓，即.對(duì)于選項(xiàng)A：聯(lián)立，兩式作差可得：，即直線的方程為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：圓心到直線的距離為，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，則，由圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，可得均與圓相切，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，則，所以四邊形的面積為，故D錯(cuò)誤．故選：D．8．【正確答案】A【分析】設(shè)，，由，可得點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又，其中可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，從而根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，因?yàn)?，其中可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，所以，所以，即的最大值為，故選：A.9．【正確答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，可得，注意到，坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)分量不成比例，即不共線，從而三點(diǎn)不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)投影向量公式可得，在上的投影向量為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，注意到，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，即四點(diǎn)共面，根據(jù)共面條件可知，，即，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10．【正確答案】AC【詳解】由題，斜率為，，斜率為，對(duì)于A，若，則，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以即，且即，又兩條平行直線與間的距離為，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)，令，所以直線過(guò)定點(diǎn).故C正確；對(duì)于D，由C可知直線過(guò)定點(diǎn)，所以要使點(diǎn)到直線距離最大，則，則點(diǎn)到直線距離的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A,由橢圓，可得，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，由，可得，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，則，解得，所以，又的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，又因?yàn)?，因?yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2b，又的最大值為2b，故時(shí)取最大值，所以，解得，故D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以，得到，所以，得到，故答案?13．【正確答案】/【詳解】“兩次得分和為0分”可能的情況有第一次“2個(gè)小球顏色相同”，第二次“2個(gè)小球中有紅球”，或第一次“2個(gè)小球中有紅球”，第二次“2個(gè)小球顏色相同”，或兩次均為“2個(gè)小球顏色一黃一白”，第一次“2個(gè)小球顏色相同”，第二次“2個(gè)小球中有紅球”，記黃球?yàn)椋?個(gè)白球?yàn)椤?個(gè)紅球?yàn)?，利用枚舉法可知從中一次取2個(gè)小球?yàn)?，共?0種取法，而顏色相同的取法有兩種，故第一次取2個(gè)小球顏色相同的概率為，第二次取2個(gè)小球中有紅球的概率為，所以第一次“2個(gè)小球顏色相同”，第二次“2個(gè)小球中有紅球”的概率為．第一次“2個(gè)小球中有紅球”，第二次“2個(gè)小球顏色相同”，第一次取2個(gè)小球中有紅球的概率為，第二次2個(gè)小球顏色相同的概率為，所以第一次“2個(gè)小球中有紅球”，第二次“2個(gè)小球顏色相同”的概率為．兩次均為“2個(gè)小球顏色一黃一白”，第一次取2個(gè)小球，“2個(gè)小球顏色一黃一白”的概率為，第二次取2個(gè)小球，“2個(gè)小球顏色一黃一白”的概率為，所以兩次均為“2個(gè)小球顏色一黃一白”的概率為．所以兩次先后取2個(gè)小球，得分為零分的概率為.故答案為.14．【正確答案】7【詳解】解析：由點(diǎn)，分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，可知：，所以，，設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最大，最大值為，所以.故7

15．【正確答案】(1)(2)和【詳解】（1）解：設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，依題意可得，解之得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的斜率為，則切線l的方程為，即，所以，解得，所以切線l的方程為，又因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線也為圓圓C的切線.故切線l的方程為和.16．【正確答案】(1)的方程是：(2)【詳解】（1）設(shè)，，，因?yàn)?，所以，且，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，所以，，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，則，作差得，除以得，又由點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則有，所以，變形可得，所以直線的方程是即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故直線的方程為.17．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)這人的平均年齡為，則.（2）由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，第五組抽取人，記為（乙），，對(duì)應(yīng)的樣本空間的樣本點(diǎn)為：，設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，所以.（3）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則，，據(jù)此估計(jì)這人中35～45歲所有人的年齡的方差為.18．【正確答案】(1)證明過(guò)程見解析；(2)；(3)存在點(diǎn)Q，.【詳解】（1）連接，因?yàn)?，P為AB的中點(diǎn)，所以，，故四邊形為平行四邊形，故是AC，DP的中點(diǎn)，因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）因?yàn)槠矫妗推矫?，交線為AC，因?yàn)椋琌是AC的中點(diǎn)，所以⊥AC，因?yàn)槠矫?，所以⊥平面，因?yàn)槠矫鍭CB，所以，，因?yàn)?，AP=AD，所以三角形ADP為等邊三角形，因?yàn)镺是DP的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，所以兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OP，為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得：，令，則，所以，平面ABC的法向量為，設(shè)平面ABC與平面的夾角為，則，故平面ABC與平面的夾角的余弦值為；（3）存在點(diǎn)Q，理由如下：設(shè)，，則，由（2）知：平面的法向量為，設(shè)CQ與平面所成角為，則，因?yàn)?，解得：，?19．【正確答案】（1）；（2），理由見解析.【分析】（1）利用橢圓的定義求出的值，再結(jié)合的值可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，計(jì)算出；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由已知條件得出，將直線的方程與橢圓的方