2024-2025學(xué)年廣東省江門市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省江門市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．13．“”是“曲線表示橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知甲罐中有四個相同的小球，標(biāo)號為，乙罐中有三個相同的小球，標(biāo)號為，從甲罐，乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于6”，事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之積小于6”，則下列說法錯誤的是（

）A．事件發(fā)生的概率為 B．事件相互獨(dú)立C．事件是互斥事件 D．事件發(fā)生的概率為5．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為上一點，且，則（

）A． B．C． D．6．如圖，在正方體中，分別是棱的中點，則點到直線的距離為（）A． B． C．1 D．7．已知圓，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓交于兩點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．直線AB的方程為 B．C．均與圓相切 D．四邊形的面積為8．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩個定點，的距離之比為（，且），那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的是（

）A．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，則三點共線B．已知，則在上的投影向量為C．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則D．已知三棱錐，點為平面上的一點，且，則10．已知直線，直線，則下列說法正確的為（

）A．若，則B．若兩條平行直線與間的距離為，則C．直線過定點D．點到直線距離的最大值為11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，動點在橢圓上，則下列描述正確的有（

）A．若的周長為6，則B．若當(dāng)時，的內(nèi)切圓半徑為，則C．若存在點，使得，則D．若的最大值為2b，則三、填空題（本大題共3小題）12．，則.13．一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個小球，其中2個黃球、2個白球、1個紅球．先后從中無放回地取兩次小球，每次隨機(jī)取出2個小球，記下顏色計算得分，得分規(guī)則如下：“2個小球顏色相同”加1分，“2個小球顏色一黃一白”得0分，“2個小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為．14．已知圓：，圓：，點，分別是圓，圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C過點和點.并且圓心在直線上，點，過點P作圓C的切線l.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求切線l的方程.16．已知動點滿足：．(1)求動點的軌跡方程；(2)若過點的直線和曲線相交于A，B兩點，且為線段AB的中點，求直線的方程．17．某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對“奧運(yùn)會”相關(guān)知識的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會”宣傳使者.若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和2，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計這人中35～45歲所有人的年齡的方差.18．在梯形ABCD中，，，，P為AB的中點，線段AC與DP交于O點，將沿AC折起到的位置，使得平面⊥平面.(1)求證：平面(2)平面ABC與平面夾角的余弦值(3)線段上是否存在點Q，使得CQ與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由.19．已知點為橢圓的焦點，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，且坐標(biāo)原點到直線的距離為，的大小是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

答案1．【正確答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則.因為，，所以，故.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】因為，則，若，則，解得．故選：B．3．【正確答案】B【詳解】若曲線表示橢圓，則，得所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B4．【正確答案】B【詳解】甲罐中小球編號在前，乙罐中小球編號在后，表示一個基本事件，有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12個，事件含有的基本事件有：43，共1個．事件含有的基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7個，事件發(fā)生的概率為，故A正確；，，，，不相互獨(dú)立，故B錯誤；事件兩者不可能同時發(fā)生，它們互斥，故C正確；事件中含有8個基本事件，共有基本事件12個，因此，故D正確.故選：B．5．【正確答案】A【詳解】因為，所以，所以.故選：A6．【正確答案】B【詳解】如圖，以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：易知，，;取，，則，所以點到直線的距離為．故選：B.7．【正確答案】D【詳解】由圓，得，則圓心，半徑，線段的中點坐標(biāo)為，且，則圓，即.對于選項A：聯(lián)立，兩式作差可得：，即直線的方程為，故A正確；對于選項B：圓心到直線的距離為，則，故B正確；對于選項C：因為在以為直徑的圓上，則，由圓心與切點的連線與切線垂直，可得均與圓相切，故C正確；對于選項D：因為，且，則，所以四邊形的面積為，故D錯誤．故選：D．8．【正確答案】A【分析】設(shè)，，由，可得點P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又，其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，從而根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因為，所以，即，所以點P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，因為，其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，所以，所以，即的最大值為，故選：A.9．【正確答案】BD【詳解】A選項，可得，注意到，坐標(biāo)的對應(yīng)分量不成比例，即不共線，從而三點不共線，A選項錯誤；B選項，根據(jù)投影向量公式可得，在上的投影向量為，B選項正確；C選項，注意到，則，C選項錯誤；D選項，由于點為平面上的一點，即四點共面，根據(jù)共面條件可知，，即，D選項正確.故選：BD.10．【正確答案】AC【詳解】由題，斜率為，，斜率為，對于A，若，則，即，故A正確；對于B，因為，所以即，且即，又兩條平行直線與間的距離為，所以或，故B錯誤；對于C，對，令，所以直線過定點.故C正確；對于D，由C可知直線過定點，所以要使點到直線距離最大，則，則點到直線距離的最大值為，故D錯誤.故選：AC.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A,由橢圓，可得，因為的周長為6，所以，解得，因為，所以，解得，故A正確；對于B，由，可得，當(dāng)時，由余弦定理可得，則，解得，所以，又的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正確；對于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點，則，所以，所以，解得，所以存在點，使得，則，故C錯誤；對于D，設(shè)，，又因為，因為下頂點到上頂點的距離為2b，又的最大值為2b，故時取最大值，所以，解得，故D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】因為，所以，得到，所以，得到，故答案為.13．【正確答案】/【詳解】“兩次得分和為0分”可能的情況有第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，或第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，或兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，記黃球為，2個白球為、1個紅球為，利用枚舉法可知從中一次取2個小球為，共有10種取法，而顏色相同的取法有兩種，故第一次取2個小球顏色相同的概率為，第二次取2個小球中有紅球的概率為，所以第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”的概率為．第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，第一次取2個小球中有紅球的概率為，第二次2個小球顏色相同的概率為，所以第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”的概率為．兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，第一次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，第二次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，所以兩次均為“2個小球顏色一黃一白”的概率為．所以兩次先后取2個小球，得分為零分的概率為.故答案為.14．【正確答案】7【詳解】解析：由點，分別是圓，圓上的動點，可知：，所以，，設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，則，當(dāng)，，三點共線時，取最大，最大值為，所以.故7

15．【正確答案】(1)(2)和【詳解】（1）解：設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，依題意可得，解之得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：切線斜率存在時，設(shè)切線l的斜率為，則切線l的方程為，即，所以，解得，所以切線l的方程為，又因為圓心到直線的距離為，所以直線也為圓圓C的切線.故切線l的方程為和.16．【正確答案】(1)的方程是：(2)【詳解】（1）設(shè)，，，因為，所以，且，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓.設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，所以，，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點，則，作差得，除以得，又由點是AB的中點，則有，所以，變形可得，所以直線的方程是即，經(jīng)檢驗符合題意，故直線的方程為.17．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)這人的平均年齡為，則.（2）由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，第五組抽取人，記為（乙），，對應(yīng)的樣本空間的樣本點為：，設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，所以.（3）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則，，據(jù)此估計這人中35～45歲所有人的年齡的方差為.18．【正確答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3)存在點Q，.【詳解】（1）連接，因為，P為AB的中點，所以，，故四邊形為平行四邊形，故是AC，DP的中點，因為P是AB的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面⊥平面，交線為AC，因為，O是AC的中點，所以⊥AC，因為平面，所以⊥平面，因為平面ACB，所以，，因為，AP=AD，所以三角形ADP為等邊三角形，因為O是DP的中點，所以O(shè)P⊥AC，所以兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A，OP，為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得：，令，則，所以，平面ABC的法向量為，設(shè)平面ABC與平面的夾角為，則，故平面ABC與平面的夾角的余弦值為；（3）存在點Q，理由如下：設(shè)，，則，由（2）知：平面的法向量為，設(shè)CQ與平面所成角為，則，因為，解得：，故.19．【正確答案】（1）；（2），理由見解析.【分析】（1）利用橢圓的定義求出的值，再結(jié)合的值可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時，求出點、的坐標(biāo)，計算出；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由已知條件得出，將直線的方程與橢圓的方