2024-2025學(xué)年貴州省印江土家族苗族自治縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省印江土家族苗族自治縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知圓的一般方程為，其圓心坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．過(guò)點(diǎn)的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．3．已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．4．已知直線，直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C．3 D．6．已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．7．已知直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，圓：，點(diǎn)，分別為拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知兩條平行直線，，直線，直線，直線，之間的距離為1，則的值可以是（

）A． B． C．12 D．1410．已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．211．從盒子中摸出一個(gè)黑球的概率是，從盒子中摸出一個(gè)黑球的概率是，從兩個(gè)盒子中各摸出一個(gè)球，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．個(gè)球都不是黑球的概率為 B．個(gè)球中恰有個(gè)黑球的概率為C．個(gè)球至多有個(gè)黑球的概率為 D．個(gè)球中至少有個(gè)黑球的概率為12．設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．4三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.14．．15．已知點(diǎn)，，，是的垂心．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．16．在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的半徑為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17．已知圓的方程為．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若圓與直線交于M，N兩點(diǎn)，且，求的值．18．求符合下列條件的直線的方程：(1)過(guò)點(diǎn)，且斜率為；(2)過(guò)點(diǎn)，；(3)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．19．已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度．20．已知雙曲線：（），直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線的漸近線方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率．21．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.22．已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．1．C【分析】根據(jù)圓的方程即得.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，則圓的圓心坐標(biāo)是.故選：C．2．A【分析】先設(shè)出雙曲線的方程為（），代點(diǎn)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為（），代入點(diǎn)，得，故所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．3．A【分析】求出集合，由交集的定義即可得出答案.【詳解】，，則.故選：A.4．D【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，且，可知直線的斜率所以的傾斜角為．故選：D．5．C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，由此得到共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，則的共軛復(fù)數(shù)，所以，故．故選：C.6．A【分析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．結(jié)合平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)和空間向量的相等向量的計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由題意得，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，解得，故選：A7．D【分析】先求得直線過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)，再由圓心到定點(diǎn)的距離加半徑求解.【詳解】解：直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為，故選：D8．C【分析】由題意，的最小值為，的最小值為，可求的最小值.【詳解】圓：，圓心坐標(biāo)，半徑為1，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程，如圖所示，點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離大2，即，的最小值為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)的最小值為，所以.故選：C.9．BD【分析】將直線化為，代入兩平行線間距離公式分析求解.【詳解】將直線化為，則，之間的距離，即，解得或．故選：BD．10．ABC【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?或．故選：ABC11．ABC【分析】利用獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的概率公式逐項(xiàng)計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中事件的概率，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，個(gè)球都不是黑球的概率為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，個(gè)球中恰有個(gè)黑球的概率為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，個(gè)球至多有個(gè)黑球的概率為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，個(gè)球中至少有個(gè)黑球的概率為，D錯(cuò).故選：ABC.12．BD【分析】首先設(shè)點(diǎn)，得到，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到，若成立的點(diǎn)有四個(gè)，則在有兩實(shí)數(shù)解，則有，解出其范圍結(jié)合選項(xiàng)即得.【詳解】設(shè)，∵，，∴，，由可得，又∵點(diǎn)在橢圓上，即，∴，要使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則，解得.故選：BD13．2【詳解】焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.14．0【分析】根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：．故0.15．【分析】先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線的斜率，則可求出直線的斜率和直線的傾斜角，聯(lián)立方程組求出C的坐標(biāo)；【詳解】設(shè)C點(diǎn)標(biāo)為，直線AH斜率，∴，得直線BC的傾斜角為，而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6，則，又直線BH的斜率，，∴直線AC斜率，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．故．16．【分析】依題為直角三角形，又由，可得點(diǎn)在底面的射影為的外心，故球心在直線上，易求出半徑得解.【詳解】如圖，由，可得，所以的外心為的中點(diǎn)，又由，點(diǎn)在底面的射影為H，則平面，連接，則，，所以點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，點(diǎn)在底面的射影為的外心，顯然三棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)，在中，有，解得．故

17．(1)(2)【分析】（1）將圓的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到，解之即可；（2）利用弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而得到，易得的值.【詳解】（1）方程可化為，∵此方程表示圓，∴，即，即.（2）由（1）可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式及，得，解得，∴，得．18．(1)；(2)；(3)或.【分析】（1）利用點(diǎn)斜式寫直線方程即可；（2）利用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫直線方程；（3）利用斜截式和截距式待定系數(shù)求直線方程.【詳解】（1）∵所求直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，∴，即；（2）∵所求直線過(guò)，，∴，∴，即；（3）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，直線方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式，得，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或．19．(1)，準(zhǔn)線方程為(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求出拋物線方程和準(zhǔn)線方程；（2）在第一問(wèn)基礎(chǔ)上求出直線，與拋物線聯(lián)立后，得到兩根之和，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】（1）∵過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線C：，準(zhǔn)線方程為；（2）由（1）知，拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)直線AB：，，，由，得：，則，則．20．(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線中三者的關(guān)系及雙曲線的漸近線方程即可求解.（2）根據(jù)已知條件及直線的點(diǎn)斜式方程，將聯(lián)立雙曲線方程與直線方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)在直線上，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】（1）∵點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，∴，又∵且，解得，∴雙曲線的方程為，∴雙曲線的漸近線方程為；（2）設(shè)直線的方程為且，聯(lián)立,可得，則，∴，即，∴解得，即由可得，故雙曲線的離心率為．21．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）利用（1）中坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即可.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

有，，，，，，，則，，，，，因此，，又，，平面，所以平面.（2）設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，而則，所以直線與平面所成角的正弦值為.22．(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中韋達(dá)定理可得，且直線與軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，進(jìn)而可求面積.【詳解】（1）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程，消去得．由，且，可得，則，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)?，解得或（舍去），所以的值?（2）由（1）可知：，則，可得，由橢圓方程可知：，由直線與軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則，所以的面積為．方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題的求解方法（1）涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)