2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．（5分）直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）拋物線y＝﹣4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C． D．3．（5分）已知點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直線l：mx+y﹣m﹣1＝0與線段AB相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≤﹣4或m≥ B．m≤﹣或m≥4 C．﹣4≤m≤ D．﹣≤m≤44．（5分）已知M（2，2）是直線l被橢圓x2+4y2＝36所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（）A．4x+y﹣10＝0 B．x+4y﹣10＝0 C．x+4y﹣8＝0 D．4x﹣y﹣6＝05．（5分）已知點(diǎn)P在拋物線M：y2＝4x上，過點(diǎn)P作圓C：（x﹣2）2+y2＝1的切線，切點(diǎn)為A，若點(diǎn)P到M的準(zhǔn)線的距離為5，則切線長PA為（）A．4 B． C．6 D．6．（5分）若圓x2+y2＝1上總存在兩點(diǎn)到點(diǎn)（a，2﹣a）的距離等于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（5分）已知曲線C：（x2+y2）2＝a（x2﹣y2）（a＞0）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線C的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．a(chǎn)＝9時，曲線C經(jīng)過4個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） C．若a＝9時，直線y＝kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．若a＝4時，直線y＝kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣1]8．（5分）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知直線l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l過定點(diǎn)（2，2） B．原點(diǎn)O到直線l距離的最大值為 C．若點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）到直線l的距離相等，則m＝﹣2 D．若直線l不經(jīng)過第四象限，則（多選）10．（6分）已知m＞0，n＜0，C（x，y）是曲線上的任意一點(diǎn)，若|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的值與x，y無關(guān)，則（）A．m的取值范圍為 B．m的取值范圍為 C．n的取值范圍為（﹣∞，﹣6] D．n的取值范圍為（多選）11．（6分）已知A（0，4），B（﹣3，0），C（3，0）點(diǎn)P滿足|PB|﹣|PC|＝4．則（）A．點(diǎn)P的軌跡為雙曲線 B．直線x+y＝0上存在滿足題意的點(diǎn)P C．滿足的點(diǎn)P共有0個 D．△PAB的周長的取值范圍是[14，+∞）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）直線l過點(diǎn)（1，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為．13．（5分）已知直線與圓O：x2+y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，則△OAB面積的最大值為．14．（5分）已知曲線C：|x|+|y|＝m（m＞0）．（1）若m＝1，則由曲線C圍成的圖形的面積是．（2）曲線C與橢圓有四個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（15分）（1）已知兩直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．求過兩直線的交點(diǎn)，且平行于直線3x+4y﹣5＝0的直線方程；（2）已知曲線C的方程為，根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．①曲線C是橢圓；②曲線C是雙曲線．16．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：x2+y2＝8．點(diǎn)A，B是直線x﹣y+m＝0（m＞0）與圓O的兩個公共點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O上．（1）若△ABC為正三角形，求直線AB的方程；（2）在（1）的條件下，若直線x﹣y+n＝0上存在點(diǎn)P滿足，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．17．（15分）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣3），一條漸近線的斜率為，直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程．（2）若動直線l經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2，點(diǎn)M（﹣1，0），求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M．18．（15分）已知A（0，3），B（0，5），C（1，4），D（﹣1，4），（1）求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓；（2）A，B，C，D所在圓記為⊙M，點(diǎn)P是x﹣y＝0上一點(diǎn)，從點(diǎn)P向⊙M作切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)．①若，求點(diǎn)P坐標(biāo)并求此時切線PE，PF的直線方程；②求證：經(jīng)過E，P，M三點(diǎn)的圓必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)坐標(biāo)．19．（17分）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B、點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)，△PAB面積的最大值為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為k1、k2，且PQ過定點(diǎn)，①設(shè)△PQB和△PQA的面積分別為S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值；②求證：為定值，并求出該定值．

答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．（5分）直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【正確答案】C【分析】求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．解：因?yàn)橹本€x+y﹣1＝0的斜率為：﹣，直線的傾斜角為：α．所以tanα＝﹣，α＝120°故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識的應(yīng)用．2．（5分）拋物線y＝﹣4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C． D．【正確答案】D【分析】將拋物線y＝﹣4x2的方程標(biāo)準(zhǔn)化，即可求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：∵拋物線的方程為y＝﹣4x2，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝﹣y，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，﹣）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直線l：mx+y﹣m﹣1＝0與線段AB相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≤﹣4或m≥ B．m≤﹣或m≥4 C．﹣4≤m≤ D．﹣≤m≤4【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，直線l：mx+y﹣m﹣1＝0恒過定點(diǎn)（1，1）且直線斜率k＝﹣m，然后結(jié)合直線的斜率公式及直線傾斜角與斜率變化關(guān)系可求．解：直線l：mx+y﹣m﹣1＝0過定點(diǎn)P（1，1），如圖，∵kPA＝＝﹣4，kPB＝＝，∴直線l：mx+y﹣m﹣1＝0與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是k≥或k≤﹣4．故﹣m≥或﹣m≤﹣4．解得m或m≥4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查兩直線相交于斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．4．（5分）已知M（2，2）是直線l被橢圓x2+4y2＝36所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（）A．4x+y﹣10＝0 B．x+4y﹣10＝0 C．x+4y﹣8＝0 D．4x﹣y﹣6＝0【正確答案】B【分析】設(shè)出直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用k表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于k的方程可得．解：當(dāng)直線l斜率不存在時，由對稱性可知，此時直線l被橢圓x2+4y2＝36所截得的線段AB的中點(diǎn)在x軸上，而已知M（2，2）是線段AB的中點(diǎn)，不在x軸上，不滿足題意．故直線斜率存在，可設(shè)斜率為k，則直線的方程為y﹣2＝k（x﹣2），即y＝k（x﹣2）+2，代入橢圓的方程化簡得（1+4k2）x2+（16k﹣16k2）x+16k2﹣32k﹣20＝0，Δ＝（16k﹣16k2）﹣4（1+4k2）（16k2﹣32k﹣20）＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以，解得，滿足Δ＞0，故直線l方程為，即x+4y﹣10＝0．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬中檔題．5．（5分）已知點(diǎn)P在拋物線M：y2＝4x上，過點(diǎn)P作圓C：（x﹣2）2+y2＝1的切線，切點(diǎn)為A，若點(diǎn)P到M的準(zhǔn)線的距離為5，則切線長PA為（）A．4 B． C．6 D．【正確答案】D【分析】由題意求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理求解即可．解：拋物線M：y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)P（x0，y0），則x0＞0，y0＞0，∵點(diǎn)P到M的準(zhǔn)線的距離為5，∴x0+1＝5，即x0＝4，又，∴P（4，4），∵C（2，0），則，∵|CA|＝1，∴．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理，屬中檔題．6．（5分）若圓x2+y2＝1上總存在兩點(diǎn)到點(diǎn)（a，2﹣a）的距離等于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓x2+y2＝1與以（a，2﹣a）為圓心，3為半徑的圓有2個公共點(diǎn)，由圓與圓的位置關(guān)系建立不等式求解即可．解：因?yàn)閳Ax2+y2＝1上總存在兩個點(diǎn)到點(diǎn)（a，2﹣a）的距離為3，所以圓x2+y2＝1與以（a，2﹣a）為圓心，3為半徑的圓有2個公共點(diǎn)，則圓x2+y2＝1與圓（x﹣a）2+（y﹣2+a）2＝9相交，圓x2+y2＝1，圓心為（0，0），半徑為1，圓（x﹣a）2+（y﹣2+a）2＝9，圓心為（a，2﹣a），半徑為3，所以，即，解得：或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．7．（5分）已知曲線C：（x2+y2）2＝a（x2﹣y2）（a＞0）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線C的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．a(chǎn)＝9時，曲線C經(jīng)過4個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） C．若a＝9時，直線y＝kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．若a＝4時，直線y＝kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣1]【正確答案】C【分析】由（x0，y0）在曲線C，通過判斷點(diǎn)（﹣x0，y0），（x0，﹣y0），（﹣x0，﹣y0）是否是方程的解判斷曲線C是否關(guān)于坐標(biāo)軸，原點(diǎn)的對稱性判斷A，解出整數(shù)解從而判斷B，通過解方程確定方程解的個數(shù)判斷CD．解：對于選項(xiàng)A，C的方程是（x2+y2）2＝a（x2﹣y2），其中a＞0，令點(diǎn)P（x0，y0）是曲線C上任意一點(diǎn)，所以，可變形為，因此點(diǎn)（﹣x0，﹣y0）也在曲線C上，又因?yàn)辄c(diǎn)（x0，y0）與（﹣x0，﹣y0）關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此C上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在曲線C上，因此曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱．所以選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)a＝9時，曲線C方程為（x2+y2）2＝9（x2﹣y2），令y＝0，那么（x2）2＝9x2，解得x＝±3或x＝0．令x＝±2，則（4+y2）2＝9（4﹣y2），解得，令x＝±1，則（1+y2）2＝9（1﹣y2），解得，所以曲線C經(jīng)過的整點(diǎn)只能是（0，0），（3，0），（﹣3，0），所以選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，直線y＝kx與曲線C顯然有一個交點(diǎn)（0，0），下面考慮x≠0的情形：根據(jù)，可得（1+k2）2x4＝9（1﹣k2）x2，如果k2＝1，則x4＝0，x＝0（舍去），若k2＜1，則x＝0（舍去）或，若k2＞1，方程無實(shí)數(shù)解，綜上所述，直線y＝kx與曲線C只有一個交點(diǎn)，則k2≥1，即k≤﹣1或k≥1，所以選項(xiàng)C正確；對于D選項(xiàng)，同C選項(xiàng)解法相同，k≤﹣1或k≥1，所以選項(xiàng)D錯誤，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程綜合應(yīng)用，屬于中檔題．8．（5分）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，|FB|＜|FA|≤3|FB|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F′，由雙曲線的對稱性結(jié)合，得到四邊形AFBF1為矩形，設(shè)|AF1|＝n，|AF|＝m，在直角△ABF中，利用雙曲線的定義和勾股定理化簡得到，再根據(jù)|FB|＜|FA|≤3|FB|，得到的范圍，從而利用對勾函數(shù)的值域得到的范圍，進(jìn)而由即可得解．解：雙曲線的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F1，如圖所示：由雙曲線的對稱性可知，四邊形AFBF1為平行四邊形，又，則FA⊥FB，∴平行四邊形AFBF1為矩形，故|AB|＝|FF1|＝2c，設(shè)|AF1|＝n，|AF|＝m，則|BF|＝n，在Rt△ABF中，m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，∴2mn＝4c2﹣4a2＝4b2，則mn＝2b2，∴，令，得，又由|FB|＜|FA|≤3|FB|，得，∵對勾函數(shù)在（1，3]上單調(diào)遞增，∴，∴，即，則，故，∴，∴雙曲線離心率的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率的求法，解決的關(guān)鍵是利用雙曲線的對稱性證得四邊形AFBF1為矩形，再利用雙曲線的定義與勾股定理，結(jié)合條件得到關(guān)于a，b，c的齊次不等式，從而得解．是中檔題．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）已知直線l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l過定點(diǎn)（2，2） B．原點(diǎn)O到直線l距離的最大值為 C．若點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）到直線l的距離相等，則m＝﹣2 D．若直線l不經(jīng)過第四象限，則【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，變形后，得到方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出A的真假；B選項(xiàng)，直線l過定點(diǎn)E（2，2），故最大值為，判斷出B的真假；C選項(xiàng)，分A，B在直線l的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，可得m的值，判斷出C的真假；D選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到0≤kl≤1時滿足要求，從而得到不等式，求出答案，判斷出D的真假．解：A選項(xiàng)，直線l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0整理可得：m（2x﹣y﹣2）+x+y﹣4＝0，令，解得，故直線l過定點(diǎn)（2，2），所以A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，直線l過定點(diǎn)E（2，2），當(dāng)OE⊥l時，原點(diǎn)O到直線l距離的最大，且最大值為，所以B正確；C選項(xiàng)，點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）到直線l的距離相等，當(dāng)A，B在直線的同側(cè)時，則直線l的斜率為﹣＝0，可得m＝﹣，當(dāng)A，B在直線的異側(cè)時，則直線過AB的中點(diǎn)時，即直線l過原點(diǎn)，所以﹣2m﹣4＝0，可得m＝﹣2，綜上所述：m＝﹣或m＝﹣2，所以C錯誤；D選項(xiàng)，直線l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0不經(jīng)過第四象限，當(dāng)2m+1＝0時，l：y＝2滿足要求，此時斜率為0，當(dāng)l：（2m+1）x+（1﹣m）y﹣2m﹣4＝0經(jīng)過原點(diǎn)時，﹣2m﹣4＝0，解得m＝﹣2，此時l：﹣x+y＝0，斜率為1，數(shù)形結(jié)合得到，當(dāng)0≤kl≤1時，滿足要求，即0≤＜1，解得，所以D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查直線恒過定點(diǎn)的求法及點(diǎn)到過定點(diǎn)的直線的距離最大時參數(shù)的值的求法，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）已知m＞0，n＜0，C（x，y）是曲線上的任意一點(diǎn)，若|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的值與x，y無關(guān)，則（）A．m的取值范圍為 B．m的取值范圍為 C．n的取值范圍為（﹣∞，﹣6] D．n的取值范圍為【正確答案】AC【分析】由方程知曲線為半圓，再由題意轉(zhuǎn)化為半圓夾在兩平行直線之間，求出相切與過端點(diǎn)的情況即可得解．解：根據(jù)，可得y≥0，所以（x﹣3）2+y2＝9（y≥0），因此表示半徑r＝3，以M（3，0）為圓心的半圓（x軸及以上部分）．如果|x﹣y+m|+|x﹣y+n|的值與x，y無關(guān)，那么該曲線在兩平行直線l1：x﹣y+m＝0與l2：x﹣y+n＝0之間．當(dāng)l1與該曲線相切時，可得，所以，所以m的取值范圍為．當(dāng)l2經(jīng)過點(diǎn)（6，0）時，可得6+n＝0，所以n＝﹣6，所以n的取值范圍為（﹣∞，﹣6]．故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程綜合應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（6分）已知A（0，4），B（﹣3，0），C（3，0）點(diǎn)P滿足|PB|﹣|PC|＝4．則（）A．點(diǎn)P的軌跡為雙曲線 B．直線x+y＝0上存在滿足題意的點(diǎn)P C．滿足的點(diǎn)P共有0個 D．△PAB的周長的取值范圍是[14，+∞）【正確答案】BCD【分析】由|PB|﹣|PC|＝4＜|BC|，B（﹣3，0），C（3，0），則再根據(jù)題干已知點(diǎn)P滿足|PB|﹣|PC|＝4，可得點(diǎn)P的軌跡方程是雙曲線的右支判斷A，聯(lián)立方程組計算判斷B，根據(jù)點(diǎn)到漸近線的距離判斷C，轉(zhuǎn)化△PAB的周長為|AB|+|AP|+|PB|＝5+|AP|+|PB|，再結(jié)合三點(diǎn)共線判斷D．解：由于C（3，0），B（﹣3，0），|PB|﹣|PC|＝4＜|BC|，因此P的軌跡是實(shí)軸長為4，以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，因此2c＝6，2a＝4，所以c＝3，b2＝5，a＝2，因此點(diǎn)P的軌跡方程為，雙曲線的右支，所以選項(xiàng)A錯誤；聯(lián)立雙曲線和直線x+y＝0，解得或（舍去），因此x+y＝0上存在滿足題意的點(diǎn)P，所以選項(xiàng)B正確；的漸近線方程為，所以點(diǎn)A（0，4）到漸近線的距離，因此滿足的點(diǎn)P共有0個，所以選項(xiàng)C正確；由于點(diǎn)B（﹣3，0）即為左焦點(diǎn)F2（﹣3，0），又因?yàn)?，由于|PB|﹣|PC|＝4，因此|PB|＝4+|PC|，因此三角形PAB的周長為|AB|+|AP|+|PB|＝5+|AP|+|PB|＝5+|AP|+|PC|+4≥9+|AC|＝9+5＝14，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時，等號成立，因此三角形PAB的周長的取值范圍是[14，+∞），所以選項(xiàng)D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程問題，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）直線l過點(diǎn)（1，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分類討論截距為0和不為0兩種情況，根據(jù)截距式直線方程，即可求解．解：當(dāng)直線l過原點(diǎn)時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx，直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，1）．則k＝1，故直線l的方程為y＝x，當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時，可設(shè)直線l的方程為，直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，1）．則，解得b＝2，故直線l的方程為x+y﹣2＝0，故直線l的方程為x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．故x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查直線的截距式方程，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知直線與圓O：x2+y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，則△OAB面積的最大值為．【正確答案】．【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)，從而得到圓心到直線l的距離小于等于|OP|，得到∠AOB的范圍，即可得到結(jié)果．解：直線可化為，直線過點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，且|OP|＝1，如圖：過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則|OC|≤|OP|，設(shè)∠AOB＝θ，則，在Rt△OCB中，，故，120°≤θ＜180°，，所以△OAB的面積為，面積最大值為．法（ii）設(shè)O到直線的距離d，當(dāng)OP⊥l時，dmax＝|OP|＝1，則d＝≤|OP|＝1，弦長|AB|＝2＝2，所以S△OAB＝?|AB|?d＝?2d＝＝，當(dāng)d2＝1時，（S△AOB）max＝＝．故．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的弦長的求法及三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（5分）已知曲線C：|x|+|y|＝m（m＞0）．（1）若m＝1，則由曲線C圍成的圖形的面積是2．（2）曲線C與橢圓有四個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，2）∪{}．【正確答案】（1）2．（2）（1，2）∪{}．【分析】（1）若m＝1，曲線C：|x|+|y|＝1，表示對角線長為2的正方形，可得曲線C圍成的圖形的面積是2；（2）橢圓的長半軸長為2，短半軸長為1，1＜m＜2時，曲線C與橢圓有四個不同的交點(diǎn)；再考慮相切時的情形，即可得出結(jié)論．解：（1）如果m＝1，曲線C方程為|x|+|y|＝1，易知曲線C關(guān)于x軸，y軸對稱，作出當(dāng)x＞0，y＞0時函數(shù)x+y﹣1＝0的圖象，根據(jù)對稱性得到曲線C的圖象如下圖：所以曲線C表示對角線長為2的正方形，所以曲線C圍成的圖形的面積是2；（2）根據(jù)第一問可知，曲線C方程為|x|+|y|＝m（m＞0），該方程表示對角線長為2m的正方形，由于橢圓的短半軸長為1，長半軸長為2，因此當(dāng)1＜m＜2時，曲線C與橢圓有四個不同的交點(diǎn)；當(dāng)x＞0，y＞0時，聯(lián)立橢圓方程和x+y﹣m＝0，可得，所以5x2﹣8mx+4m2﹣4＝0，當(dāng)根的判別式Δ＝64m2﹣4×5×（4m2﹣4）＝0時，直線x+y﹣m＝0與橢圓相切，此時，因?yàn)閙＞0，所以，根據(jù)曲線C的對稱性知，此時曲線C與橢圓有四個不同的交點(diǎn)，所以1＜m＜2或．故2；（1，2）∪{}．【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程綜合應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（15分）（1）已知兩直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．求過兩直線的交點(diǎn)，且平行于直線3x+4y﹣5＝0的直線方程；（2）已知曲線C的方程為，根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．①曲線C是橢圓；②曲線C是雙曲線．【正確答案】（1）3x+4y﹣11＝0；（2）①（4，6）∪（6，8）；②（﹣∞，4）∪（8，+∞）．【分析】（1）設(shè)所求直線方程為3x+4y+C＝0（C≠﹣5），求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可；（2）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得；根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得（8﹣m）（4﹣m）＞0，求解即可．解：（1）設(shè)與直線3x+4y﹣5＝0平行的直線方程為3x+4y+C＝0（C≠﹣5），聯(lián)立，得，即兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），將（1，2）代入得3+8+C＝0，即C＝﹣11，所以所求直線方程為3x+4y﹣11＝0；（2）①曲線C的方程為，曲線C是橢圓，∴，∴，解得4＜m＜8且m≠6，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（4，6）∪（6，8）；②∵曲線C的方程為，曲線C是雙曲線，∴（8﹣m）（4﹣m）＞0，解得m＜4或m＞8，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，4）∪（8，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查直線系方程的應(yīng)用，圓錐曲線的綜合應(yīng)用，是中檔題．16．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：x2+y2＝8．點(diǎn)A，B是直線x﹣y+m＝0（m＞0）與圓O的兩個公共點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O上．（1）若△ABC為正三角形，求直線AB的方程；（2）在（1）的條件下，若直線x﹣y+n＝0上存在點(diǎn)P滿足，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．【正確答案】（1）x﹣y+2＝0；（2）[，]．【分析】（1）根據(jù)圓O是正△ABC的外接圓，可知點(diǎn)O到直線AB的距離等于，由此列式算出m的值，可得直線AB的方程；（2）根據(jù)，可得點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，然后求出以AB為直徑的圓的方程，根據(jù)直線x﹣y+n＝0與圓有公共點(diǎn)建立關(guān)于n的不等式，解出n的取值范圍．解：（1）圓O：x2+y2＝8的圓心為O（0，0），半徑r＝，若△ABC是正三角形，O為△ABC的外心，則O到AB的距離d＝＝，可得，解得m＝±2，結(jié)合m＞0，得m＝2，所以直線AB的方程為x﹣y+2＝0；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D（x0，y0），由，消去y，可得x2+2x﹣2＝0，則x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2．可得，所以x0＝＝﹣1，可得y0＝x0+2＝1，以AB為直徑的圓，圓心D（﹣1，1），半徑．若，則∠APB＝90°，可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．因?yàn)辄c(diǎn)P直線x﹣y+n＝0上，所以直線x﹣y+n＝0與圓D有公共點(diǎn)，圓心D到直線x﹣y+n＝0的距離d≤r，即，解得，實(shí)數(shù)n的取值范圍是[，]．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于中檔題．17．（15分）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣3），一條漸近線的斜率為，直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程．（2）若動直線l經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2，點(diǎn)M（﹣1，0），求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M．【正確答案】（1）；（2）證明過程請見解答．【分析】（1）根據(jù)題意可得關(guān)于a和b的方程組，解之即可；（2）分直線l的斜率是否存在兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合韋達(dá)定理與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，證明即可．（1）解：由題意知，，解得，所以雙曲線C的方程為．（2）證明：由（1）得，F(xiàn)2（2，0），若直線l的斜率不存在，則其方程為x＝2，將x＝2代入雙曲線C方程，有，解得y＝±3，此時A（2，3），B（2，﹣3），F(xiàn)2是AB中點(diǎn)，由于|F2A|＝|F2B|＝|F2M|，故以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M；若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）＝0，所以Δ＝16k4+4（3﹣k2）（4k2+3）＝36（k2+1）＞0，當(dāng)時，該方程有兩解，所以，，所以＝，＝＝（1+k2）?+（1﹣2k2）?+1+4k2＝＝0，所以，即以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，綜上所述，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M．【點(diǎn)評】本題考查直線與雙曲線的綜合，熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（15分）已知A（0，3），B（0，5），C（1，4），D（﹣1，4），（1）求證：A，B，C，D四點(diǎn)共圓；（2）A，B，C，D所在圓記為⊙M，點(diǎn)P是x﹣y＝0上一點(diǎn)，從點(diǎn)P向⊙M作切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)．①若，求點(diǎn)P坐標(biāo)并求此時切線PE，PF的直線方程；②求證：經(jīng)過E，P，M三點(diǎn)的圓必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)坐標(biāo)．【正確答案】（1）證明見解析．（2）①（4﹣）x+3y﹣14+2＝0或（4+）x+3y﹣14﹣2＝0．②證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）和（4，2）．【分析】（1）由A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)得圓為M（0，4），半徑為1，得證四點(diǎn)共圓；（2）①由對稱性，利用余弦的二倍角公式求得sin∠EPM，從而求得MP，再設(shè)P（a，a），求出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)切線方程后，由圓心到切線距離等于半徑求得切線斜率，得切線方程；②由切線性質(zhì)得E，P，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓，MP為直徑，設(shè)P（a，a）后求得圓的方程，化為一般式，由這個方程是關(guān)于a恒等式求得定點(diǎn)坐標(biāo)．（1）證明：因?yàn)锳（0，3），B（0，5），C（1，4），D（﹣1，4），設(shè)點(diǎn)M（