2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（）A．6 B．5 C．4 D．2．在四面體中，點(diǎn)為線段靠近的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的值為（

）

A． B．1 C． D．3．已知曲線表示圓，且點(diǎn)在曲線外，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．有四個不同的小球，，，，放入3個不同的盒子之中，則每個盒子中至少有一個球的概率為（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)為橢圓上第一象限的一點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)為的平分線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則面積為（

）A． B． C． D．36．設(shè)雙曲線的焦距為2，若以點(diǎn)為圓心的圓過的右頂點(diǎn)且與的兩條漸近線相切，則長的取值范圍是（

）A． B． C．12,1 D．7．設(shè)集合，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（

）A．232 B．144 C．184 D．2528．已知以為焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，一動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，雙曲線與橢圓在一象限的交點(diǎn)為，當(dāng)與相等時，取得最大值，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種10．如圖，長方體中，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下面選項正確的是（

）A．四面體的體積為定值B．點(diǎn)到平面的距離C．異面直線與所成的角為D．存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為11．已知拋物線為上位于焦點(diǎn)右側(cè)的一個動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．若，則B．若滿足，則C．若交于點(diǎn)，則D．直線交于兩點(diǎn)，且，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的法向量為，且直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為．13．的展開式中項的系數(shù)為．14．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加跳臺滑雪、越野滑雪、單板滑雪三個項目的比賽，每人只能參加一個項目，每個項目至少一個人參加，且甲、乙兩人不能參加同一項目的比賽，如果符合以上條件的各種方案出現(xiàn)的概率相等，定義事件為丙和丁參加的項目不同，事件為甲和乙恰好有一人參加跳臺滑雪，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知二項式，且滿足．(1)求值，并求二項式系數(shù)最大的項；(2)求二項展開式中含項的系數(shù)；(3)請直接寫出展開式中所有項的系數(shù)的和．（此題涉及的系數(shù)一律用數(shù)字作答）16．如圖，在四棱錐中，是邊長為1的正三角形，面面，，，，C為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)F，使二面角的余弦值為，若存在，求.若不存在，請說明理由.17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且橢圓上的點(diǎn)到距離的最大值為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．某校團(tuán)委開展知識競賽活動．現(xiàn)有兩組題目放在，兩個箱子中，箱中有6道選擇題和3道論述題，箱中有3道選擇題和2道論述題．參賽選手先在任一箱子中隨機(jī)選取一題，作答完后再在此箱子中選取第二題作答，答題結(jié)束后將這兩個題目放回原箱子．(1)若同學(xué)甲從箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；(2)若同學(xué)乙從箱中抽取了2題，答題結(jié)束后誤將題目放回了箱，接著同學(xué)丙從箱中抽取題目作答，求丙取出的第一道題是選擇題的概率．19．已知動圓過點(diǎn)（0，1），且與直線：相切．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)點(diǎn)一動點(diǎn)，過作曲線E兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，且，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線距離為．是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意及拋物線定義，點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.故選：C．2．【正確答案】C【詳解】由又，則，所以，故選：C．3．【正確答案】D【詳解】由曲線表示圓，得，解得或，由點(diǎn)在曲線外，得，解得，所以的取值范圍是.故選：D4．【正確答案】B【詳解】由題意，先將4個不同的小球放入3個不同的盒子共有種放法，每個盒子中至少有1個小球的放法，先將4個不同的小球分為3組，其中一組2個，一組1個，一組1個，共有種不同的分法，再將3組放在3個不同的盒子中，共有種，由分步計數(shù)原理，可得共有種不同的放法，故概率為.故選：B.5．【正確答案】C【詳解】如圖所示，延長，交的延長線于點(diǎn)，因?yàn)闉榈钠椒志€，⊥，由三線合一得為等腰三角形，即，為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，故，設(shè)，由橢圓定義知，，由得，解得，故，，在中，由余弦定理得，故，故.故選：C6．【正確答案】B【詳解】由已知得，雙曲線得漸近線方程為：，由圓與漸近線相切可得，半徑，則，則圓的半徑，，則，因?yàn)?，所以，則，，所以長得取值范圍是0,1.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】由題意可得或或，下面分三種情況討論：（1），此時中有一項為，其余均為，且的情況為一個，或一個，故此時集合中元素的個數(shù)為；（2），此時中有兩項為，其余均為，且的情況為兩個，或者兩個，或者一個和一個，故此時集合中元素的個數(shù)為；（3），此時中有三項為，其余均為，且的情況為三個，或者兩個和一個，或者一個和兩個，或者三個，故此時集合中元素的個數(shù)為；綜上可得集合中的元素的個數(shù)為.故選：A.8．【正確答案】C【分析】雙曲線的實(shí)軸長為，設(shè)，根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義推出，利用余弦定理可得，再利用兩角差的正切公式結(jié)合的最大值推出，兩式聯(lián)立即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，雙曲線與橢圓在一象限的交點(diǎn)為，設(shè)，則，故，由，得，即；動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為E，設(shè)，在中，，在中，，由題意知為銳角，且,即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即的最大值為，而當(dāng)與相等時，取得最大值，可知，即，結(jié)合，得，則，故雙曲線的離心率，故選：C9．【正確答案】BD【分析】A選項，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解；B選項，采用插空法進(jìn)行求解；C選項，分兩種情況，若最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項，使用捆綁法進(jìn)行求解；【詳解】對于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，故A錯誤；對于B，先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空，則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，故B正確；對于C，若最左端排乙，此時其余四人可進(jìn)行全排列，故有種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有種情況，則共有種站法，故C錯誤；對于D，將甲與乙捆綁，看做一個整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有種，故D正確；故選：BD10．【正確答案】ABD【詳解】A選項，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又點(diǎn)在線段上運(yùn)動，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，故點(diǎn)到平面的距離，B正確；C選項，，，則，故異面直線與所成的角不為，C錯誤；D選項，設(shè)，，由B選項知，平面的法向量為設(shè)直線與平面所成角為，則，令，解得，負(fù)值舍去，故存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，D正確.故選：ABD11．【正確答案】ABC【詳解】對于：若，，，則，已知為上位于焦點(diǎn)F1,0右側(cè)的一個動點(diǎn)，所以，所以，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故正確；對于：，又，所以，故正確；

對于：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，所以，故正確；

對于：設(shè)，則，設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，所以直線的方程為，聯(lián)立方程，可得，所以，聯(lián)立方程，可得，所以，所以，所以，故錯誤.故選.12．【正確答案】【詳解】∵直線的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，則，令，則，∴直線的斜率，∴直線的方程為：，即，故13．【正確答案】【詳解】由題意知的通項為，化簡得，令，得，即，所以的系數(shù)為.故14．【正確答案】【詳解】依題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加三個項目所有的方案共種，其中甲、乙參加同一項目的方案種，則所求的參賽方案一共有種；因?yàn)榧?、乙兩人不能參加同一項目，所以丙、丁兩人不能參加同一項目，則甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人參加同一項目，這里有種方案，若甲單獨(dú)選擇跳臺滑雪，則丙、丁可分別選擇越野滑雪或者單板滑雪，乙也可在其中二選一，故總共有種不同的方案；若甲和一人一起選擇跳臺滑雪，則甲只可能和丙或丁共同選擇，剩下2個人分別選擇2個項目，故共有種不同的方案；同理，乙單獨(dú)選擇跳臺滑雪，有種不同的方案；乙和一人共同選擇跳臺滑雪，有種不同的方案，總共有16種方案.所以.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，即，整理得，解得或（舍去），故．所以展開式的通項為（且），則，故二項式系數(shù)的最大項為第項，為．（2）令，解得，所以，所以二項展開式中含項的系數(shù)為；（3）對于，令可得，所以展開式中所有項的系數(shù)的和為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（l）由線線平行或面面平行證明線面平行；（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值，或利用幾何法解決.【詳解】（1）.解法一證明：取中點(diǎn)E，連接和.C為中點(diǎn)，且，且，且，四邊形為平行四邊形，則，面，面，面.解法二：如圖所示，取的中點(diǎn)Q，連接，，在，C為中點(diǎn)，Q為中點(diǎn)，，平面，平面，平面，在四邊形中，，，Q為中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面又，平面，平面平面，由平面，平面（2）解法一：取中點(diǎn)O，連接，則等邊中.面面，面面，面，面，面，可得.又，，面，面，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為x，y軸，過點(diǎn)垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)，則，，依題意可得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，二面角為，則，，（舍），，則.解法二：取中點(diǎn)O，連接，則等邊中.面面，面面，面，面，面，可得.又，，面，面取的中點(diǎn)E，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，，由已知是平面的一個法向量，記為，假設(shè)線段上存在點(diǎn)F滿足已知條件，則有，且，設(shè)，有，，，，，即，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，由已知得，整理得，即化簡得，解得，（舍去），線段上存在點(diǎn)F，當(dāng)時，已知條件成立，則有，，.求平面的一個法向量的另一種解法：，平面的一個法向量可取解法三：幾何法作，，，，平面，平面，平面，，為二面角的平面角,設(shè)，在中，，，在中，由得，由已知得，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以在中，由,得.17．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可直接求得，，計算可得，便可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程利用韋達(dá)定理和弦長公式可求得，結(jié)合判別式可得，再由向量關(guān)系是可得，解不等式即可得實(shí)數(shù)的取值范圍為或.【詳解】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，又橢圓上的點(diǎn)到距離的最大值為，可知，所以；故橢圓方程是；（2）設(shè)，，，顯然直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，整理得，則，解得，又，，因且，則，于是有，化簡得，則，即，所以，由得，則，，而點(diǎn)在橢圓上，即，化簡得，從而有，而，即，于是得，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為或.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)事件表示“甲第次從箱中取到論述題”，，則；（2）設(shè)事件為“丙從箱中取出的第一道題是選擇題”，事件為“乙從箱中取出2道選擇題”，事件為“乙從箱中取出1道選擇題和1道論述題”，事件為“乙從箱中取出2道論述題”，則，，，則，即丙取出的第一道題是選擇題的概率為.19．【正確答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義寫出軌跡的方程；（2）設(shè)直線AB：y＝kx＋m，，聯(lián)立拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理及求參數(shù)m，進(jìn)而寫出切線，的方程并求交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、弦長公式、圓中弦長的求法求到直線距離為、、，最后結(jié)合求參數(shù)k，判斷存在性.(1)依題意，圓心的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l：y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線．所以拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于2，故動圓圓心的軌跡E為x2＝4y．(2)依題意，直線