2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．135°2．設(shè)向量，，若，則（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切5．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則等于（）A． B．C． D．6．已知一條光線從點發(fā)出被直線反射，若反射光線過點，則反射光線所在的直線方程為（）A． B． C． D．7．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，點，則點到平面距離為（

）A． B． C． D．8．已知，直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A．1 B．2 C．4 D．二、多選題（本大題共3小題）9．小華到大理旅游，對于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個景點，下列各事件關(guān)系中正確的是（

）A．事件“至少選擇其中一個景點”與事件“至多選擇其中一個景點”為互斥事件B．事件“兩個景點均未選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件C．事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”為互斥事件D．事件“兩個景點均選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件10．已知圓和圓外一點，過點作圓的切線，其中是切點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）．A． B．C．四邊形的面積為8 D．點在外接圓的外部11．已知正方體棱長為2，P為空間中一點，下列論述正確的是（

）A．若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B．若三棱錐的體積是定值C．若，有且僅有一個點P，使得平面D．若，則異面直線BP和所成角取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知隨機事件A，B，C，與相互獨立，與對立，且，，則.13．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點到兩定點，的距離之和為8，則點的軌跡方程為.14．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：一動點到兩定點的距離之比等于定值，則點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿氏圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，點，滿足的動點的軌跡為，若在直線上存在點，在曲線上存在兩點，使得，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．直線l：（其中）.(1)求直線l所經(jīng)過的定點P的坐標(biāo)；(2)若向量是直線的一個方向向量，求直線的一般式方程.16．如圖，等邊和等邊所在的平面互相垂直，求：(1)直線與平面所成角的正弦值；(2)平面和平面的夾角的余弦值.17．2024年1月17日，搭載天舟七號貨運飛船的長征七號遙八運載火箭成功發(fā)射，我國載人航天工程2024年發(fā)射任務(wù)首戰(zhàn)告捷．為普及航天知識，某學(xué)校開展組織學(xué)生舉辦了一次主題為“我愛星辰大?！钡暮教熘R競賽，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：(1)求頻率分布直方圖中a的值．若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；(2)用樣本估計總體，利用組中值估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)若學(xué)校安排甲、乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．18．如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，?分別是、的中點，點在線段上，且.

(1)求直線AM與直線PN所成角的大?。?2)當(dāng)直線AM與平面PMN所成角的正弦值為時，求實數(shù)的值.19．已知圓與直線相切于點，圓心在軸上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與圓交于兩點，當(dāng)時，求直線的一般式方程；(3)過點且不與軸重合的直線與圓相交于兩點，為坐標(biāo)原點，直線分別與直線相交于兩點，記的面積為，求的最大值.

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系，可得答案.【詳解】由直線，則其斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，解得.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】因為，可得，即，解之可得.故選：D3．【正確答案】D【詳解】由已知可得橢圓的焦點在軸上，故，則，得.故選：D.4．【正確答案】D【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓，故圓心，半徑為，則，所以圓與圓的位置關(guān)系是外切.故選：D5．【正確答案】B【詳解】由題意，根據(jù)空間向量的運算法則，可得.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，因此反射光線所在直線過點，方程為，即.故選：A7．【正確答案】A【分析】根據(jù)平面方程可得法向量，即可根據(jù)向量法求解點面距離.【詳解】由于平面的方程為，所以平面的法向量，在平面上任取一點，則，點到平面距離故選：A.8．【正確答案】C【詳解】因為，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時，AB最小，

，此時.故選：C9．【正確答案】CD【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案.【詳解】對于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個景點，可能的結(jié)果有：兩個景點都不選擇；選擇一個景點；選擇兩個景點；事件“至少選擇其中一個景點”包括選擇一個景點和選擇兩個景點，事件“至多選擇其中一個景點”包括兩個景點都不選擇和選擇一個景點，所以事件“至少選擇其中一個景點”與事件“至多選擇其中一個景點”兩事件可能同時發(fā)生，A錯誤；事件“兩個景點均未選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”兩事件可能同時發(fā)生，B錯誤；事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”不能同時發(fā)生，C正確；事件“兩個景點均選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”不能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，D正確.故選CD.10．【正確答案】AB【分析】結(jié)合圓的性質(zhì)可直接得到結(jié)論.【詳解】如圖：因為為直角三角形，且，，所以，故A對；根據(jù)切線的有關(guān)性質(zhì)，B也正確；，故C錯誤；因為，，故點在的外接圓上，圓心為中點，故D錯誤.故選：AB11．【正確答案】BD【詳解】A：由，即為中點，連接，若分別是中點，連接，則，又且，即為平行四邊形，所以，所以異面直線BP與所成角，即為或其補角，而，，，故，故A錯誤；B：由知：在（含端點）上移動，如下圖示，△面積恒定，到面的距離恒定，故的體積是定值，故B正確；C：若分別是中點，由知：在（含端點）上移動，由平面，平面，則面平面，由，平面平面，平面，所以平面，平面，則，同理可證：，由，,平面，故平面，而面平面，要使平面，則必在面內(nèi)，顯然平面，故C錯誤；D：由知：在（含端點）上移動，如圖以為原點，分別為軸建系，則，，，則，設(shè)，則，所以，令，當(dāng)，即時，，此時直線和所成角是；當(dāng)，即時，則，當(dāng)，即時，取最大值為，直線和所成角的最小值為，故D正確.故選BD.12．【正確答案】/【詳解】因為與對立且，所以，又與相互獨立且，所以.故13．【正確答案】【詳解】因為點到點，的距離之和為8，即，所以點的軌跡為以點，為焦點的橢圓，且，解得，所以，所以橢圓方程為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)Mx,y，由，得，即，化簡整理得，則此圓心為，半徑為，

因為是曲線上的兩點，當(dāng)都與圓相切，可使最大，又，，此時四邊形為正方形，，顯然，當(dāng)時，為銳角，不滿足題意，當(dāng)時，才能取得直角，故，所以點到直線距離要滿足，所以，化簡得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）直線方程可化為：，由解得所以直線l過定點.（2）由向量是直線的一個方向向量，得直線的斜率，又經(jīng)過點，所以方程為：，即.16．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：作中點O，連接，因為為等邊三角形，所以，

同理，又因為平面平面，所以AO⊥平面，所以,所以分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，所以，則，，，，所以

.設(shè)為平面的法向量，，令，則，，所以為平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角正弦值為.（2）解：平面的一個法向量為，由（1）知平面的一個法向量為，設(shè)平面和平面所成角為，所以，所以平面和平面的夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)，2人(2)平均數(shù)為71，中位數(shù)為(3)【詳解】（1）由，解得，因為（人），（人）．所以不高于50分的抽取（人）（2）平均數(shù)．由圖可知，學(xué)生成績在內(nèi)的頻率為0.4，在內(nèi)的頻率為0.3，設(shè)學(xué)生成績中位數(shù)為t，，則：，解得，所以中位數(shù)為.（3）法一：記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”為事件A，則．答：至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為．法二：記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”為事件A答：至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為．18．【正確答案】(1)90°；(2).【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，易得點，，，

∴，，∴直線AM與直線PN所成角的大小為90°；（2）點，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，可得，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，整理可得，即，因為，解得.19．【正確答案】(1)；(2)x=1或；(3).【詳解】（1）由題可知，設(shè)圓的