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2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題(本大題共8小題)1.已知直線,則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.已知,,是三個不同的平面,,是兩條不同的直線,下列命題為真命題的是(
)A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則3.圓臺上、下底面半徑分別是1,2,高為,這個圓臺的體積是(
)A. B.C. D.4.已知方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍為(
)A. B.C. D.5.設(shè)為直線上的動點,過點作圓:的切線,則切線長的最小值為(
)A.2 B. C.3 D.6.橢圓上一點在運(yùn)動過程中,總滿足關(guān)系式,那么該橢圓的離心率為(
)A. B. C. D.7.已知直線:和圓:,且圓上至少存在兩點到直線的距離為1,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.8.已知方程有兩個不等的實根,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.已知圓與圓,下列說法正確的是(
)A.與的公切線恰有4條B.與相交弦的方程為C.與相交弦的弦長為D.若分別是圓上的動點,則10.設(shè)橢圓C:的焦點為、,M在橢圓上,則(
)A. B.的最大值為7,最小值為1C.的最大值為16 D.△面積的最大值為1011.如圖,在棱長為2的正方體中,為正方體的中心,為的中點,為側(cè)面正方形內(nèi)一動點,且滿足//平面,則(
)A.三棱錐的外接球表面積為B.動點的軌跡是一條線段C.三棱錐的體積是隨點的運(yùn)動而變化的D.若過A,,三點作正方體的截面,為截面上一點,則線段長度的取值范圍為三、填空題(本大題共3小題)12.三棱錐中,平面,則該三棱錐的外接球表面積等于.13.已知為圓上任意一點,則的最小值為14.點P是橢圓上的一點,則點P到直線的距離最大值是.四、解答題(本大題共5小題)15.已知動點與兩個定點,的距離的比是2.(1)求動點的軌跡的方程;(2)直線過點,且被曲線截得的弦長為,求直線的方程.16.如圖,四棱錐的底面是正方形,側(cè)面PAD是正三角形,,且側(cè)面底面ABCD,E為側(cè)棱PD的中點.(1)求證:平面EAC;(2)求三棱錐的體積.17.在平面直角坐標(biāo)系中,已知兩點的坐標(biāo)分別為,,直線相交于點,且它們的斜率之積是.(1)求動點的軌跡方程;(2)若點的軌跡與直線相交于兩個不同的點,線段的中點為.若直線的斜率為,求線段的長.18.圖1是邊長為的正方形ABCD,將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐,且.(1)證明:平面平面ABC;(2)點M是棱PA上不同于P,A的動點,設(shè),若平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值為,求的值.19.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過點且垂直于軸的弦長為,且.(從以下三個條件中任選一個,將其序號寫在答題卡的橫線上并作答.)①橢圓的長軸長為;②橢圓與橢圓有相同的焦點;③,與橢圓短軸的一個端點組成的三角形為等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線經(jīng)過,且與橢圓交于,兩點,求面積的最大值.
答案1.【正確答案】C【詳解】當(dāng)時,,即,則,即;當(dāng)時,,解得.所以“”是“”的充要條件.故選:C2.【正確答案】C【分析】利用空間中點線面之間的位置關(guān)系即可對每個選項做出判斷,從而選出正確選項.【詳解】對于選項A:若,,則與平行或相交,故選項A不正確;對于選項B:若,,則與可平行、異面、或相交,故選項B不正確;對于選項C:若,,則,垂直于同一平面的兩個直線平行,故選項C正確;對于選項D:若,,則與平行或相交,故選項D不正確.故選:C3.【正確答案】D【分析】直接代入圓臺的體積公式計算即可.【詳解】由題意.故選D.4.【正確答案】C【詳解】根據(jù)題意,要使方程表示焦點在軸上的橢圓,需滿足,解得.故選:C.5.【正確答案】B【詳解】圓心為,半徑為,設(shè)切點為,要使得切線長最小,則最小,此時,所以,所以,故選:B6.【正確答案】B【詳解】由題意,可知橢圓的焦點在軸上,且,所以橢圓的離心率為.故選:B.7.【正確答案】A【詳解】圓的方程為:,則圓心為,要使圓上至少存在兩點到直線的距離為1,則當(dāng)圓心到直線的距離必須小于3,即,解得.故選:A8.【正確答案】D【詳解】關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)解,即有兩個不相等的實數(shù)解,即函數(shù)與的圖象有兩個交點,因為是以為圓心,1為半徑的上半圓(除去點),又因為是過定點的直線,由圖可知,當(dāng)直線在和之間時符合要求,當(dāng)直線為時,,當(dāng)直線為時,由點到直線的距離等于半徑可得(正值舍去),所以實數(shù)的取值范圍是.故選:D.9.【正確答案】BD【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個數(shù);如果兩圓相交,進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程;通過垂徑定理可以求弦長;兩圓上的點的最長距離為圓心距和兩半徑之和,逐項分析判斷即可.【詳解】由已知得圓的圓心,半徑,圓的圓心,半徑,,故兩圓相交,所以與的公切線恰有2條,故A錯誤;做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為,故相交弦的弦長為,故C錯誤;若分別是圓上的動點,則,故D正確.故選:BD10.【正確答案】ABC【分析】由橢圓方程可得,根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】由橢圓方程知:,∴,故A正確.,,故B正確.,此時在橢圓左右頂點上,同時△面積也最大,為,故C正確,D錯誤.故選:ABC11.【正確答案】ABD【分析】選項A:三棱錐的外接球即為正方體的外接球,結(jié)合正方體的外接球分析;選項B:分別取,的中點H,G,連接,,,;證明平面平面,從而得到點F的軌跡為線段GH.選項C:根據(jù)選項B可得出平面,從而得到點F到平面的距離為定值,再結(jié)合的面積也為定值,從而可得到三棱錐的體積為定值.選項D:設(shè)為的中點,從而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到截面即為面,從而線段長度的最大值為線段的長,最小值為四棱錐以為頂點的高.【詳解】對于A:由題意可知:三棱錐的外接球即為正方體的外接球,可知正方體的外接球的半徑,所以三棱錐的外接球表面積為,故A正確;對于B:如圖分別取,的中點H,G,連接,,,.由正方體的性質(zhì)可得,且平面,平面,所以//平面,同理可得://平面,且,平面,所以平面平面,而平面,所以平面,所以點F的軌跡為線段GH,故B正確;對于C:由選項B可知,點F的軌跡為線段GH,因為平面,則點F到平面的距離為定值,同時的面積也為定值,則三棱錐的體積為定值,故C錯誤;對于D:如圖,設(shè)平面與平面交于AN,N在上.因為截面平面,平面平面,所以.同理可證,所以截面為平行四邊形,所以點N為的中點.在四棱錐中,側(cè)棱最長,且.設(shè)棱錐的高為h,因為,所以四邊形為菱形,所以的邊上的高為面對角線的一半,即為,又,則,,所以,解得.綜上,可知長度的取值范圍是,故D正確.故選ABD.12.【正確答案】【分析】先用補(bǔ)形法求出外接球的半徑R,再利用表面積公式即可得答案.【詳解】如圖:
將三棱錐補(bǔ)成長方體,則三棱錐的外接球和長方體的外接球是一致的.設(shè)長方體外接球半徑為,則:,所以,所以外接球的表面積為,故答案為.13.【正確答案】【詳解】依題意可得,則表示圓上的點與點連線的斜率,顯然當(dāng)過點且與圓相切(除外)時,斜率取得最小值,設(shè)此時切線斜率為,則切線方程為,即.由圓心到切線的距離等于半徑,得,解得,即的最小值為.故14.【正確答案】【分析】設(shè),為OP與x軸正半軸的夾角,由點線距離公式及輔助角公式即可求化簡大值.【詳解】設(shè),為OP與x軸正半軸的夾角,則點P到直線的距離為,其中,故.故15.【正確答案】(1)(2)或【分析】(1)直接利用條件求出點的軌跡方程,所求方程表示一個圓;(2)直線的斜率分存在與不存在兩種情況,當(dāng)直線的斜率不存在時,檢驗不滿足條件;當(dāng)直線的斜率存在時,用點斜式設(shè)出直線的方程,根據(jù)弦長和點到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率,進(jìn)而求出直線的方程.【詳解】(1)設(shè)點,動點與兩個定點,的距離的比是,,即,則,化簡得,所以動點的軌跡的方程為;(2)由(1)可知點的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,直線被曲線截得的弦長為,圓心到直線的距離,①當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時圓心到直線的距離是3,不符合條件;②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,即,所以圓心到直線的距離,化簡得,解得或,此時直線的方程為或.綜上,直線的方程是或.16.【正確答案】(1)證明見解析;(2).【詳解】(1)連接交于,連接,∵、分別為、的中點,∴,∵平面,平面,∴∥平面;(2)過P作PF⊥AD于F,∵側(cè)面PAD是正三角形,∴PF⊥AD,∵平面底面ABCD,平面底面ABCD=AD,平面PAD,∴PF⊥平面ABCD,故.17.【正確答案】(1)(2)【詳解】(1)設(shè)得(2)設(shè)Ax1,所以有得由題可知兩式求差化簡得即因為所以所以直線的方程為聯(lián)立解得或所以18.【正確答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)取中點為,連接,利用勾股定理證明,再結(jié)合,即可由線線垂直證明線面垂直;(2)根據(jù)(1)中所證,以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,求得的坐標(biāo),以及兩個平面的法向量,利用夾角公式,即可求得參數(shù)的值.【詳解】(1)由于正方形ABCD的邊長為,所以,取AC的中點O,連接PO,BO,由題意,得,再由,可得,即,由題易知,又,面,所以平面ABC,又平面PAC,所以平面平面ABC.(2)由(1)可知,,又,故以O(shè)C,OB,OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,由題意知,所以,所以,設(shè)平面MBC的法向量為,則,令,得;設(shè)平面的法向量為,,令,得;則,設(shè),,則上式可化為,即,所以(舍去),所以,解得.19.【正確答案】
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