2024-2025學(xué)年浙江省溫州市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省溫州市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的斜率是（

）A． B．1 C． D．2．在斜三棱柱中，（

）A． B． C． D．3．已知圓的方程為：，則圓心坐標為（

）A． B． C． D．4．已知空間向量，，若，則（

）A．1 B．-2 C．2 D．5．已知直線與直線平行，則（

）A．±2 B．2 C．-2 D．6．直線：，與圓C：相交弦中最短的弦長為（

）A．5 B．6 C．8 D．107．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，離心率分別為，，點P為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，且，若，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．已知兩點，，若直線上存在點P，使，同時存在點Q，使，則稱該直線為“兩全其美線”，給出下列直線，其中為“兩全其美線”的是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓C：，直線：，則（

）A．直線恒過定點B．直線與圓C有兩個交點C．當時，圓C上恰有三個點到直線的距離等于1D．圓C與圓恰有三條公切線10．已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，則（

）A．雙曲線的一條漸近線方程為 B．橢圓和雙曲線共焦點C．橢圓的離心率 D．橢圓和雙曲線的圖象有4個公共點11．如圖，在棱長為2的正方體中，點O為的中點，且點P滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，，則點P的軌跡長度為1B．若，則C．若，，則D．若，時，直線與平面所成的角為，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為.13．直線被橢圓截得的弦長為.14．已知三棱錐的體積為3，M是空間中一點，，則三棱錐的體積是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，中心為原點，左焦點，離心率為.(1)求該橢圓的標準方程；(2)已知點，若P是橢圓上的動點，求線段中點M的軌跡方程.16．某臺風(fēng)中心位于某地A處，距離臺風(fēng)中心A正西方向150km的B處有一人，正以北偏東角（為銳角）方向騎摩托車行進，速度為50km/h，已知距離臺風(fēng)中心km以內(nèi)會受其影響.(1)若此人剛好不被臺風(fēng)影響，求的最大值；(2)若此人騎行方向為北偏東45°，（速度保持不變）求此人受臺風(fēng)影響持續(xù)多少時間？17．已知雙曲線C的兩個焦點坐標分別為，，雙曲線C上一點P到兩焦點的距離之差的絕對值等于4.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)經(jīng)過點作直線交雙曲線的右支于A，B兩點，且M為的中點，求直線的方程；(3)已知定點，點D是雙曲線右支上的動點，求的最小值.18．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，為等邊三角形，且S在平面上的射影為中點P，，.

(1)若E為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點M，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出點M的位置并給以證明，若不存在，請說明理由.19．定義：P，Q為一個幾何系統(tǒng)中的任意兩點，則為這兩個點的最大距離，例如，某個幾何系統(tǒng)由一個圓構(gòu)成，則為此圓的直徑.(1)已知為邊長為2的正三角形，求由的外接圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的；(2)已知為直角邊為2的等腰直角三角形，其中，求分別以三邊為直徑的三個圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的；(3)已知正四面體的棱長為2，求由正四面體的棱切球（與各棱相切的球）和的外接圓所構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的.（此小題只要求給出答案，不需過程.）

答案1．【正確答案】B【詳解】直線的斜率是1.故選：B.2．【正確答案】C【詳解】三棱柱中，.故選：C.3．【正確答案】D【詳解】易知圓方程可化為，因此圓心坐標為.故選：D4．【正確答案】C【詳解】向量，，由，得，所以.故選：C5．【正確答案】A【詳解】直線與直線平行，時不合題意，不等于0時，則，所以.故選：A6．【正確答案】B【詳解】直線：過定點，圓C：的圓心，半徑，則，點在圓內(nèi)，當且僅當時，直線與圓相交所得弦長最短，所以最短的弦長為.故選：B7．【正確答案】D【詳解】不妨設(shè)，橢圓長半軸長為，雙曲線實軸長為，如下圖所示：

根據(jù)橢圓定義可知，由離心率定義可得，解得；又，可得，解得；由易知，可得；又，可得，因此可得雙曲線的方程為.故選：D8．【正確答案】C【詳解】由點，，得，由，得點的軌跡是以點為焦點，實軸長為6的雙曲線右支，方程為，由，得點的軌跡是以點為焦點，實軸長為6的雙曲線左支，方程為，直線為“兩全其美線”，當且僅當直線與雙曲線的兩支相交，對于A，雙曲線的漸近線為，直線與雙曲線無公共點，A不是；對于B，直線與雙曲線左支無公共點，B不是；對于C，由，知直線過雙曲線的中心，且在兩條漸近線所夾含焦點的區(qū)域，直線與雙曲線兩支相交，C是；對于D，由，知直線過雙曲線的中心，且在兩條漸近線所夾含虛軸的區(qū)域，直線與雙曲線無公共點，D不是.故選：C9．【正確答案】ABC【詳解】圓C：的圓心，半徑，對于A，直線：，由，解得，直線過定點，A正確；對于B，，點在圓內(nèi)，直線與圓C有兩個交點，B正確；對于C，當時，直線：，點到直線的距離，，則圓C上恰有三個點到直線的距離等于1，C正確；對于D，圓的圓心，半徑，，兩圓相交，有2條公切線，D錯誤.故選：ABC10．【正確答案】AD【詳解】對于A，雙曲線的漸近線為，A正確；對于B，橢圓的焦點在軸上，雙曲線的焦點在軸上，B錯誤；對于C，橢圓中，長半軸長，半焦距，離心率，C錯誤；對于D，由，解得，此方程組有4個解，因此橢圓和雙曲線有4個公共點，D正確.故選：AD11．【正確答案】BCD【詳解】連接，以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，則，故，對于A，若，，則，因為，所以，所以點P的軌跡長度為，對于B，，若，則，所以，故B正確；對于C，若，，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，故可設(shè)，所以點到平面的距離，在中，，則，所以，故C正確；對于D，若時，，，則，設(shè)，則，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以，，，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線C的漸近線方程為，故13．【正確答案】【詳解】由，得，解得或，則或，所以直線被橢圓截得的弦長為.故答案為.14．【正確答案】2【詳解】如下圖所示：由可得；即,可得，即；又，由空間向量基本定理可得在平面內(nèi)存在一點，使得；所以，，可得，由三棱錐的體積為3，可得三棱錐的體積即為三棱錐的體積，所以三棱錐的體積.故215．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，橢圓半焦距，由離心率為，得橢圓的長半軸長，因此該橢圓的短半軸長，所以該橢圓的標準方程為.（2）設(shè)，由M為線段的中點，得，而點是橢圓上的動點，則有，即，所以線段中點M的軌跡方程是.16．【正確答案】(1)；(2)小時.【詳解】（1）由題意，如圖，圓是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，要使此人不被臺風(fēng)影響，騎行路線正好與圓相切時，角最大，由，，則，知，則最大.（2）由題意，騎行路線所在直線方程為，圓心到直線的距離為，該直線與圓相交的弦長為，即此人被臺風(fēng)影響持續(xù)時間為.

17．【正確答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）依題意，雙曲線焦點在軸上，半焦距，實半軸長，則虛半軸長，所以雙曲線C的標準方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，否則弦中點縱坐標為0，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，由消去得：，依題意，，由M為的中點，得，解得，此時方程為，，符合題意，所以直線的方程為.（3）由，得點在雙曲線夾含虛軸的區(qū)域內(nèi)，又點在雙曲線右支上，即，因此，當且僅當是線段與雙曲線右支的交點時取等號，所以的最小值為.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)存在點，或，證明見解析.【詳解】（1）取中點，連接，又分別為的中點，

，，底面四邊形是矩形，為棱的中點，，，則，，故四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，可得平面.（2）在棱上存在點，且或，證明如下，在等邊中S在平面上的射影為中點P，所以面，則是四棱錐的高.設(shè)，則，結(jié)合，知矩形的面積，所以.以點為原點，的方向分別為軸的正方向，在面ABCD內(nèi)過點P作垂線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

故，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，.由題意，整理得，解得或，所以存在點，或時，使直線與平面所成角的余弦值為.19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意可知最大距離即為的外接圓的直徑，可以直接由正弦定理計算得到.（2）可如圖建立坐標系：以點為原點，以，為坐標軸，可以得出三個圓的圓心分別為，，，可求出圓心之間最大距離為，再由