《4.2.2 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教學(xué)案例

《4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教學(xué)案例一、案例背景《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該反璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，學(xué)生易于接受的教育形態(tài)?！鄙鲜鼍癖磉_(dá)了數(shù)學(xué)教學(xué)的新理念，即堅(jiān)持以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)。在這種理念下，數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)應(yīng)該是豐富多彩的學(xué)生創(chuàng)造性的活動(dòng)。可是，卻有很多學(xué)生對數(shù)學(xué)不大感興趣，覺得數(shù)學(xué)很難學(xué)，很枯燥。我覺得其中的一個(gè)原因是:在課堂教學(xué)中，教師沒有創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，來激發(fā)學(xué)生的求知欲。“探究教學(xué)法”正是以學(xué)生活動(dòng)為主線，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建的過程，完全符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念。作為一名青年教師，在一所普通高中任教高一數(shù)學(xué)，我以上述理論為依據(jù)，于2024年10月12日在高一1班開展了“指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)。由于在高一3班已經(jīng)講過了一遍，對教學(xué)中出現(xiàn)的問題進(jìn)行了及時(shí)更正，所以在高一1班的教學(xué)相對來說是比較成功的。二、學(xué)情分析本節(jié)課安排在《普通高中教科書?數(shù)學(xué)(1)》第四章第二節(jié)第二課，是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，再加上前面已經(jīng)初步探究了冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，所以在本節(jié)課學(xué)習(xí)還運(yùn)用了“類比學(xué)習(xí)”“數(shù)形結(jié)合”的思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的興趣和欲望。三、課堂實(shí)錄過程師:這節(jié)課我們將類比研究冪函數(shù)性質(zhì)的過程和方法，進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù)，首先畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，然后借助圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)，體會知識之間的聯(lián)系。師：我們一塊來看一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，同學(xué)們齊讀一下。生：知識與技能：掌握指數(shù)函數(shù)的圖象，性質(zhì)及其簡單應(yīng)用；過程與方法：通過圖象特征的觀察，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)能力，在學(xué)習(xí)過程中體會從特殊到一般及數(shù)形結(jié)合方法；情感態(tài)度價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與過程，培養(yǎng)手腦并用，多思勤練的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和勇于探索，鍥而不舍的求學(xué)精神。師：我們本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難點(diǎn)是用數(shù)形結(jié)合的方法從特殊到一般的探索，概括指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。【設(shè)計(jì)意圖】向?qū)W生展示目標(biāo)與重難點(diǎn)，能讓學(xué)生清晰的了解本節(jié)課內(nèi)容。師：下面我們先從簡單的函數(shù)y=2x開始，請同學(xué)們完成x，y的對應(yīng)值表4.2-2，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=2生：學(xué)生通過列表，描點(diǎn)，連線作圖。（在這項(xiàng)活動(dòng)中，我先給學(xué)生留了3分鐘時(shí)間，同時(shí)也找了兩名不同程度的學(xué)生上黑板作圖，有一個(gè)學(xué)生畫的相對規(guī)范，另一個(gè)學(xué)生最后連線時(shí)用的是折線，當(dāng)然這個(gè)問題其他個(gè)別學(xué)生也有出現(xiàn)，為了讓學(xué)生更直觀的體會圖形的形成過程，我用作圖軟件給學(xué)生在PPT上進(jìn)行了展示）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐，小組討論的過程中，體會知識的由來，從而讓學(xué)生成為課堂的主人。師：為了得到指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0師：請同學(xué)們再次利用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=(12生：同學(xué)們在練習(xí)本上迅速畫出y=(12（同樣提問了兩名同學(xué)，由于有了上述作圖經(jīng)驗(yàn)，這次作圖十分規(guī)范，在下面轉(zhuǎn)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)只有2名同學(xué)畫的有問題(只取了幾個(gè)大于0的值，導(dǎo)致圖象不完整，影響后面規(guī)律的發(fā)現(xiàn))，通過讓他們思考再取幾個(gè)小于0的值是否仍然符合的方法，已經(jīng)幫助他們改正，后來我對學(xué)生進(jìn)行了鼓勵(lì)和表揚(yáng)，讓學(xué)生體會知識探索的快樂）師：比較y=2x和y=(生：圖象關(guān)于y軸對稱(課堂氛圍十分活躍)（學(xué)生直觀看到的是圖象上的特征）師：它們兩個(gè)圖象上的點(diǎn)又有什么關(guān)系呢？生：有一個(gè)學(xué)生說：（1,2），（2,4師：非常棒，那同學(xué)們能否再用一個(gè)一般的坐標(biāo)說明呢？如果點(diǎn)(x，y)在y=2x上，猜想哪個(gè)點(diǎn)會在生：(-x，y)(學(xué)生異口同聲回答)師：因?yàn)閥=(12)x=2-x師：同學(xué)們再觀察，這兩個(gè)函數(shù)的底數(shù)有怎樣的特征呢？生：互為倒數(shù)。師：同學(xué)們猜想y=3生：是。（利用作圖軟件向?qū)W生展示，發(fā)現(xiàn)確實(shí)有同樣特征）師：即底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y軸對稱，根據(jù)這種對稱性，就可以利用一個(gè)函數(shù)的圖象，畫出另一個(gè)函數(shù)的圖象?！驹O(shè)計(jì)意圖】上述過程讓學(xué)生通過探究，觀察，總結(jié)得到結(jié)論，從而體會由特殊到一般的過程，讓學(xué)生利用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，以及通過邏輯推理獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，好處是便于將指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)分為a>0和0<a<1兩師：選取底數(shù)a(a>0且a≠1)的若干個(gè)不同的值，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的圖象，觀察這些圖象的位置，公共點(diǎn)和變化趨勢，它們有哪些共性？由此你能概括出指數(shù)函數(shù)生：完成課本表格4.2-3，兩名同學(xué)上黑板板書。師：我們看一下黑板上學(xué)生所寫的，全部正確，說明大家的觀察，總結(jié)能力特別強(qiáng)，值得表揚(yáng)。（困難之處是有學(xué)生不知道分a>0和0<a<1兩種情況，我通過讓學(xué)生觀察、討論、再加上引導(dǎo)，從而層層突破難點(diǎn)，為后面對數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)）【設(shè)計(jì)意圖】該過程讓學(xué)生通過信息技術(shù)得到a的任意取值時(shí)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的大量圖象，并根據(jù)所作的這些圖象直觀地歸納它們的共同特點(diǎn)。好處是底數(shù)a的取值自然，所作函數(shù)的圖象也是自然產(chǎn)生的，而非事先規(guī)定的，且用信息技術(shù)能便捷地作出大量圖象，易于進(jìn)行歸納。有意識地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生“以形助數(shù)”，先觀察圖象師：同學(xué)們做一下課本例3，比較下列各題中兩個(gè)值的大小。(1)1.72.5(2)0.8-√2(3)1.70.3師：下面提問學(xué)生回答生：第一個(gè)為小于，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y=1.7x，單調(diào)遞增,2.5<3,生：第二個(gè)為小于，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y=0.8x，單調(diào)遞減，-√2>-√3,生：第三個(gè)為大于，取中間值1，1.70.3師：由以上學(xué)生的回答，我們可以總結(jié)出，當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性比較大??；當(dāng)?shù)讛?shù)和指數(shù)都不同時(shí)，可以借助中間值1進(jìn)行比較，要注意“1”的形式變化。（由于學(xué)生已經(jīng)有了冪函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，所以前兩個(gè)題會的學(xué)生較多，而第三個(gè)會的較少，所以我又進(jìn)行了講解，為什么取中間值1，當(dāng)然取其它值也可以，做這類題目需要做到靈活變通，也有學(xué)生通過圖象觀察得到的，方法也較好）【設(shè)計(jì)意圖】主要目的是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，根據(jù)問題的特點(diǎn)構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)是關(guān)鍵也是難點(diǎn)。本例能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并促使他們形成用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題的意識。師：同學(xué)們再看一下課本例4，根據(jù)圖象估計(jì)該城市人口每翻一番所需時(shí)間？生：約為20年。師：該城市人口從80萬人開始，經(jīng)過20年會增長到多少萬人？生：160萬人?！驹O(shè)計(jì)意圖】主要目的是利用指數(shù)函數(shù)的圖象分析和解決問題，建立函數(shù)圖像與概念，性質(zhì)的聯(lián)系，進(jìn)一步促使學(xué)生形成用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題的意識。師：同學(xué)們，我們一起來回顧下本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。生：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有定義域，值域，定點(diǎn)，單調(diào)性(學(xué)生積極回答)師：本節(jié)課作業(yè)是課本118頁練習(xí)1.2。四、心得體會本節(jié)后結(jié)束后，我結(jié)合學(xué)生對課堂的反饋，自己也進(jìn)行了反思，認(rèn)為在今后教學(xué)中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：第一，教的轉(zhuǎn)變。這節(jié)課我的角色從知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者，合作者與共同研究者。在引導(dǎo)學(xué)生畫圖，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，又利用作圖軟件直觀地展示，激發(fā)學(xué)生自覺探究數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣。第二，學(xué)的轉(zhuǎn)變。學(xué)生的角色從學(xué)會轉(zhuǎn)變?yōu)闀W(xué)，這節(jié)課學(xué)生不是停留在學(xué)會課本知識層面，而是站在研究者的角度深入其境，做學(xué)習(xí)的主人。第三，課堂氛圍的轉(zhuǎn)變。整節(jié)課以“流暢、開放、合作、引導(dǎo)”為基礎(chǔ)特征，我對學(xué)生的思維減少干預(yù)，教學(xué)過程呈現(xiàn)出一種比較流暢的特征。整節(jié)課學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與我之間以“對話、討論”為出發(fā)點(diǎn)，以互助合