第二章復(fù)變函數(shù)

第二章解析函數(shù)一.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念,可導(dǎo)的判定二.解析函數(shù)的定義,判定三.復(fù)變函數(shù)中的一些常用初等函數(shù)介紹2.1導(dǎo)數(shù)2.1.1導(dǎo)數(shù)的概念（實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的推廣）定義存在,從實(shí)質(zhì)上講，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，要比實(shí)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)要求要高的多，復(fù)雜的多。主要原因就是第三章，我們將看到，若一個(gè)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，就有任意階的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于實(shí)變函數(shù)這是不具有的性質(zhì)。例

討論的可導(dǎo)性。解:在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。所以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則PP37定理2.5,2.6,2.7

給出了結(jié)論.與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算規(guī)則相同.2.1.2函數(shù)可導(dǎo)的必要與充分條件(可導(dǎo)點(diǎn)的判定)討論兩種特殊情況，柯西-黎曼方程定理（1）關(guān)于柯西-黎曼方程的記憶注：實(shí)部,虛部對(duì)應(yīng)相等得到柯西-黎曼方程（3）將結(jié)論推廣至區(qū)域D在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)（2）導(dǎo)數(shù)公式：(4)實(shí)際應(yīng)用：直接利用定理結(jié)論有一定難度。利用：解：判定函數(shù)的可導(dǎo)點(diǎn),并求導(dǎo)數(shù).解：2.2解析函數(shù)2.2.1解析函數(shù)的概念定義:注:函數(shù)解析與可導(dǎo)之間的關(guān)系:針對(duì)一個(gè)點(diǎn):針對(duì)一個(gè)區(qū)域:放大D2.2.2函數(shù)解析的必要與充分條件定理若可導(dǎo)的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域,若可導(dǎo)的點(diǎn)只是一些孤立的點(diǎn),解:例解:(復(fù)平面構(gòu)成一個(gè)區(qū)域)根據(jù)柯西-黎曼方程,所以,相互正交.例:2.3初等函數(shù)介紹幾種常見(jiàn)的復(fù)變函數(shù)—指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)2.3.1指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì):2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)定義：記：

多值性-------主值例如：性質(zhì):Z為實(shí)數(shù)2.3.3冪函數(shù)定義:為z的冪函數(shù).…單值函數(shù)….n值函數(shù)….n值函數(shù)….無(wú)窮值函數(shù)2.3.4三角函數(shù)定義:(1)各種三角恒等式仍然成立

性質(zhì):例如:(3)類(lèi)似地,