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北京市北京二中教育集團(tuán)2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.322.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為A.72 B.64 C.48 D.323.已知滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.5.若等差數(shù)列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.846.已知向量,則()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()7.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-28.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點(diǎn),則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項的和為A. B. C. D.11.已知的共軛復(fù)數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知,復(fù)數(shù),,且為實數(shù),則()A. B. C.3 D.-3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.戊戌年結(jié)束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數(shù)字作答),14.圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME-7)的會徽圖案,它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2)),其中,則的值是______.15.在四面體中,分別是的中點(diǎn).則下述結(jié)論:①四面體的體積為;②異面直線所成角的正弦值為;③四面體外接球的表面積為;④若用一個與直線垂直,且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積最大值為.其中正確的有_____.(填寫所有正確結(jié)論的編號)16.已知,,,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元,乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對于每臺設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修,三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),希望設(shè)備購買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購買哪種設(shè)備?請說明理由.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范圍.19.(12分)已知;.(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為真命題且為假命題,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,直線交曲線于兩點(diǎn),為中點(diǎn).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)若,求的值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn),且,點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長為4的正方形,高為4,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個底面邊長為4,高為3的正四棱錐,利用體積公式,即可求解。【詳解】由題意,幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個底面邊長為4,高為3的正四棱錐,所以幾何體的體積為,故選B?!军c(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算,在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,要根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)公式求解。3、C【解析】
設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由圖可知當(dāng)過點(diǎn)的直線平行于軸時,此時成立;取所有負(fù)值都成立;當(dāng)過點(diǎn)時,取正值中的最小值,,此時;故的取值范圍為;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題,解題時作出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵.對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.4、A【解析】
化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解?!驹斀狻亢瘮?shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。5、B【解析】
由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求,,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
由題意利用兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,兩個向量平行、垂直的性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐標(biāo)對應(yīng)不成比例,故、不平行,故排除A;顯然,?3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),顯然,和的坐標(biāo)對應(yīng)不成比例,故和不平行,故排除C;∴?()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正確,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個向量平行、垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當(dāng)時,有最大值,當(dāng)時,有最小值.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.9、C【解析】
討論當(dāng)時,是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時,是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時,若,則不恒成立,不符合題意,若時,要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時,一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.10、A【解析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.11、D【解析】
設(shè),整理得到方程組,解方程組即可解決問題.【詳解】設(shè),因為,所以,所以,解得:,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識,考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
把和代入再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡,利用虛部為0求得m值.【詳解】因為為實數(shù),所以,解得.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,考查運(yùn)算求解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1080【解析】
按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種,然后用分步計數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.14、【解析】
先求出向量和夾角的余弦值,再由公式即得.【詳解】如圖,過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),那么向量和夾角為,,,,,且是直角三角形,,同理得,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積,解題關(guān)鍵是找到向量和的夾角.15、①③④.【解析】
補(bǔ)圖成長方體,在長方體中利用割補(bǔ)法求四面體的體積,和外接球的表面積,以及異面直線的夾角,作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征,可以補(bǔ)圖成長方體設(shè)其邊長為,,解得補(bǔ)成長,寬,高分別為的長方體,在長方體中:①四面體的體積為,故正確②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值,可得正弦值為,故錯;③四面體外接球就是長方體的外接球,半徑,其表面積為,故正確;④由于,故截面為平行四邊形,可得,設(shè)異面直線與所成的角為,則,算得,.故正確.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積,外接球的表面積,異面直線夾角和截面面積最值,關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)線面位置關(guān)系的處理方法,補(bǔ)圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法,平常需要積累常見幾何體的補(bǔ)圖方法.16、【解析】
由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【詳解】,,,,,,,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)分布列見解析,分布列見解析;(2)甲設(shè)備,理由見解析【解析】
(1)的可能取值為10000,11000,12000,的可能取值為9000,10000,11000,12000,計算概率得到分布列;(2)計算期望,得到,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,,計算分布列,計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(1)的可能取值為10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列為如下9000100001100012000(2)設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,的可能取值為2,3,4,5,,,則的分布列為2345的可能取值為3,4,5,6,,,則的分布列為3456由于,,因此需購買甲設(shè)備【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.18、(1);(2).【解析】
分析:(1)先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組,分別求解,最后求并集,(2)先化簡不等式為,再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范圍.詳解:(1)當(dāng)時,可得的解集為.(2)等價于.而,且當(dāng)時等號成立.故等價于.由可得或,所以的取值范圍是.點(diǎn)睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動向.19、(1)(2)或【解析】
(1)根據(jù)為真命題列出不等式,進(jìn)而求得實數(shù)的取值范圍;(2)應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣:真“非”假,假“非”真,一真“或”為真,兩真“且”才真.【詳解】(1),且,解得所以當(dāng)為真命題時,實數(shù)的取值范圍是.(2)由,可得,又∵當(dāng)時,,.∵當(dāng)為真命題,且為假命題時,∴與的真假性相同,當(dāng)假假時,有,解得;當(dāng)真真時,有,解得;故當(dāng)為真命題且為假命題時,可得或.【點(diǎn)睛】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問題,存在性問題,考查復(fù)合命題的真假判斷,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20、(1);(2)見解析【解析】
將函數(shù)解析式化簡即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】(Ⅰ)由題意得原式的最小正周期為.(Ⅱ),.當(dāng),即時,;當(dāng),即時,.綜
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