2024-2025學年高中數(shù)學第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.2空間向量的基本定理應用案鞏固提升新人教B版選修2-1

PAGEPAGE13.1.2空間向量的基本定理[A基礎達標]1．對于空間的隨意三個向量a，b，2a－b，它們肯定是()A．共面對量B．共線向量C．不共面對量D．既不共線也不共面對量解析：選A．因為2a－b可用a，b線性表示，所以2a－b與a，b肯定共面．2．設空間四點O，A，B，P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈ABB．P?ABC．點P不肯定在直線AB上D．以上都不對解析：選A．由共線向量定理知，P，A，B三點共線，故A正確．3．在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，O′是上底面的中心，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AO′,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a＋b＋c解析：選B．如圖，連接A′C′，則eq\o(AO′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′O′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4．在下列條件中，使M與A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))解析：選C．因為eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M與A，B，C必共面．5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點F是側(cè)面CD1的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－neq\o(AA1,\s\up6(→))，則m，n的值分別為()A．eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)解析：選A．由于eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)，故選A．6．非零空間向量e1，e2不共線，使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k＝________．解析：若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))所以k＝±1.答案：±17．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝________．解析：因為BE＝3ED，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))8．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________．解析：因為m與n共線，所以存在實數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))答案：1－19．已知空間的一個基底{a，b，c}，p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試推斷p、m、n是否共面？解：假設p、m、n共面，因m與n不共線，故存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)滿意p＝xm＋yn，則3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因為a、b、c不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1.))而此方程組無解，所以p不能用m、n表示，即p、m、n不共面．10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點共線．證明：設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因為eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).所以E，F(xiàn)，B三點共線．[B實力提升]11．如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,3) D．1解析：選C．因為eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).12．正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0(λ∈R)，則λ＝________．解析：如圖，連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，易知EFeq\o(\s\do3(),\s\up4(∥))eq\f(1,2)A1D，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)13．已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，M，N分別為PC，PD上的點，且M分PC成定比2，N為PD的中點，求滿意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實數(shù)x，y，z的值．解：法一：如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(EM,\s\up6(→)).因為eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→)).連接AC，則eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因為eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))不共面．所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).法二：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因為eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AP,\s\up6(→))不共面，所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).14．(選做題)如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，點H為PC上的點，且eq\f(PH,HC)＝eq\f(1,2)，點G在AH上，且eq\f(AG,AH)＝m，若G，B，P，D四點共面，求m的值．解：連接BG(圖略)．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，因為eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).因為eq\f(PH,HC)＝eq\f(1,2)，所以eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\