2025版高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.4等比數(shù)列第1課時(shí)等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式課時(shí)作業(yè)案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時(shí)等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知{an}是等比數(shù)列，a3＝2，a6＝eq\f(1,4)，則公比q＝(D)A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)[解析]由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2,a1q5＝\f(1,4)))，∵a1≠0，q≠0，∴q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).故選D．2．?dāng)?shù)列m，m，m，…肯定(C)A．是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列，但不肯定是等比數(shù)列D．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列[解析]當(dāng)m＝0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列．當(dāng)m≠0時(shí)，數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．故選C．3．(2024·湖南武岡二中高二月考)在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，則a4與a8的等比中項(xiàng)是(B)A．±4 B．4C．±eq\f(1,4) D．eq\f(1,4)[解析]由題意，得a4＝a1q3＝eq\f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq\f(1,8)×27＝16，∴a4與a8的等比中項(xiàng)為a6＝4.4．一批設(shè)備價(jià)值a萬元，由于運(yùn)用磨損，每年比上一年價(jià)值降低b%，則n年后這批設(shè)備的價(jià)值為(C)A．na(1－b%)B．a(chǎn)(1－nb%)C．a(chǎn)(1－b%)nD．a(chǎn)[1－(b%)n][解析]依題意可知第一年后的價(jià)值為a(1－b%)，其次年后的價(jià)值為a(1－b%)2，依此類推形成首項(xiàng)為a(1－b%)，公比為1－b%的等比數(shù)列，則可知n年后這批設(shè)備的價(jià)值為a(1－b%)n.故選C．5．(2024·山東菏澤一中高二月考)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，若a2，a5的等差中項(xiàng)為4，a5，a8的等差中項(xiàng)為8eq\r(2)，則logeq\f(1,2)q的值為(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2[解析]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝8,a5＋a8＝16\r(2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＋a1q4＝8,a1q4＋a1q7＝16\r(2)))，解得q＝eq\r(2)，∴eqlog\s\do8(\f(1,2))q＝eqlog\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)＝log2－12eq\s\up7(\f(1,2))＝－eq\f(1,2).6．一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其任何項(xiàng)都是后面兩項(xiàng)的和，則其公比是(D)A．eq\f(\r(5),2) B．eq\f(1－\r(5),2)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5)－1,2)[解析]由已知得an＝an＋1＋an＋2，即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，∴q2＋q＝1，解得q＝eq\f(－1±\r(5),2).又q>0，∴q＝eq\f(\r(5)－1,2).二、填空題7．一個(gè)直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值是__eq\f(\r(5)－1,2)__.[解析]設(shè)該直角三角形的三邊分別為a，aq，aq2(q>1)，則(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝eq\f(\r(5)＋1,2).較小銳角記為θ，則sinθ＝eq\f(1,q2)＝eq\f(\r(5)－1,2).8．已知等比數(shù)列前3項(xiàng)為eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，則其第8項(xiàng)是__－eq\f(1,256)__.[解析]∵a1＝eq\f(1,2)，a2＝a1q＝eq\f(1,2)q＝－eq\f(1,4)，∴q＝－eq\f(1,2)，∴a8＝a1q7＝eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))7＝－eq\f(1,256).三、解答題9．(2024·山東菏澤一中高二月考)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3(1)求an；(2)若數(shù)列{bn}滿意bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.[解析](1)設(shè)公比為q，由題意得2a1q＋a1q2＝30∴4q＋2q2＝30，∴q2＋2q－15＝0，∴q＝3或－5.∵an＞0，∴q＝3.∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.10．(2024·全國卷Ⅰ文，17)已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，nan＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))an，設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．[解析](1)由條件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．理由如下：由條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，則m與k的大小關(guān)系是(C)A．m>kB．m＝kC．m<kD．m與k的大小隨q的值而改變[解析]m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．2．?dāng)?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1、a3、a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的公比為(C)A．eq\r(2) B．4C．2 D．eq\f(1,2)[解析]∵a1、a3、a7為等比數(shù)列{bn}中的連續(xù)三項(xiàng)，∴aeq\o\al(2,3)＝a1·a7，設(shè){an}的公差為d，則d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(4d,2d)＝2，故選C．3．已知a1，a2，a3，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則(A)A．a(chǎn)1＋a8>a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8<a4＋a5C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不定[解析]由條件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.4．在如下表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為(D)120.51abcA．1 B．2C．3 D．eq\f(9,8)[解析]按題意要求，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列填表如圖，12340.511.520.250.50.7510.1250.250.3750.50.06250.1250.18750.25故a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,8)，c＝eq\f(1,4)，則a＋b＋c＝eq\f(9,8).故選D．二、填空題5．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金eq\f(1,2)，第2關(guān)收稅金eq\f(1,3)，第3關(guān)收稅金eq\f(1,4)，第4關(guān)收稅金eq\f(1,5)，第5關(guān)收稅金eq\f(1,6)，5關(guān)所收稅金之和，恰好1斤重，設(shè)這個(gè)人原本持金為x，按此規(guī)律通關(guān)第8關(guān)”，則第8關(guān)需收稅金為__eq\f(1,72)__x.[解析]第1關(guān)收稅金：eq\f(1,2)x；第2關(guān)收稅金：eq\f(1,3)(1－eq\f(1,2))x＝eq\f(1,2×3)x；第3關(guān)收稅金：eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2)－eq\f(1,6))x＝eq\f(1,3×4)x；…，可得第8關(guān)收稅金：eq\f(1,8×9)x，即eq\f(1,72)x.6．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1.當(dāng)a3取最小值時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝__2n－1__.[解析]設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0)，由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq\f(1,q－1).a3＝a1q2＝eq\f(q2,q－1)＝eq\f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q>0)，而－eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＝－(eq\f(1,q)－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，①當(dāng)q＝2時(shí)①式有最大值eq\f(1,4)，所以當(dāng)q＝2時(shí)a3有最小值4.此時(shí)a1＝eq\f(1,q－1)＝eq\f(1,2－1)＝1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n－1.故答案為2n－1.三、解答題7．等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a3、a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.[解析](1)設(shè){an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32，設(shè){bn}的公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8,b1＋4d＝32))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16,d＝12)).從而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.8．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解析](1)證明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)