2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.2.1命題與量詞學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE1.2常用邏輯用語1.2.1命題與量詞素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．理解命題的概念，并會(huì)推斷命題的真假．2．理解全稱量詞、存在量詞的含義．3．駕馭全稱量詞命題與存在量詞命題的真假推斷.1．積累全稱量詞和存在量詞，能依據(jù)題意確定命題中含有的量詞，尤其是省略量詞的命題中的隱含量詞．2．體會(huì)全稱量詞命題和存在量詞命題的不同表述方法．3．會(huì)用符號(hào)表示全稱量詞命題和存在量詞命題，并能依據(jù)所學(xué)學(xué)問推斷其真假．4．依據(jù)命題的真假求參數(shù)時(shí)，留意含全稱量詞的是恒成立問題，含存在量詞的是能成立問題，不要混淆.必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問1．命題定義可供真假推斷的陳述語句分類真命題：推斷為真的語句假命題：推斷為假的語句留意數(shù)學(xué)中的命題，常常借助符號(hào)和式子來表達(dá)一個(gè)命題，要么是真命題，要么是假命題，不能同時(shí)既是真命題又是假命題2．全稱量詞與全稱量詞命題(1)全稱量詞：“隨意”“全部”“每一個(gè)”在陳述中表示所述事物的全體，稱為__全稱量詞__，用符號(hào)“?”表示．(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．(3)符號(hào)表示：“對集合M中的全部元素x，r(x)”．可簡記為：?x∈M，r(x)．3．存在量詞與存在量詞命題(1)存在量詞：“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，稱為__存在量詞__，用符號(hào)“?”表示．(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題．(3)符號(hào)表示：“存在集合M中的元素x，s(x)”．可簡記為：?x∈M，s(x)．思索：常見的全稱量詞和存在量詞還有哪些？提示：常見的全稱量詞還有“一切”“全部”“任給”“凡是”等．常見的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對某些”等．基礎(chǔ)自測1．下列語句：①3>2；②π是有理數(shù)嗎？③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有一個(gè)根為x＝－1；⑤x>5.其中是命題的是(B)A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤解析：①是真命題；②是疑問句不是命題；③是真命題；④也是真命題；⑤不能推斷真假，不是命題．故選B．2．下列命題中是存在量詞命題的是(B)A．?x∈R，x2≥0B．?x∈R，x2<0C．平行四邊形的對邊不平行D．矩形的任一組對邊都不相等解析：A，C，D是全稱量詞命題，B是存在量詞命題．3．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(C)A．每個(gè)二次函數(shù)的圖像都開口向上B．存在實(shí)數(shù)x，平方為8C．全部菱形的四條邊都相等D．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0使不等式xeq\o\al(2,0)－3x0＋6<0成立解析：A是全稱量詞命題但是假命題，B，D是存在量詞命題，C是全稱量詞命題且是真命題．4．將命題“x2＋y2≥2xy”改寫為全稱量詞命題為__對隨意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立__.解析：“x2＋y2≥2xy”是指對隨意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題為：對隨意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．5．下列命題中，是真命題的為__①②③⑤__.①5能整除15；②不存在實(shí)數(shù)x，使得x2－x＋2<0；③對隨意實(shí)數(shù)x，均有x－1<x；④方程x2＋3x＋3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤不等式eq\f(x2＋x＋1,|x|)<0的解集為空集．解析：對于①，由整數(shù)的整除性知該命題是真命題；對于②，因Δ<0，故x2－x＋2<0無解，所以該命題是真命題；對于③，因隨意一個(gè)數(shù)減去一個(gè)正數(shù)后都小于原數(shù)，故該命題是真命題；對于④，因Δ<0，故方程x2＋3x＋3＝0無解，所以該命題是假命題；對于⑤，易知eq\f(x2＋x＋1,|x|)>0，所以eq\f(x2＋x＋1,|x|)<0的解集為空集，所以該命題是真命題．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難類型命題真假的推斷┃┃典例剖析__■典例1推斷下列語句是不是命題，假如是，說明其真假．(1)奇數(shù)不能被2整除；(2)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)；(3)當(dāng)(a－1)2＋(b－1)2＝0時(shí)，a＝b＝1；(4)已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時(shí)，y＝3，x＝2.思路探究：數(shù)學(xué)中要判定一個(gè)命題為真命題，須要經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明；要判定一個(gè)命題為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．解析：(1)(2)(3)(4)都是陳述句，且能推斷真假，因此都是命題．(1)是真命題．因?yàn)槠鏀?shù)是不能被2整除的整數(shù)．(2)是假命題．反例：0的平方還是0，不是正數(shù)．(3)是真命題．由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1.(4)是假命題．反例：y＝4，x＝3也滿意y＝x＋1.歸納提升：推斷一個(gè)語句是不是命題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)“是陳述句”．(2)“可以推斷真假”，這兩個(gè)條件缺一不行．一般來說，疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■1．推斷下列命題的真假：(1)一個(gè)角的補(bǔ)角必大于這個(gè)角；(2)一個(gè)有理數(shù)必有兩個(gè)平方根；(3)直徑所對的圓周角是直角；(4)兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；(5)等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．解析：(1)是假命題，例如設(shè)這個(gè)角是90°，它的補(bǔ)角是90°，而90°＝90°.(2)是假命題，例如有理數(shù)－1沒有平方根．(3)是真命題，這是關(guān)于圓周角的結(jié)論．(4)是假命題，兩條平行直線被第三條直線所截，同位角才相等．(5)是真命題，這是等式的性質(zhì)．類型全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析┃┃典例剖析__■典例2推斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題．(1)梯形的對角線相等；(2)存在一個(gè)四邊形有外接圓；(3)二次方程都存在實(shí)數(shù)根；(4)負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．思路探究：首先確定量詞，然后推斷命題的類型．解析：(1)命題完整的表述應(yīng)為“全部梯形的對角線相等”，很明顯為全稱量詞命題．(2)命題為存在量詞命題．(3)命題完整的表述為“全部的二次方程都存在實(shí)數(shù)根”，故為全稱量詞命題．(4)命題完整的表述是“全部負(fù)數(shù)都沒有對數(shù)”，故為全稱量詞命題．歸納提升：推斷一個(gè)語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題的思路┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■2．推斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：(1)對隨意的n∈Z,2n＋1是奇數(shù)；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；(4)全部的正方形都是矩形．解析：(1)含有全稱量詞“隨意”，故為全稱量詞命題．(2)含有存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．(3)含有存在量詞“有的”，故為存在量詞命題．(4)含有全稱量詞“全部”，故為全稱量詞命題．類型全稱量詞命題、存在量詞命題的真假推斷┃┃典例剖析__■典例3(1)推斷下列全稱量詞命題的真假：①全部的整數(shù)都是有理數(shù)；②?x∈R，x2＋1≥1；③對每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；④末位是0的整數(shù)，可以被5整除．(2)推斷下列存在量詞命題的真假：①至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除；②?x∈Q，x2＝3；③?x∈Z，x3<1；④存在正實(shí)數(shù)x，y，使x2＋y2＝0.思路探究：對于全稱量詞命題，推斷為真，須要證明，推斷為假，舉出反例；對于存在量詞命題，推斷為真，舉出特例，推斷為假，須要證明．解析：(1)①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，所以該命題是真命題．②因?yàn)閤∈R，所以x2≥0，所以x2＋1≥1，所以該命題是真命題．③eq\r(2)是無理數(shù)，但(eq\r(2))2＝2是有理數(shù)，所以該命題是假命題．④末位是0或5的整數(shù)，都能被5整除，所以該命題是真命題．(2)①真命題．如10.②假命題．由于使x2＝3成立的x的值只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數(shù)．因此，任何一個(gè)有理數(shù)的平方都不等于3，所以該命題是假命題．③真命題．由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，能使x3<1，所以該命題是真命題．④假命題．要使x2＋y2＝0成立，只有x＝y(tǒng)＝0，而0不是正實(shí)數(shù)，因而不存在正實(shí)數(shù)x，y，使x2＋y2＝0，因此，該命題是假命題．歸納提升：推斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的方法(1)要推斷一個(gè)全稱量詞命題為真，必需給定集合中的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；但要推斷一個(gè)全稱量詞命題為假時(shí)，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為假．(2)要推斷一個(gè)存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；要推斷一個(gè)存在量詞命題為假，必需對給定集合中的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為假．┃┃對點(diǎn)訓(xùn)練__■3．下列命題中的假命題是(B)A．?x∈R，|x|＋1>0 B．?x∈N＋，(x－1)2>0C．?x∈R，eq\f(1,x)<1 D．?x∈R,5x－3＝2解析：A項(xiàng)，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正確；B項(xiàng)，∵x∈N＋，∴當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0與(x－1)2>0沖突，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)x>1時(shí)，eq\f(1,x)<1，故C正確；D項(xiàng)，當(dāng)x＝1時(shí)，5x－3＝2，故D正確．易混易錯(cuò)警示推斷命題真假時(shí)考慮不全┃┃典例剖析__■典例4(2024·石家莊中學(xué)畢業(yè)年級(jí)質(zhì)檢)給定集合A，若對于隨意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下三個(gè)結(jié)論：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}為閉集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；③若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中正確結(jié)論的序號(hào)是__②__.錯(cuò)因探究：A1，A2為閉集，存在A1∪A2不是閉集，不滿意閉集條件．解析：①中，－4＋(－2)＝－6?A，所以①不正確；②中設(shè)n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，則n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正確；③令A(yù)1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，則A1，A2為閉集合，但A1∪A2不是閉集合，所以③不正確．誤區(qū)警示：推斷命題的真假，肯定要全面分析命題中的相關(guān)條件與結(jié)論，做到心中有數(shù)，切忌主觀臆斷，丟三落四．學(xué)科核心素養(yǎng)含有量詞命題中參數(shù)范圍的策略┃┃典例剖析__■已知含量詞的命題真假求參數(shù)的取值范圍，實(shí)質(zhì)上是對命題意義的考查．解決此類問題，肯定要辨清參數(shù)，恰當(dāng)選取主元，合理確定解題思路．解決此類問題的關(guān)鍵是依據(jù)含量詞命題的真假轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)問，利用集合、方程、不等式等學(xué)問求解參數(shù)的取值范圍，解題過程中要留意變量取值范圍的限制．典例5(1)已知命題p(x)：x＋1>x為真命題，求x的取值范圍．(2)存在x∈R，使x2＋x＋a＝0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(3)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>a}，若?a∈A，都有a∈B成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．思路探究：把存在與恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式端點(diǎn)值的大小關(guān)系．解析：(1)因?yàn)閤＋1>x，所以1>0(此式恒成立)，所以x∈R.(2)因?yàn)榇嬖趚∈R，使x2＋x＋a＝0成立，所以方程x2＋x＋a＝0存在實(shí)數(shù)根，則Δ＝1－4a≥0，解得a≤eq\f(1,4)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤eq\f(1,4).(3)因?yàn)?a∈A，都有?a∈B成立，所以A?B，則a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2.課堂檢測·固雙基1．(多選)下列命題是全稱量詞命題的是(ABD)A．中國公民都有受教化的權(quán)利B．每一個(gè)中學(xué)生都要接受愛國主義教化C．有人既能寫小說，也能搞獨(dú)創(chuàng)創(chuàng)建D．任何一個(gè)數(shù)除0，都等于0解析：A、B、D都是全稱量詞命題．2．下列命題中是真命題的是(B)A．?x∈R，x2＋1<0 B．?x∈Z,3x＋1是整數(shù)C．?x∈R，|x|>3 D．?x∈Q，x2∈Z解析：A是假命題．因?yàn)?x∈R，x2＋1>1；B是真命題．當(dāng)x＝1時(shí)，3x＋1＝4是整數(shù)；C是假命題．如x＝2時(shí)，|x|<3；D是假命題．如x＝eq\f(1,2)，x2?Z.3．下列命題中，是全稱量詞命題的有__①②③__，是存在量詞命題的有__④__.(填序號(hào))①正方形的四條邊相等；②全部有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)；⑤全部正數(shù)都是實(shí)數(shù)嗎？解析：④為存在量詞命題，①②③為全稱量詞命題