2024屆新高考數(shù)學練習：函數(shù)的奇偶性與周期性

2024屆新高考數(shù)學高頻考點專項練習：專題二考點06函數(shù)的奇偶性與周期性1.已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，且是偶函數(shù).當時，，則（）A.-16 B.-8 C.8 D.162.下列函數(shù)在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，.則（）A.0 B. C.1 D.4.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，若，則滿足不等式的x的取值范圍為（）A. B. C. D.5.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.6.已知是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，當時，.若，則（）A. B. C. D.7.已知定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則（）A. B. C.-1 D.18.已知函數(shù)的定義域為R，且函數(shù)的圖象關于點(1，0)對稱，對于任意的x，總有成立，當時，，函數(shù)，對任意，存在，使得成立，則滿足條件的實數(shù)m構成的集合為（）A. B.C. D.9.（多選）設函數(shù)的定義域為R，若存在常數(shù)，使對一切實數(shù)x均成立，則稱為“倍約束函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù)，其中是“倍約束函數(shù)”的是（）A.B.C.D.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且對一切均有10.（多選）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且對任意，恒有.當時，.則下列說法正確的是（）A.的周期 B.的最大值為4C. D.為偶函數(shù)11.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，則________；當時，________.12.若是R上的奇函數(shù)，且，則的值為________.13.已知定義在R上的奇函數(shù)，對于都有，且滿足，，則實數(shù)m的取值范圍為____________.14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則實數(shù)m的取值范圍是______________.15.已知奇函數(shù).（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

答案以及解析1.答案：B解析：由是偶函數(shù)可知對稱軸為，故，又函數(shù)為奇函數(shù)，故，即，，，令得，所以，函數(shù)最小正周期為，所以.故選B.2.答案：C解析：的定義域為，不關于原點對稱，故不是奇函數(shù)，A選項錯誤；與的定義域為，而在其定義域上單調(diào)遞減，在其定義域上不單調(diào)，B，D選項錯誤；在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，C選項正確.故選C.3.答案：D解析：因為為奇函數(shù)，所以，①

將①中的x替換為得.②

因為為偶函數(shù)，所以，③

由②③得，

則，所以是以4為周期的函數(shù)，

故.

故選D.4.答案：D解析：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，不等式的解法.據(jù)題，得，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，從而有或，故選D項.5.答案：D解析：本題考查抽象函數(shù)解析式的求解、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.依題意，有得得又因為所以可知在上單調(diào)遞增.根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的原則可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選D.6.答案：D解析：由題意知且=，故.由，可得，所以.故選D.7.答案：A解析：解法一：因為為奇函數(shù)，所以，由得，所以，故選A.解法二：因為為奇函數(shù)，所以，由得，則，即，所以，則函數(shù)的周期為2，所以，故選A.8.答案：A解析：由函數(shù)的圖象關于點(1，0)對稱知函數(shù)的圖象關于原點對稱，即函數(shù)是奇函數(shù)，由任意的x，總有成立，即恒成立，得函數(shù)的周期是4，又當時，，所以當時，，而是奇函數(shù)，所以當時，，又，，從而得，即當時，，由函數(shù)的周期是4，得函數(shù)在R上的值域是(-1，1)，因為對任意，存在，使得成立，所以，即在R上有解，當時，取，則成立，即，符合題意，當時，在R上有解，必有，解得，則，符合題意.綜上可得，所以滿足條件的實數(shù)m構成的集合為.故選A.9.答案：ACD解析：對于A，當m是任意正數(shù)時都有，所以是“倍約束函數(shù)”，故A正確.對于B，，，即，不存在這樣的m對一切實數(shù)x均成立，故B錯誤.對于C，要使成立，即，當時，m可取任意正數(shù);當時，只需，因為，所以，所以，故C正確.對于D，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，由得，即成立，所以存在，使對一切實數(shù)x均成立，符合題意，故D正確.故選ACD.10.答案：ABD解析：∵函數(shù)的圖象關于直線對稱，∴函數(shù)的圖象關于直線對稱，，∵對任意，恒有，∴函數(shù)的圖象關于點(0，2)中心對稱，，即，又，，，，即，的周期，選項A正確;為偶函數(shù)，選項D正確;∵當時，，且對任意，恒有，∴當時，，，即，∴當時，，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，∴在一個周期[-6，2]上，，在R上的最大值為4，選項B正確;，選項C錯誤.故選ABD.11.答案：2；解析：由，得，所以是以4為周期的周期函數(shù).所以.設，則.因為是R上的偶函數(shù)，所以當時，.當時，，所以.12.答案：-13解析：因為是R上的奇函數(shù)，所以，且.因為，所以，則.13.答案：解析：，，是周期函數(shù)，且周期，，，，，即且，解得或，實數(shù)m的取值范圍為.14.答案：解析：由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，得，所以，所以即.又易知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，所以解得.15.答案：（1）（2）在上單調(diào)遞減，理由見解析（3）解