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文檔簡介
山西省大同市口泉中學(xué)2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是等差數(shù)列的前項和,若,,則()A.5 B.10 C.15 D.202.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.3.曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.14.已知非零向量,滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解:5.若,則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.46.已知集合,則的值域為()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.8.已知全集,函數(shù)的定義域為,集合,則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.9.在直角坐標(biāo)平面上,點的坐標(biāo)滿足方程,點的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是()A. B. C. D.10.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度11.一個幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個幾何體的表面積是()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)記載,最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時期的數(shù)學(xué)家商高,商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”,其中“股”,為“弦”上一點(不含端點),且滿足勾股定理,則______.14.已知,為正實數(shù),且,則的最小值為________________.15.在直角坐標(biāo)系中,已知點和點,若點在的平分線上,且,則向量的坐標(biāo)為___________.16.已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上,當(dāng)PA最長時,則______________;四棱錐P-ABCD的體積為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是線段PC中點,G為線段EC中點.Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.18.(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點,為上的動點(不與重合)求二面角的正切值的最小值19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到曲線,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)曲線上是否存在不同的兩點,(以上兩點坐標(biāo)均為極坐標(biāo),,),使點、到的距離都為3?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.21.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點,,求的值.22.(10分)已知拋物線,過點的直線交拋物線于兩點,坐標(biāo)原點為,.(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時,求直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
利用等差通項,設(shè)出和,然后,直接求解即可【詳解】令,則,,∴,,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.3、A【解析】
根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ陨先我庖稽c處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運用基本不等式求最值,考查計算能力.4、C【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積運算,由向量的關(guān)系,可得選項.【詳解】,,∴等價于,故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
a,b可看成是與和交點的橫坐標(biāo),畫出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.6、A【解析】
先求出集合,化簡=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題7、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因為,,,所以的周期為4,故,故的虛部為2,A錯誤;在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第二象限,B錯誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯誤;,D正確.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識,是一道基礎(chǔ)題.8、A【解析】
求函數(shù)定義域得集合M,N后,再判斷.【詳解】由題意,,∴.故選A.【點睛】本題考查集合的運算,解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時要注意代表元形式,集合是函數(shù)的定義域,還是函數(shù)的值域,是不等式的解集還是曲線上的點集,都由代表元決定.9、B【解析】
由點的坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,由坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標(biāo)滿足方程,在圓上,在坐標(biāo)滿足方程,在圓上,則作出兩圓的圖象如圖,設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與,由圖可知,設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為,則,圓心在內(nèi)公切線兩側(cè),,可得,,化為,,即,,的取值范圍,故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡,并迎刃而解.10、D【解析】
通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.11、C【解析】
畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個正方體中挖掉個球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算,考查空間想象能力和運算求解能力.12、A【解析】
首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題,考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先由等面積法求得,利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得,依題意可得,,所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,重點考查向量數(shù)量積的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由,為正實數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實數(shù),且,可知,,.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、【解析】
點在的平分線可知與向量共線,利用線性運算求解即可.【詳解】因為點在的平線上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案為:【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,利用向量的坐標(biāo)求向量的模,屬于中檔題.16、90°【解析】
易得平面PAD,P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動,顯然,PA是圓的直徑時,PA最長;將四棱錐補形為長方體,易得為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖,由及,得平面PAD,即P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動,易知,當(dāng)P、、A三點共線時,PA達到最長,此時,PA是圓的直徑,則;又,所以平面ABCD,此時可將四棱錐補形為長方體,其體對角線為,底面邊長為2的正方形,易求出,高,故四棱錐體積.故答案為:(1)90°;(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題,考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力,是一道有難度的壓軸填空題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因為G.、F為EC和PC的中點,,又平面,平面,所以平面(II)因為菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因為平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.點睛:(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系,一般有幾何法和向量法,本題利用幾何法比較方便.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)推導(dǎo)出,,從而平面,由面面垂直的判定定理即可得證.(2)過作,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示空間坐標(biāo)系,設(shè),利用空間向量法表示出二面角的余弦值,當(dāng)余弦值取得最大時,正切值求得最小值;【詳解】(1)因為,面,,平面,平面,平面,又平面,平面平面;(2)過作,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示空間坐標(biāo)系,則,設(shè),則平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為則,即,令,如圖二面角的平面角為銳角,設(shè)二面角為,則,時取得最大值,最大值為,則最小值為【點睛】本題考查面面垂直的證明,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.19、(1),(2)存在,【解析】
(1)先求得曲線的普通方程,利用伸縮變換的知識求得曲線的直角坐標(biāo)方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式,求得直線的直角坐標(biāo)方程.(2)求得曲線的圓心和半徑,計算出圓心到直線的距離,結(jié)合圖像判斷出存在符合題意,并求得的值.【詳解】(1)曲線的普通方程為,縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到曲線的直角坐標(biāo)方程為,其極坐標(biāo)方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)曲線是以為圓心,為半徑的圓,圓心到直線的距離.∴由圖像可知,存在這樣的點,,則,且點到直線的距離,∴,∴.【點睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化,考查參數(shù)方程化為普通方程,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當(dāng)時,f′(x)<2,當(dāng)時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因為x≥2,故,(?。┊?dāng)a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因為,所以,故.法二:?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,即,則n=k+1時,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對任何n∈N*都成立.故.考點:1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項公式;4、數(shù)列的前項和;5、不等式的證明.21、(1);(2)20【解析】
(1)利用即可得到答案;(2)利用直線參數(shù)方程的
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