第14講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算（5種題型）（原卷版）

第14講實(shí)數(shù)的運(yùn)算（5種題型）【知識梳理】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.【考點(diǎn)剖析】題型一：實(shí)數(shù)的混合混算例1.計(jì)算：（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根為___．（4）如果的平方根是±3，則＝___．【變式1】如圖邊長為2的正方形，則圖中的陰影部分面積是______．【變式2】若與互為相反數(shù)，則________．【變式3】計(jì)算：|﹣|﹣．【變式4】（2022·浙江金華·七年級期末）計(jì)算：(1)(2)【變式5】計(jì)算：(1)；(2)．【變式6】（2022·浙江臺州·七年級期中）計(jì)算【變式7】（2022·浙江臺州·七年級期中）計(jì)算：(1)；(2)．題型二：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算例2.按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x為，則輸出的結(jié)果為________．【變式1】如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入x＝﹣3，則最后輸出的結(jié)果是____．【變式2】如圖，是一個計(jì)算程序，若輸入a的值為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為______________．【變式3】（2022·浙江臺州·七年級期中）如圖是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖．(1)當(dāng)x為9時，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當(dāng)輸出的y值是時，請寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個即可）題型三：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算例3．（2022·浙江臺州·七年級期中）設(shè)表示小于的最大整數(shù)，如，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在實(shí)數(shù)，使【變式1】任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過a的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作，，這樣對72只需進(jìn)行3次操作即可變?yōu)?，類似地，對81只需進(jìn)行（

）次操作后即可變?yōu)?．A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】定義新運(yùn)算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理數(shù)），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【變式3】（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：，其中，為有理數(shù)，則等于(

)A．a(chǎn)2－b B．b2－b C．b2 D．b2－a【變式4】（2022·浙江杭州·七年級期中）用“”定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有．例如：，那么20225＝________；當(dāng)m為實(shí)數(shù)時，＝________．【變式5】（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么計(jì)算：=__．【變式6】（2022·浙江紹興·七年級期末）如，我們叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如，），無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合，我們說．已知集合，集合，若，則的值是______．【變式7】定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，例如．（1）求的值．（2）求的平方根．【變式8】任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4，[]=1．現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，這樣對72只需進(jìn)行3次操作變?yōu)?．（1）對10進(jìn)行1次操作后變?yōu)開______，對200進(jìn)行3次作后變?yōu)開______；（2）對實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1，則m最小可以取到_______；（3）若正整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．題型四：實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用例4.如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為．若子軒同學(xué)先將紙面以點(diǎn)B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，則此時數(shù)軸上與點(diǎn)C重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是_______．【變式1】設(shè)x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，則的平方根是___________.【變式2】某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時，當(dāng)發(fā)生交通事故時，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量d＝32米，f＝2，請你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時是否超速了．【變式3】已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．（1）求_______________．（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個邊長為的正方形．【變式4】數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：操作一：（1）折疊紙面，若使表示的點(diǎn)1與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；操作二：（2）折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是__________________；操作三：（3）在數(shù)軸上剪下9個單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是_________________________.題型五：與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題例5.如圖將1、、、按下列方式排列．若規(guī)定表示第排從左向右第個數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是（

）．A．1 B． C． D．【變式1】將實(shí)數(shù)按如圖所示的方式排列，若用表示第m排從左向右數(shù)第n個數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是________1（第1排）

（第2排）

1

（第3排）

1

（第4排）

1

（第5排）【變式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，則…＝_____．【變式3】借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：(1)＝_____；(2)＝_____；(3)＝______；(4)＝______；(5)根據(jù)上面計(jì)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)＝______________．(用含n的式子表示)【變式4】已知：，求的值．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）若a＝﹣，b＝，則a﹣b＝（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣62．（2022秋?杭州期中）下列說法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的數(shù)是0，1；③兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的；⑤a與b兩數(shù)的平方和表示為a2+b2．其中錯誤的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．③④⑤3．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如果a，b是2022的兩個平方根，那么a+2ab+b的值是（）A．0 B．2022 C．4044 D．﹣40444．（2022秋?吳興區(qū)期中）下列說法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的數(shù)是0，1；③兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的；⑤是負(fù)分?jǐn)?shù)；⑥兩個有理數(shù)之間有無數(shù)個無理數(shù)，同樣兩個無理數(shù)之間有無數(shù)個有理數(shù)．其中正確的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021秋?西湖區(qū)校級月考）按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出的結(jié)果為3的是（）A．a(chǎn)＝0，b＝3 B．a(chǎn)＝1，b＝2 C．a(chǎn)＝4，b＝1 D．a(chǎn)＝9，b＝06．（2021秋?余姚市校級期中）對于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對82進(jìn)行如下操作：，這樣對82只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，對100只需進(jìn)行多少次操作后變?yōu)?（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共12小題）7．（2022秋?濱江區(qū)校級期中）已知x，y是兩個不相等的有理數(shù)，且滿足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，則x＝，y＝．8．（2022秋?東陽市期中）如圖，是一個計(jì)算程序，若輸入的數(shù)為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為.9．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）計(jì)算：＝．10．（2022秋?上城區(qū)校級期中）用“*”表示一種新運(yùn)算：對于任意正實(shí)數(shù)a*b＝，例如10*21＝＝11，則*（*2）的運(yùn)算結(jié)果為．11．（2021秋?柯橋區(qū)期末）根據(jù)圖示的對話，則代數(shù)式3a+3b﹣2c+2m的值是．12．（2021秋?浙江期末）計(jì)算：+＝．13．（2021秋?東陽市期末）若a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，則2022a+2021b+mnb+k2的值為．14．（2022秋?寧波期中）任意寫出兩個無理數(shù)，使它們的和為2：．15．（2022秋?溫州期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若輸入的a＝3，b＝4，則輸出的結(jié)果為．16．（2022秋?瑞安市期中）對于任意實(shí)數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定運(yùn)算“?”為（a，b）?（c，d）＝（ac，bd）；運(yùn)算“⊕”為（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）?（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）?（p，q）＝（﹣4，9），則（1，﹣5）⊕（p，q）＝．17．（2022秋?青田縣期中）計(jì)算：﹣＝．18．（2022秋?新昌縣期中）已知：m與n互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，a是的整數(shù)部分，則的值是．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?鄞州區(qū)期中）初中階段，目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種計(jì)算技巧，例如裂項(xiàng)相消法，錯位相減法等等，請計(jì)算下列各式：（1）＝；（2）＝；（3）＝．20．（2022秋?余杭區(qū)校級期中）計(jì)算：（1）+；（2）．21．（2022秋?婺城區(qū)期末）計(jì)算：．22．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）計(jì)算：（1）﹣；（2）4+（﹣3）2×2﹣．23．（2022秋?杭州期中）（1）若a是最小的正整數(shù)，b是絕對值最小的數(shù)，，．則a＝；b＝；c＝