2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率3.3.1幾何概型學案含解析新人教A版必修3

PAGE3．3幾何概型3．3.1幾何概型[目標]1.了解幾何概型與古典概型的區(qū)分；2.理解幾何概型的定義及其特點；3.會用幾何概型的概率計算公式求簡潔的幾何概型的概率．[重點]幾何概型的特點及概念的理解．[難點]應用幾何概型的概率公式求概率．學問點一幾何概型的概念[填一填]假如每個事務發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．幾何概型的特點如下：(1)無限性，即在一次試驗中，基本領(lǐng)件的個數(shù)是無限的；(2)等可能性，即每個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是均等的．[答一答]1．古典概型和幾何概型有何異同點？提示：相同點：古典概型與幾何概型中每一個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都是相等的．不同點：古典概型要求隨機試驗的基本領(lǐng)件的總數(shù)必需是有限多個；幾何概型要求隨機試驗的基本領(lǐng)件的個數(shù)是無限的，而且?guī)缀胃判徒鉀Q的問題一般都與幾何學問有關(guān)．2．下面兩個事務是幾何概型嗎？(1)一個人騎車到路口，恰好紅燈；(2)一個人種一顆花生，發(fā)芽．提示：(1)滿意無限性和等可能性，是幾何概型；(2)種一顆花生全部可能出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種，發(fā)芽和不發(fā)芽，不滿意無限性，發(fā)芽與不發(fā)芽的概率不相等，不滿意等可能性，故不是幾何概型．學問點二幾何概型的概率公式[填一填]在幾何概型中，事務A的概率計算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).[答一答]3．幾何概型的概率計算與構(gòu)成事務的區(qū)域形態(tài)有關(guān)系嗎？提示：幾何概型的概率只與構(gòu)成事務的區(qū)域的長度(面積或體積)有關(guān)，而與構(gòu)成事務的區(qū)域形態(tài)無關(guān)．4．概率為0的事務是否肯定是不行能事務？概率為1的事務是否肯定會發(fā)生？提示：在幾何概型中，若事務A的概率P(A)＝0，則A不肯定是不行能事務，如：事務A對應數(shù)軸上的一個點，則其長度為0，該點出現(xiàn)的概率為0，但A并不是不行能事務；同樣地，若事務A的概率P(A)＝1，則A也不肯定是必定事務．類型一幾何概型的推斷[例1]推斷下列概率模型，為幾何概型的是________．①在區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率；②在區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個數(shù)，求取到肯定值不大于1的數(shù)的概率；③在區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個整數(shù)，求取到大于1而小于2的數(shù)的概率；④向一個邊長為4cm的正方形ABCD內(nèi)投一點P，求點P離中心不超過1cm的概率．[解析]①中概率模型是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]有無限多個點，且區(qū)間內(nèi)每個數(shù)被取到的機會相等；②中概率模型是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]和[－1,1]上有無限多個數(shù)可取(滿意無限性)，且在這兩個區(qū)間內(nèi)每個數(shù)被取到的機會是相等的(滿意等可能性)；③中概率模型不是幾何概型，因為在區(qū)間[－10,10]內(nèi)的整數(shù)只有21個(是有限的)，不滿意無限性特征；④中概率模型是幾何概型，因為在邊長為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內(nèi)均有多數(shù)個點，且這兩個區(qū)域內(nèi)的任何一個點被投到的可能性相等，故滿意無限性和等可能性．[答案]①②④推斷一個概率模型是否為幾何概型，通常只須要考慮所給的試驗中基本領(lǐng)件的個數(shù)是否是無限的即可，這與古典概型的考查點不一樣，同時要留意，基本領(lǐng)件的“等可能性”的推斷也是不能忽視的.[變式訓練1]推斷下列試驗是否為幾何概型，并說明理由．(1)明天某個市區(qū)降水的概率；(2)設(shè)A為圓周上肯定點，在圓周上等可能地任取一點與之連接，求弦長超過半徑的概率．解：(1)不是幾何概型，因為其不具有等可能性；(2)是幾何概型，因為其具有無限性與等可能性，符合幾何概型的特征．類型二幾何概型的概率計算命題視角1：“長度型”幾何概型[例2](1)在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.(2)公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車通過，乘客到達汽車站的任一時刻是等可能的，求乘客候車時間不超過6分鐘的概率．[分析]乘客在0～10分鐘之間的每一時刻到達，都是一個基本領(lǐng)件，基本領(lǐng)件有無窮多個，而每一個基本領(lǐng)件的發(fā)生都是等可能的，符合幾何概型的條件．[解析](1)由幾何概型知：eq\f(5,6)＝eq\f(m－－2,6)?m＝3.(2)解：乘客在0～10分鐘之間的任何一個時刻到達車站是等可能的，因此本題屬于幾何概型．設(shè)事務A為“乘客候車時間不超過6分鐘”，汽車每隔10分鐘一趟，若事務A發(fā)生，則乘客必需在[4,10]時間段內(nèi)到達汽車站，所以P(A)＝eq\f(10－4,10)＝eq\f(3,5).[答案](1)3(2)見解析解答此類問題的關(guān)鍵是將全部基本領(lǐng)件及事務A包含的基本領(lǐng)件轉(zhuǎn)化為相應長度，進而求解.此處的“長度”可以是線段的長短，也可以是時間的長短等.[變式訓練2]在區(qū)間[－π，π]上隨機選取一個實數(shù)x，則事務“sinx≥eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為eq\f(1,3).解析：解三角不等式sinx≥eq\f(1,2)在區(qū)間[－π，π]的解集為：[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，設(shè)“在區(qū)間[－π，π]上隨機選取一個實數(shù)x，則事務‘sinx≥eq\f(1,2)’”事務為A，則此事務為幾何概型中的線段型，則P(A)＝eq\f(\f(5π,6)－\f(π,6),π－－π)＝eq\f(1,3).命題視角2：“角度型”幾何概型[例3]如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M.求AM<AC的概率．[解]在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.設(shè)A＝{在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，AM<AC}．則全部可能結(jié)果的區(qū)域角度為90°，事務A的區(qū)域角度為67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).在解答本題的過程中，易出現(xiàn)用線段來代替角度作為區(qū)域度量來計算概率的錯誤，導致該種錯誤的緣由是忽視了基本領(lǐng)件的形成過程.[變式訓練3]如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，求∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．解：設(shè)事務A為“∠AOC和∠BOC都不小于30°”，則事務A表示的區(qū)域角度為30°，全部可能結(jié)果的區(qū)域角度為90°，所以P(A)＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).命題視角3：“面積型”幾何概型[例4](1)已知長方形ABCD中，AB＝4，BC＝1，M為AB的中點，則在此長方形內(nèi)隨機取一點P，P與M的距離小于1的概率為________．(2)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，求滿意x2＋y2≤4的概率．[解析](1)依據(jù)幾何概型得：取到的點P到M的距離小于1的概率為eq\f(d,D)＝eq\f(半圓的內(nèi)部面積,矩形的面積)＝eq\f(\f(1,2)×π×12,4×1)＝eq\f(π,8).(2)解：在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，充溢的區(qū)域是邊長為4的正方形區(qū)域，其中滿意x2＋y2≤4的是圖中陰影區(qū)域(如圖所示)，S陰＝π×22＝4π，所以P＝eq\f(4π,16)＝eq\f(π,4).[答案](1)eq\f(π,8)(2)見解析解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出隨機事務所對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關(guān)面積，進而將事務的概率轉(zhuǎn)化為面積的比值.[變式訓練4](1)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(B)A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)解析：設(shè)正方形邊長為2，則圓半徑為1，則正方形的面積為2×2＝4，圓的面積為π×12＝π，圖中黑色部分的面積為eq\f(π,2)，則此點取自黑色部分的概率為eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).(2)如圖，矩形的長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機地撒500粒黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆為230粒，由此可以估計出陰影部分的面積約為(C)A.eq\f(16,5) B.eq\f(27,5)C.eq\f(23,5) D.eq\f(32,5)解析：由幾何概型的概率公式，得eq\f(S,10)＝eq\f(230,500)，所以陰影部分的面積約為eq\f(23,5)，故選C.命題視角4：“體積型”幾何概型[例5]已知半徑為1的球在棱長為3的正方體內(nèi)運動，求正方體內(nèi)任一點可作為球心的概率．[解]如圖所示，正方體的棱長為3，P，Q，R，S分別是所在棱的三等分點．一個半徑為1的球在這個正方體內(nèi)運動，當球與正方體的側(cè)面BCC1B1相切時，球心在截面PQRS上，向右不行能再超過這個截面了．正方體共有六個側(cè)面，球心可以到達的位置都是這種狀況．球心的改變區(qū)域是以正方體A1B1C1D1-ABCD的對稱中心為對稱中心、六個面分別與正方體A1B1C1D1-所以所求概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).求解與體積有關(guān)的幾何概型問題，應分清題中的條件，提煉出幾何體的形態(tài)，并找出總體積是多少以及所求的事務占有的幾何體是什么形態(tài)，并計算出體積.[變式訓練5](1)在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下視察，則發(fā)覺大腸桿菌的概率為0.005.(2)已知半徑為2eq\r(3)的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，若在球內(nèi)任取一點，則該點在正方體內(nèi)的概率為eq\f(2\r(3),3π).解析：(1)大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是隨意的，且結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設(shè)取出2毫升有大腸桿菌為事務A，則事務A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)＝eq\f(2,400)＝0.005.(2)設(shè)內(nèi)接正方體的棱長為a，則有eq\r(3)a＝4eq\r(3)，∴a＝4，由題意得概率為eq\f(V正方體,V球)＝eq\f(43,\f(4,3)π·2\r(3)3)＝eq\f(2\r(3),3π).1．如圖所示，在直角坐標系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率是(D)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)解析：記“射線OA落在∠xOT內(nèi)”為事務A，射線OA落在直角坐標系的每個位置的可能性是一樣的，因為周角是360°，∠xOT＝60°，所以P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).故選D.2．已知FH是圓O的直徑，點G是圓O上不同于F、H的動點，將一顆豆粒隨機地扔到圓內(nèi)，用A表示事務“豆子落到三角形GFH內(nèi)”，則P(A)的最大值等于(B)A.eq\f(4,π) B.eq\f(1,π)C．2 D.eq\f(2,π)解析：設(shè)圓O的半徑為R，當△GFH為等腰直角三角形時面積最大，為eq\f(1,2)(eq\r(2)R)2＝R2.所以P(A)的最大值為eq\f(1,π).故選B.3．在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為(D)A.eq\f(6,π) B.eq\f(3,2)πC.eq\f(3,π) D.eq\f(2\r(3),3π)解析：由題意可知這是一個幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，球的體積V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π，則此點落在正方體內(nèi)部的概率P＝eq\f(V1,V2)＝eq\f(2\r(3),3π).4．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有實根的概率為eq\f(1,4).解析：若方程有實根，則Δ＝1－4n≥0，即n≤eq\f(1,4)，又n∈(0,1)，所以所求概率為eq\f(\f(1,4),1)＝eq\f(1,4).5．由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))確定的平面區(qū)域記為Ω2.在Ω1中隨機取一點，求該點恰好在Ω2內(nèi)的概率．解：由題意作圖，如圖所示，Ω1的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，圖中陰影部分的面積為2－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,4)，則所求的概率P＝eq\f(\f(7,4