2024-2025學年高中數(shù)學第一章集合1.1集合的含義與表示學案含解析北師大版必修1

PAGE第一章集合§1集合的含義與表示學問點一元素與集合的相關(guān)概念[填一填][答一答]1．(1)集合中的元素可以是相同的嗎？提示：不行以．集合中的元素必需是不同的，同一個元素在一個集合中只可以出現(xiàn)一次，即集合中的元素是互異的．(2)推斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是這些對象是否滿意確定性與互異性．學問點二元素與集合的關(guān)系及元素的特性[填一填](1)元素a與集合A的關(guān)系：關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(屬于：a是集合A的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”.,不屬于：a不是集合A的元素，記作a?A，讀作“a不,屬于A”.))(2)集合元素的特性：集合中元素的特性為確定性、互異性、無序性．[答一答]2．(1)元素與集合之間除了“∈”和“?”外，還有其他關(guān)系嗎？提示：沒有．元素與集合之間只有兩種關(guān)系，任何一個元素與一個集合間，兩種關(guān)系必有一種成立．(2)如何判定一個元素是否屬于某個集合？提示：判定一個元素是否屬于某個集合，關(guān)鍵是看這個元素是否符合集合中元素的特征性質(zhì)，只有符合其特征性質(zhì)才是這個集合中的元素．學問點三列舉法[填一填]把集合中的全部元素都列舉出來，寫在大括號“{}”內(nèi)表示集合的方法．[答一答]3．(1)列舉法是否可以表示全部的集合呢？說明理由．提示：不行以．對于集合中元素個數(shù)有無限個且沒有規(guī)律的集合是不行以用列舉法表示的．(2)用列舉法表示集合的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是找到集合中的全部元素，并把它們一一列舉出來或找到其呈現(xiàn)的規(guī)律．學問點四描述法[填一填]集合的特征性質(zhì)及描述法(1)集合的特征性質(zhì)：假如在集合I中，屬于集合A的隨意一個元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)p(x)，則性質(zhì)p(x)叫做集合A的一個特征性質(zhì)．(2)描述法表示集合：[答一答]4．(1)是否存在集合既可以用列舉法表示又可以用描述法表示？請舉例說明．提示：存在．比如正奇數(shù)的集合可以表示為{1,3,5，7，…}，也可以表示為{x|x＝2n＋1，n∈N}．但是也有些集合是不行以的，如大于1的實數(shù)只能用描述法表示為{x|x>1，x∈R}．(2)集合A＝{x|x>1}與B＝{t|t>1}是否表示同一個集合？提示：是．雖然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于1的全部實數(shù)組成的集合，因而表示同一個集合．1．對集合概念的兩點說明(1)集合是數(shù)學中不加定義的原始概念，我們只對它進行描述性說明．(2)集合是一些能夠確定的不同的對象的整體，其中“整體”已暗含“全部”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一旦構(gòu)成集合，那么這個集合就是這些對象的全體，而并非個別對象．2．0、含有一個元素0的集合A、?，三者之間的區(qū)分與聯(lián)系(1)0與A是不同的，0只是一個數(shù)字，而集合A則表示含有一個元素0的集合，它們的關(guān)系是0∈A.(2)?與A是不同的，?中沒有任何元素，而A則表示含有一個元素0的集合，它們之間的關(guān)系是兩個集合之間的關(guān)系．3．對集合的分類的兩點說明(1)集合通常是依據(jù)集合中元素個數(shù)來分類，假如集合中有有限個元素，則為有限集；假如是有無限個元素，則為無限集．(2)常見的自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集都是無限集，它們的表示符號肯定要牢記．4．列舉法表示集合時應(yīng)關(guān)注的五點(1)用列舉法表示集合時首先要留意元素是數(shù)、點，還是其他的對象，即確定性．(2)元素之間用“，”隔開而非“；”．(3)元素不能重復且無遺漏．(4)“{}”本身帶有“全部的…”或“…的全體(全部)”的意思，因此在大括號內(nèi)表示內(nèi)容時，應(yīng)把“全部”“全部”或“全體”等詞語刪去．(5)表示有特殊規(guī)律的無限集時，必需把元素間的規(guī)律表示清晰后才可以用省略號．5．描述法表示集合應(yīng)關(guān)注的五點(1)寫清晰集合中代表元素的符號，照實數(shù)或有序?qū)崝?shù)對(點)，留意集合中對代表元素符號的范圍進行限制，若沒有注明范圍，一般是在實數(shù)范圍內(nèi)考慮問題．(2)說明該集合中元素具有的性質(zhì)，如方程、不等式、函數(shù)或幾何圖形等．(3)描述部分若出現(xiàn)元素符號以外的字母時，要對新字母說明其含義并指出其取值范圍．(4)全部描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi)，用于描述的語句力求簡明、準確．(5)多層描述時，應(yīng)當精確運用“且”和“或”，并且全部描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi).類型一集合的概念【例1】推斷下列每組對象能否構(gòu)成一個集合：(1)數(shù)學必修1課本中全部的難題；(2)滿意不等式2x－1≥1的x的值；(3)方程x2－3x＋1＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；(4)π的近似值的全體．【思路探究】此類題目應(yīng)先分析各組對象是否具有確定性和互異性，然后再作推斷．【解】(1)“難題”無明確的標準，對于某個題是否“難”無法客觀地推斷，故“數(shù)學必修1課本中全部的難題”不能構(gòu)成一個集合．(2)隨意給一個實數(shù)x，可以明確地推斷x是不是“滿意不等式2x－1≥1的x的值”，即“x≥1”與“x<1”兩者必居其一，且僅居其一，故“滿意不等式2x－1≥1的x的值(3)隨意給一個實數(shù)x，可以明確地推斷x是不是方程x2－3x＋1＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解，即“x2－3x＋1＝0”與“x2－3x＋1≠0”兩者必居其一，且僅居其一，故“方程x2－3x＋1＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解(4)“π的近似值”沒有明確精確到什么程度，因此很難推斷一個數(shù)是不是π的近似值，故“π的近似值的全體”不能構(gòu)成一個集合．規(guī)律方法推斷指定的對象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個明確的標準，對于任何一個對象，都能確定它是否是給定集合的元素．下列各組對象能構(gòu)成集合的有1個．(1)平昌冬奧會速滑競賽中滑得很快的選手；(2)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像上的若干個點；(3)不超過2019的非負數(shù)．解析：(1)“滑得很快”無明確的標準，對于某位選手是否“滑得很快”無法客觀地推斷，因此，“平昌冬奧會速滑競賽中滑得很快的選手”不能構(gòu)成一個集合．(2)“若干個點”是模糊的概念，因此與之對應(yīng)的對象都是不確定的，自然它們不能構(gòu)成集合，故“一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像上的若干個點”不能構(gòu)成一個集合．(3)任給一個實數(shù)x，可以明確地推斷x是不是“不超過2019的非負數(shù)”，即“0≤x≤2019”與“x<0或x>2019”，兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過2019的非負數(shù)類型二元素和集合的關(guān)系【例2】(1)若3∈{m－1,3m，m2－1}，則m(2)若2?{x|x－a≥0}，則實數(shù)a的取值范圍是________．【思路探究】當a∈A時，若集合A是用描述法表示的，則a肯定滿意集合中元素的共同特征．若集合A是用列舉法表示的，則a肯定等于集合A中的某個元素．當a?A時，結(jié)論相反．【解析】(1)因為3∈{m－1,3m，m2－1}，所以當m－1＝3時，m＝4，此時3m＝12，m2－1＝15，符合題意．當3m＝3時，m＝1，此時，m－1＝0，m2－1＝0，不符合集合中元素的互異性．當m2－1＝3時，m＝2或－2，若m＝2，則m－1＝1,3m＝6，符合題意；若m＝－2，則綜上知m＝4,2或－2.(2)由2?{x|x－a≥0}得2－a<0，所以a>2.【答案】(1)4,2或－2(2)a>2規(guī)律方法a∈A與a?A取決于a是不是集合A中的元素．依據(jù)集合中元素的確定性，可知對任何a與A，在a∈A與a?A這兩種狀況中必有一種且只有一種成立．已知集合M中有兩個元素3，m＋1，又4∈M，則實數(shù)m的值為(B)A．4 B．3C．2 D．1解析：由題意得m＋1＝4，即m＝3.類型三集合的表示【例3】用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝薪o定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)式子eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)(a≠0，b≠0)的全部值組成的集合C；(3)不等式2x－7<3的解集A；(4)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合．【思路探究】(1)用列舉法表示集合的關(guān)鍵是把集合的元素全部找出來，再按列舉法的規(guī)則正確表示．(2)用描述法表示集合的關(guān)鍵是正確描述出集合元素的共同特征，再按描述法的格式正確表示．【解】(1)大于1且小于6的整數(shù)有2,3,4,5，所以集合A＝{2,3,4,5}．(2)當a>0，b>0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝2.當a<0，b<0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝－2.當a>0，b<0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.當a<0，b>0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.所以集合C＝{－2,0,2}．(3)解2x－7<3得x<5，所以A＝{x|x<5}．(4)平面直角坐標系中坐標軸上的點的共同特征是至少有一個坐標為0，所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．規(guī)律方法列舉法表示集合時要留意集合元素的互異性、無序性和確定性，元素與元素之間用“逗號”隔開．集合所含元素較少或所含元素不易表述時適用列舉法．描述法表示集合時要表述清晰元素的屬性．集合所含元素較多或所含元素較易表述時適用描述法．常用的點集與數(shù)集的表示要區(qū)分開．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)全部能被3整除的整數(shù)；(2)滿意方程x＝|x|的全部x的值構(gòu)成的集合．解：(1)能被3整除的整數(shù)可以表示為3n(n∈Z)，所以用描述法表示為{x|x＝3n，n∈Z}．(2){x|x＝|x|}或{x|x≥0}．類型四集合表示法的綜合應(yīng)用【例4】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．(1)若A中沒有任何元素，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若A中至少有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍；(4)若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍．【思路探究】集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0的解構(gòu)成的集合．二次項系數(shù)a在整個實數(shù)范圍內(nèi)取值，要對a＝0和a≠0進行分類探討．A中只有一個元素，可以是方程只有一個根，也可以是方程有兩個等根．【解】(1)若A中沒有任何元素，則關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0無實根．當a＝0時，x＝－eq\f(1,2)，不符合題意；當a≠0時，由Δ＝4－4a<0，解得a∴當a>1時，A中沒有任何元素．(2)若A中只有一個元素，則關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一個實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根．當a≠0時，由Δ＝4－4a＝0，得a當a＝0時，x＝－eq\f(1,2)，符合題意．∴當a＝0或1時，A中只有一個元素．(3)由(2)知，A中只有一個元素時，a＝0或a＝1.A中有兩個元素時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ>0，))解得a<1，且a≠0，綜上，當a≤1時，A中至少有一個元素．(4)若A中至多有一個元素，綜合(1)(2)知a的取值范圍為a≥1或a＝0.規(guī)律方法本題考查了數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學運算的素養(yǎng)．分類探討思想適用于解決從整體上難以解決的數(shù)學問題．運用該思想時，把問題進行科學規(guī)劃特別必要，必需遵循不重、不漏和最簡的原則．(1)設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2}，若x∈A，且x?B，則x＝(A)A．－1 B．0C．1 D．2解析：只有元素－1滿意x∈A，且x?B.(2)若集合P含有兩個元素1,2，集合Q含有兩個元素1，a2，且P，Q相等，則a＝±eq\r(2).解析：由P，Q相等，得a2＝2，從而a＝±eq\r(2).經(jīng)檢驗，符合題意．——易錯誤區(qū)——忽視集合中元素的互異性【例5】已知集合A是由1,3，a2＋a，a＋1四個元素構(gòu)成的，若a∈A，求實數(shù)a的值．【錯解】①若a2＋a＝a，則a＝0；②若a＋1＝a，則a∈?.所以實數(shù)a的值為0,1,3.【正解】①當a＝1時，集合A中元素為1,3,2,2，不滿意集合中元素的互異性，舍去；②當a＝3時，集合A中元素為1,3,12,4，符合題意；③當a＝a2＋a，即a＝0時，集合A中元素為1,3,0,1，不滿意集合中元素的互異性，舍去；④當a＝a＋1時，a不存在．綜上所述，實數(shù)a的值為3.【錯因分析】錯解忽視了當a＝0或a＝1時，集合A中的元素不滿意互異性．【防范措施】集合中元素要求具備“確定性”“互異性”“無序性”，在解題時應(yīng)特殊留意互異性，否則極易出現(xiàn)增解．已知集合A中含有三個元素0,1，x，若x2∈A，求實數(shù)x的值．分析：既然x2是集合中的元素，則它既可能是1，也可能是0，或者是x，需對其進行分類探討．解：(1)當x2＝0時，得x＝0，此時集合A中有兩個相同的元素，舍去．(2)當x2＝1時，得x＝±1.若x＝1，此時集合A中有兩個相同的元素，舍去；若x＝－1，此時集合A中有三個元素0,1，－1，符合題意．(3)當x2＝x時，得x＝0或x＝1，由上可知都不符合題意．綜上可知，符合題意的x的值為－1.一、選擇題1．下列語句所描述的對象的全體能構(gòu)成集合的是(C)A．校內(nèi)喜愛體育的學生B．本班視力良好的學生C．參加國慶60周年大閱兵的全部徒步方隊D．本班身材高大的學生解析：推斷所給的對象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是理解集合的概念，明晰集