2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第八章立體幾何與空間向量8.2空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系理

考點(diǎn)8.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理1．四個(gè)公理公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線,相交直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種狀況．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種狀況．5．等角定理空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．概念方法微思索1．分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎？提示不肯定．因?yàn)楫惷嬷本€不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交．2．空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角肯定相等嗎？提示不肯定．假如這兩個(gè)角開口方向一樣，則它們相等，若反向則互補(bǔ)．真題真題演練1．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則A．，且直線，是相交直線 B．，且直線，是相交直線 C．，且直線，是異面直線 D．，且直線，是異面直線【答案】B【解析】點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，平面，平面，是中邊上的中線，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設(shè)，則，，，，，故選．2．（2024?上海）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿意：，，，則直線、、不行能滿意以下哪種關(guān)系A(chǔ)．兩兩垂直 B．兩兩平行 C．兩兩相交 D．兩兩異面【答案】B【解析】如圖1，可得、、可能兩兩垂直；如圖2，可得、、可能兩兩相交；如圖3，可得、、可能兩兩異面；故選．3．（2024?上海）如圖，在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線的條數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在直三棱柱的棱所在的直線中，與直線異面的直線有：，，，共3條．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】【解法一】如圖所示，設(shè)、、分別為，和的中點(diǎn)，則、夾角為和夾角或其補(bǔ)角（因異面直線所成角為，可知，；作中點(diǎn)，則為直角三角形；，，中，由余弦定理得，，；在中，；在中，由余弦定理得；又異面直線所成角的范圍是，，與所成角的余弦值為．【解法二】如圖所示，補(bǔ)成四棱柱，求即可；，，，，，．故選．5．（2024?上海）如圖，在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】D【解析】依據(jù)異面直線的概念可看出直線，，都和直線為異面直線；和在同一平面內(nèi)，且這兩直線不平行；直線和直線相交，即選項(xiàng)正確．故選．6．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【解析】（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以平面，而平面，所以，因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因?yàn)辄c(diǎn)，分別在棱，上，所以平面，所以．（2）取上靠近的三等分點(diǎn)，連接，，．因?yàn)辄c(diǎn)在，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)樵谏?，且，所以，且，所以為平行四邊形，所以，，即，，所以為平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．7．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積．【解析】（1）證明：由已知可得，，即有，則，確定一個(gè)平面，從而，，，四點(diǎn)共面；由四邊形為矩形，可得，由為直角三角形，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面；（2）連接，，由平面，可得，在中，，，可得，可得，在中，，，，可得，即有，則平行四邊形的面積為．8．（2024?上海）如圖，在正三棱錐中，．（1）若的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求與的夾角；（2）求的體積．【解析】（1），分別為，的中點(diǎn)，，則為與所成角，在中，由，，可得，與的夾角為；（2）過(guò)作底面垂線，垂直為，則為底面三角形的中心，連接并延長(zhǎng)，交于，則，．．．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?江西模擬）在長(zhǎng)方體中，，，，過(guò)點(diǎn)作直線1與直線及直線所成的角均為，這樣的直線1的條數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，，則，而，，所以，，所以直線和直線所成的角為，將直線、直線和直線平移至點(diǎn)，則當(dāng)三條直線在同一平面時(shí)，直線為角平分線；若三條直線不在同一平面，則這樣的直線有兩條．故這樣的直線條數(shù)為3．故選．2．（2024?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）在正方體中，過(guò)點(diǎn)作直線與異面直線和所成角均為，則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】，為異面直線和所成角，又，△是等邊三角形，故，過(guò)作直線的平行線，則當(dāng)與的角平分線重合時(shí)，取得最小值．故選．3．（2024?德陽(yáng)模擬）如圖，是等腰直角三角形，，在中且．將沿邊翻折，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，若，那么A．平面平面 B．平面平面 C． D．【答案】C【解析】是等腰直角三角形，，，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，若，由，可得為的中點(diǎn)，平面，則，又，，為相交直線，可得平面，可得，故選．4．（2024?香坊區(qū)校級(jí)一模）如圖，三棱錐中，平面平面，過(guò)點(diǎn)且與平行的平面分別與棱、交于，，若，則下列結(jié)論正確的序號(hào)為①；②若，分別為，的中點(diǎn)，則四棱錐的體積為；③若，分別為，的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為；④．A．②③ B．①②④ C．①②③ D．①②【答案】C【解析】①平面，平面平面，平面，，即①正確；②取的中點(diǎn)，連接、，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，即點(diǎn)到平面的距離為．，，為等腰直角三角形，．，即②正確；③連接，、分別為、的中點(diǎn)，，，即為與所成角．在中，，，與所成角的余弦值為，即③正確；④連接，由②知，平面，，若，，、平面，平面，又平面，，這與相沖突，即④錯(cuò)誤．正確的有①②③，故選．5．（2024?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知正方體，為面所在的平面內(nèi)與不重合隨意一點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，過(guò)作的平行線，過(guò)作，則為直線與直線所成角．平面，，，故選．6．（2024?興慶區(qū)校級(jí)四模）在空間中，、、是三條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是A．若，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，則【答案】D【解析】對(duì)于，若，，則或與相交或與異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，，則或與相交或與異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，，則或與異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則，故正確．故選．7．（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，則下列正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】對(duì)于，若，，則或，又，則或與相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則，又，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則，故正確；對(duì)于，若，，則或與異面，故錯(cuò)誤．故選．8．（2024?武侯區(qū)校級(jí)模擬）點(diǎn)是棱長(zhǎng)為3的正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面的中心為，則平面，取中點(diǎn)為，連接，，正四面體棱長(zhǎng)為3，，，，，故點(diǎn)軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系如圖所示：則，0，，，0，，，0，，設(shè)，，，則，，，，0，，，，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選．9．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方體中，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，則為直線與直線所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則，，作，連接，可求得，，所以，由余弦定理可得．故選．10．（2024?瀘州四模）已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個(gè)命題中正確的是A．若，，則 B．若，，，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】對(duì)于，若，，且，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，，過(guò)作平面與交于，由線面平行的性質(zhì)定理可得，過(guò)作平面與交于，由線面平行的性質(zhì)定理可得，可得，由線面平行的判定定理可得，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，故正確；對(duì)于，若，，則或，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則或、相交，故錯(cuò)誤．故選．11．（2024?襄州區(qū)校級(jí)四模）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，依據(jù)題意：，，，異面直線與所成角的余弦值為．故選．12．（2024?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知，是平面外的兩條不同直線，給出下列三個(gè)論斷：①；②；③．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題：①②③；②③①；①③②，其中正確命題的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①；②；③．若①②成立，即，，又，可得或與相交，不肯定得到③成立；若②③成立，即，，可得①成立；若①③成立，即，，可得或，而，則②成立．正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選．13．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）已知，是直線，是平面，且，則下列結(jié)論中正確的是A．，都有 B．，使 C．，都有 D．，使【答案】B【解析】由，是直線，是平面，且，得：對(duì)于，，則，平行或異面，故不正確；對(duì)于，，使，故正確；對(duì)于，，則或，故不正確；對(duì)于，若，因?yàn)?，所以，故不正確，故選．14．（2024?運(yùn)城模擬）已知，是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，現(xiàn)有如下命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，則，則正確命題的個(gè)數(shù)為A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】①中，若，，，則或與相交，故①錯(cuò)誤；②中，若，，則，又，則，故②正確；③中，若，，，則或與異面，故③錯(cuò)誤；④中，若，，則或，又，則，故④正確．正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選．15．（2024?沈河區(qū)校級(jí)模擬）已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列為真命題的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則【答案】B【解析】對(duì)于，若，，則與可能平行、相交或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則，故正確；對(duì)于，若，，，則錯(cuò)誤，與也可能平行；對(duì)于，若，，則或，又，，故錯(cuò)誤．故選．16．（2024?武侯區(qū)校級(jí)模擬）點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為A．1 B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)在底面的垂足為，的軌跡是以為軸的圓錐底面圓上，由最小角定理可知，的取最大值時(shí)的角為，所以的最大值1；故選．17．（2024?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）在長(zhǎng)方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，1，，，0，，，2，，所以，，，所以，所以異面直線與所成角的大小為．故選．18．（2024?東湖區(qū)校級(jí)三模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，則．其中全部正確命題的序號(hào)是A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【解析】由，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，知：對(duì)于①，若，，則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)得，故①正確；對(duì)于②，若，，則或，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，，，則與相交、平行或異面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，則由面面垂直的性質(zhì)定理得，故④正確．故選．19．（2024?福州三模）已知平面，，兩兩垂直，直線，，滿意：，，，則直線，，可能滿意以下關(guān)系：①兩兩相交；②兩兩垂直；③兩兩平行；④兩兩異面．其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解析】如圖，平面，，兩兩垂直，，，．若、、分別與、、重合，則直線，，兩兩相交，且兩兩垂直，故①②正確；若直線，，中有兩條平行，不妨設(shè)，，，，而，若，又，，與與相交于沖突，與不平行，即，，不行能兩兩平行，故③錯(cuò)誤；，，可以兩兩異面，如上圖所示，故④正確．直線，，可能滿意的關(guān)系是①②④．故選．20．（2024?馬鞍山三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為，直線平面，平面截此正方體所得截面中，正確的說(shuō)法是A．截面形態(tài)可能為四邊形 B．截面形態(tài)可能為五邊形 C．截面面積最大值為 D．截面面積最大值為【答案】D【解析】正方體的棱長(zhǎng)為，直線平面，平面截此正方體所得截面中，如圖，截面形態(tài)可能為正三角形或正六邊形，由對(duì)稱性得截面圖形不行能是四邊形或五邊形，故和均錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)截面形態(tài)為如圖所示的正六邊形時(shí)，截面面積最大，，，，截面面積最大值為，故錯(cuò)誤，正確．故選．21．（2024?遼寧三模）已知平面，，直線，直線，則下列命題正確的是A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面，，直線，直線，知：對(duì)于，，則，平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，則，相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，則由線面垂直的判定定理得，故正確；對(duì)于，，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤．故選．22．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，是兩條異面直線，則下列命題中正確的是A．過(guò)且與垂直的平面有且只有一個(gè) B．過(guò)且與平行的平面有且只有一個(gè) C．過(guò)空間一點(diǎn)與，都平行的平面有且只