2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第八章立體幾何與空間向量8.3直線平面平行的判定與性質(zhì)理

考點(diǎn)8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b概念方法微思索1．一條直線與一個(gè)平面平行，那么它與平面內(nèi)的全部直線都平行嗎？提示不都平行．該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面．2．一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行嗎？提示平行．可以轉(zhuǎn)化為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行”，這就是面面平行的判定定理．真題演練真題演練1．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，在下列四個(gè)正方體中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不平行的是A． B． C． D．【答案】A【解析】對于選項(xiàng)，由于，結(jié)合線面平行判定定理可知不滿意題意；對于選項(xiàng)，由于，結(jié)合線面平行判定定理可知不滿意題意；對于選項(xiàng)，由于，結(jié)合線面平行判定定理可知不滿意題意；所以選項(xiàng)滿意題意，故選．2．（2024?上海）在棱長為10的正方體中，為左側(cè)面上一點(diǎn)，已知點(diǎn)到的距離為3，到的距離為2，則過點(diǎn)且與平行的直線相交的面是A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由點(diǎn)到的距離為3，到的距離為2，可得在△內(nèi)，過作，且于，于，在平面中，過作，交于，則平面平面．連接，交于，連接，平面平面，平面平面，平面平面，．在中，過作，且于，則．線段在四邊形內(nèi)，在線段上，在四邊形內(nèi)．過點(diǎn)且與平行的直線相交的面是．故選．3．（2024?江蘇）在平行六面體中，，．求證：（1）平面；（2）平面平面．【解析】（1）平行六面體中，平行六面體可得每個(gè)面均為平行四邊形，所以，，平面，平面平面；（2）在平行六面體中，，四邊形是菱形，．在平行六面體中，，．面，且平面平面平面．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?開封三模）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是上底面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長度的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】如下圖所示：分別取棱、的中點(diǎn)、，連接，連接，、、、為所在棱的中點(diǎn)，，，，又平面，平面，平面；連接，由，，，，可得，，則四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，則平面．又，平面平面．又是上底面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，點(diǎn)在線段上．在△中，，同理，在△中，求得，則為等腰三角形．當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，最小為，當(dāng)與或重合時(shí)，最大為．線段長度的取值范圍是，．故選．2．（2024?沈陽三模）設(shè)，為兩個(gè)不重合的平面，能使成立的是A．內(nèi)有多數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行 C．內(nèi)有多數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】對于，內(nèi)有多數(shù)條直線與平行，如兩個(gè)相交平面，可以找出多數(shù)條平行于交線的直線，所以錯(cuò)誤；對于，內(nèi)有兩條相交直線與平行，依據(jù)兩平面平行的判定定理知，，所以正確；對于，內(nèi)有多數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等，如兩個(gè)相交平面，可以找出多數(shù)條直線平行于平面，所以也能得出多數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，錯(cuò)誤；對于，當(dāng)、垂直于同一個(gè)平面時(shí)，與也可以相交，所以錯(cuò)誤．故選．3．（2024?安陽二模）已知正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段，上，且，則在，，這三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面平行的條數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】作出圖形如下所示，取的中點(diǎn)，可知，又平面，平面，故平面，又，均不與平面平行，故在，，這三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)確定的直線中，與平面平行的條數(shù)為1．故選．4．（2024?浦東新區(qū)二模）如圖，正方體中，、分別為棱、上的點(diǎn)，在平面內(nèi)且與平面平行的直線A．有一條 B．有二條 C．有多數(shù)條 D．不存在【答案】C【解析】由題設(shè)知平面與平面有公共線，則在平面內(nèi)與平行的線有多數(shù)條，且它們都不在平面內(nèi)，由線面平行的判定定理知它們都與面平行，故選．5．（2024?重慶模擬）如圖，四棱柱中，為平行四邊形，，分別在線段，上，且，在上且平面平面，則A． B． C． D．【答案】B【解析】四棱柱中，為平行四邊形，，分別在線段，上，且，，平面平面，在上，平面，且平面平面，，．故選．6．（2024?番禺區(qū)模擬）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是A．存在一條直線，， B．存在一條直線，， C．存在兩條平行直線、，，，， D．存在兩條異面直線、，，，，【答案】D【解析】對于，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不肯定平行．故不對；對于，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不肯定平行，故不對；對于，兩個(gè)平面中的兩條直線平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故不對；對于，兩個(gè)平面中的兩條相互異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故正確．故選．7．（2024?武漢模擬）設(shè)、、為平面，、為直線，給出下列條件：①、，，；②，；③，；④，，．其中能使成立的條件是A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】①若、，，，由面面平行的推斷定理與定義可得：可能或者與相交．所以①錯(cuò)誤．②若，，由平面與平面平行的傳遞性可得：．所以②正確．③若，，則由平面與平面的位置關(guān)系可得：可能或者與相交．所以③錯(cuò)誤．④若，，由線面垂直的定義可得：，又因?yàn)?，所以．所以④正確．故選．8．（2024?天河區(qū)一模）如圖所示，在棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動點(diǎn)，且面，則在側(cè)面上的軌跡的長度是A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，分別為、、邊上的中點(diǎn)則四點(diǎn)共面，且平面平面又面，落在線段上，正方體中的棱長為，．即在側(cè)面上的軌跡的長度是．故選．9．（2024?黑龍江二模）在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是上底面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則的最小值是A． B． C． D．【答案】C【解析】連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，交于，連結(jié)，設(shè)正方形中棱長為1，在正方形中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，，，，即的最小值是．故選．10．（2024?全國模擬）正方體的棱長為1，，，分別為，，的中點(diǎn)．則A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行 C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BC【解析】取中點(diǎn)，則為在平面上的射影，與不垂直，與不垂直，故錯(cuò)；取中點(diǎn)，連接，，可得平面平面，故正確；把截面補(bǔ)形為四邊形，由等腰梯形計(jì)算其面積，故正確；假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于，而不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故錯(cuò)．故選BC．11．（2024?金安區(qū)校級模擬）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是__________；若動點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，且平面，則線段的長度范圍是__________．【答案】，，【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，則，，平面平面，到平面的距離等于到平面的距離，正方體棱長為2，，，，，，，設(shè)到平面的距離為，則，又，，即．到平面的距離為．平面，的軌跡為線段．，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)與（或重合時(shí)，取得最大值．．故答案為：，，．12．（2024?南昌二模）已知四棱錐的底面是邊長為3的正方形，平面，，為中點(diǎn)，過作平面分別與線段、交于點(diǎn)，，且，則__________，四邊形的面積為__________．【答案】；【解析】延長平面，交所在的平面于，即平面平面，又平面平面，，即，，三點(diǎn)共線，又，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，即，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，，，，，又，，，則，過作，交于點(diǎn)，，則，，，，，，平面，平面，，四邊形的面積為．故答案為：；．13．（2024?韶關(guān)二模）已知長方體中，，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是該長方體底面上的動點(diǎn)，若平面，則面積的取值范圍是__________．【答案】，【解析】：補(bǔ)全截面為截面如圖，設(shè)，直線與平面不存在公共點(diǎn)，平面，易知平面平面，，且當(dāng)與重合時(shí)，最短，此時(shí)的面積最??；由等積法：，即：；，又平面，，為直角三角形，的面積為：，當(dāng)與重合時(shí)，最長為4，此時(shí)的面積最大；最大值為：；故答案為：，．14．（2024?貴州模擬）已知三個(gè)互不重合的平面，，，且直線，不重合，由下列條件：①，；②，；③，，；能推得的條件是__________．【答案】②【解析】①，；可能；②，；面面平行的性質(zhì)得出成立；③，，；若與相交，可能與相交，故答案為：②．15．（2024?揚(yáng)州模擬）如圖，三棱柱中，，為四邊形對角線交點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，且平面．（1）證明：平面；（2）證明：四邊形為矩形．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，．且，因?yàn)闉槠叫兴倪呅螌蔷€的交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，，又．且，所以，且，又為中點(diǎn)，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，平面，平面，，所以平面，又平面，所以，又由?）可知，所以，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以四邊形為矩形．16．（2024?安徽模擬）圖1是矩形，，，為的中點(diǎn)，將沿翻折，得到四棱錐，如圖2．（Ⅰ）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）若．求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，由，分別為，的中點(diǎn)，得，且，又，且，且，得四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（Ⅱ）由，，可得，得．又，，平面，平面，平面平面．取的中點(diǎn)為，連接，，，可得，且平面，．取的中點(diǎn)，連接，